人工神经网络理论及应用课件第6章-反馈神经网络

第6章反馈神经网络

《人工神经网络理论及应用》第6章反馈神经网络6.1离散型Hopfield神经网络6.2连续型Hopfield神经网络6.3Hopfield网络应用与设计实例6.4双向联想记忆(BAM)神经网络6.5随机神经网络Hopfield网络分为离散型和连续型两种网络模型，分别记作DHNN(DiscreteHopfieldNeuralNetwork)和CHNN(ContinuesHopfieldNeuralNetwork)，本章重点讨论前一种类型。

根据神经网络运行过程中的信息流向，可分为前馈式和反馈式两种基本类型。前馈网络的输出仅由当前输入和权矩阵决定，而与网络先前的输出状态无关。

美国加州理工学院物理学家J.J.Hopfield教授于1982年提出一种单层反馈神经网络，后来人们将这种反馈网络称作Hopfield网。第6章反馈神经网络6.1.1网络的结构与工作方式离散型反馈网络的拓扑结构6.1离散型Hopfield神经网络(1)网络的状态

DHNN网中的每个神经元都有相同的功能，其输出称为状态，用xj表示。j=1,2,…,n

所有神经元状态的集合就构成反馈网络的状态X=[x1,x2,…,xn]T

反馈网络的输入就是网络的状态初始值，表示为X(0)=[x1(0),x2(0),…,xn(0)]T

反馈网络在外界输入激发下，从初始状态进入动态演变过程，变化规律为j=1,2,…,n(6.1)

DHNN网的转移函数常采用符号函数

式中净输入为

j=1,2,…,n(6.2)

对于DHNN网，一般有wii=0，wij=wji。反馈网络稳定时每个神经元的状态都不再改变，此时的稳定状态就是网络的输出，表示为

(2)网络的异步工作方式

(6.3)

(3)网络的同步工作方式

网络的同步工作方式是一种并行方式，所有神经元同时调整状态，即j=1,2,…,n(6.4)

网络运行时每次只有一个神经元j进行状态的调整计算，其它神经元的状态均保持不变，即6.1.2.1网络的稳定性

DHNN网实质上是一个离散的非线性动力学系统。网络从初态X(0)开始，若能经有限次递归后，其状态不再发生变化，即X(t+1)＝X(t)，则称该网络是稳定的。

如果网络是稳定的，它可以从任一初态收敛到一个稳态：

6.1.2网络的稳定性与吸引子

若网络是不稳定的，由于DHNN网每个节点的状态只有1和-1两种情况，网络不可能出现无限发散的情况，而只可能出现限幅的自持振荡，这种网络称为有限环网络。如果网络状态的轨迹在某个确定的范围内变迁，但既不重复也不停止，状态变化为无穷多个，轨迹也不发散到无穷远，这种现象称为混沌。网络达到稳定时的状态X，称为网络的吸引子。

如果把问题的解编码为网络的吸引子，从初态向吸引子演变的过程便是求解计算的过程。

若把需记忆的样本信息存储于网络不同的吸引子，当输入含有部分记忆信息的样本时，网络的演变过程便是从部分信息寻找全部信息，即联想回忆的过程。

定义6.1若网络的状态X

满足X=f(WX-T)

则称X为网络的吸引子。

6.1.2.2吸引子与能量函数定理6.1对于DHNN网，若按异步方式调整网络状态，且连接权矩阵W为对称阵，则对于任意初态，网络都最终收敛到一个吸引子。

定理6.1证明：

定义网络的能量函数为：

(6.5)

令网络的能量改变量为ΔE，状态改变量为ΔX，有(6.6)

(6.7)

6.1.2.2吸引子与能量函数将式(6.4)、(6.6)代入(6.5)，则网络能量可进一步展开为

(6.8)将代入上式，并考虑到W为对称矩阵，有

6.1.2.2吸引子与能量函数(6.9)上式中可能出现的情况：情况a：xj(t)=-1,xj(t+1)=1,由式(6.7)得Δxj(t)=2,由式(6.1)知，netj(t)≧0，代入式(6.9)，得ΔE(t)≦0。情况b：xj(t)=1,xj(t+1)=-1,所以Δxj(t)=-2,由式(6.1)知，netj(t)<0，代入式(6.9)，得ΔE(t)<0。情况c：xj(t)=xj(t+1),所以Δxj(t)=0,代入式(6.9)，从而有ΔE(t)=0。

由此可知在任何情况下均有ΔE(t)≦0

。6.1.2.2吸引子与能量函数

由于网络中各节点的状态只能取1或–1，能量函数E(t)作为网络状态的函数是有下界的，因此网络能量函数最终将收敛于一个常数，此时ΔE(t)=0

。综上所述，当网络工作方式和权矩阵均满足定理6.1的条件时，网络最终将收敛到一个吸引子。

综上所述，当网络工作方式和权矩阵均满足定理6.1的条件时，网络最终将收敛到一个吸引子。

定理6.2对于DHNN网，若按同步方式调整状态，且连接权矩阵W为非负定对称阵，则对于任意初态，网络都最终收敛到一个吸引子。

6.1.2.2吸引子与能量函数证明：由式(6.8)得前已证明，对于任何神经元j，有因此上式第一项不大于0，只要W为非负定阵，第二项也不大于0，于是有⊿E(t)≦0

，也就是说E(t)最终将收敛到一个常数值，对应的稳定状态是网络的一个吸引子。

以上分析表明，在网络从初态向稳态演变的过程中，网络的能量始终向减小的方向演变，当能量最终稳定于一个常数时，该常数对应于网络能量的极小状态，称该极小状态为网络的能量井，能量井对应于网络的吸引子。

6.1.2.2吸引子与能量函数性质1：若X

是网络的一个吸引子，且阈值T=0，在sgn(0)处，xj(t+1)=xj(t)，则－X也一定是该网络的吸引子。

证明：∵X是吸引子，即X=f(WX)，从而有

f[W(－X)]=f[－WX]=－f[WX]=－X

∴－X

也是该网络的吸引子。

6.1.2.3吸引子的性质性质2：若Xa是网络的一个吸引子，则与Xa的海明距离dH(Xa，Xb)=1的Xb一定不是吸引子。

证明：不妨设x1a≠x1b，xja=xjb，j=2,3,…,n。∵w11=0，由吸引子定义，有由假设条件知，x1a≠x1b，故∴-Xb

不是该网络的吸引子。

6.1.2.3吸引子的性质

能使网络稳定在同一吸引子的所有初态的集合，称为该吸引子的吸引域。定义6.2若Xa是吸引子，对于异步方式，若存在一个调整次序，使网络可以从状态X演变到Xa，则称X弱吸引到Xa；若对于任意调整次序，网络都可以从状态X演变到Xa，则称X强吸引到Xa。定义6.3若对某些X，有X弱吸引到吸引子Xa，则称这些X的集合为Xa的弱吸引域；若对某些X，有X强吸引到吸引子Xa，则称这些X的集合为Xa的强吸引域。6.1.2.4吸引子的吸引域例6.1设有3节点DHNN网，用无向图表示如下，权值与阈值均已标在图中，试计算网络演变过程的状态。

x1

-0.1-0.5

0.2

x2

0.0

0.0

x3

0.66.1.2.4吸引子的吸引域解：设各节点状态取值为1或0，3节点DHNN网络应有23=8种状态。不妨将X=(x1,x2,x3)T=(0,0,0)T作为网络初态，按1→2→3的次序更新状态。第1步：更新x1，x1=sgn[(-0.5)

0+0.2

0－(-0.1)]=sgn(0.1)=1其它节点状态不变，网络状态由(0,0,0)T变成(1,0,0)T。如果先更新x2或x3，网络状态将仍为(0,0,0)T，因此初态保持不变的概率为2/3，而变为(1,0,0)T的概率为1/3。

x1-0.1-0.50.2x20.0

0.0

x3

0.66.1.2.4吸引子的吸引域第2步：此时网络状态为(1,0,0)T，更新x2后，得

x2=sgn[(-0.5)

1+0.6

0－0]=sgn(-0.5)=0其它节点状态不变，网络状态仍为(1,0,0)T。如果本步先更新x1或x3，网络相应状态将为(1,0,0)T和(1,0,1)T，因此本状态保持不变的概率为2/3，而变为(1,0,1)T的概率为1/3。

第3步：此时网络状态为(1,0,0)T，更新x3得

x3=sgn[0.2

1+0.6

0－0]=sgn(0.2)=1

同理可算出其它状态之间的演变历程和状态转移概率。6.1.2.4吸引子的吸引域DHNN网络状态演变示意图

为了使所设计的权值满足要求，权值矩阵应符合以下要求：⑴为保证异步方式工作时网络收敛，W应为对称阵；⑵为保证同步方式工作时网络收敛，W应为非负定对称阵；⑶保证给定样本是网络的吸引子，并且要有一定的吸引域。6.1.3.2外积和法设给定P个模式样本Xp，p=1,2,…,P，x

{-1,1}n，并设样本两两正交，且n>P，则权值矩阵为记忆样本的外积和

(6.16)6.1.3网络的权值设计若取wjj=0，上式应写为

(6.17)式中I为单位矩阵。上式写成分量元素形式，有

(6.18)下面检验所给样本能否称为吸引子。

因为P个样本Xp，p=1,2,…,P，x

{-1,1}n是两两正交的，有

因为n>P，所以有

可见给定样本Xp，p=1,2,…,P是吸引子。

6.1.4网络的信息存储容量当网络规模一定时，所能记忆的模式是有限的。对于所容许的联想出错率，网络所能存储的最大模式数Pmax称为网络容量。网络容量与网络的规模、算法以及记忆模式向量的分布都有关系。DHNN网的所有记忆模式都存储在权矩阵W中。由于多个存储模式互相重叠，当需要记忆的模式数增加时，可能会出现所谓“权值移动”和“交叉干扰”。可以看出，W阵对要记忆的模式Xp，p=1,2,…,P，是累加实现的。每记忆一个新模式Xp，就要向原权值矩阵Wp-1加入一项该模式的外积XpXp，从而使新的权值矩阵Wp从原来的基础上发生移动。如果在加入新模式Xp之前存储的模式都是吸引子，应有Xk=f(Wp-1Xk)，k=1,2,…,p-1，那么在加入模式Xp之后由于权值移动为Wp，式Xk=f(WpXk)就不一定对所有k(=1,2,…,p-1）均同时成立，也就是说网络在记忆新样本的同时可能会遗忘已记忆的样本。随着记忆模式数的增加，权值不断移动，各记忆模式相互交叉，当模式数超过网络容量Pmax时，网络不但逐渐遗忘了以前记忆的模式，而且也无法记住新模式。6.1.4网络的信息存储容量事实上，当网络规模n一定时，要记忆的模式数越多，联想时出错的可能性越大；反之，要求的出错概率越低，网络的信息存储容量上限越小。研究表明存储模式数P超过0.15n时，联想时就有可能出错。错误结果对应的是能量的某个局部极小点，或称为伪吸引子。提高网络存储容量有两个基本途径：一是改进网络的拓扑结构，二是改进网路的权值设计方法。常用的改进方法有：反复学习法、纠错学习法、移动兴奋门限法、伪逆技术、忘记规则和非线性学习规则等。6.1.4网络的信息存储容量6.2连续型Hopfield神经网络1984年Hopfield把DHNN进一步发展成连续型Hopfield网络，缩写为CHNN网。CHNN的基本结构与DHNN相似，但CHNN中所有神经元都同步工作，各输入输出量均是随时间连续变化的模拟量，这就使得CHNN比DHNN在信息处理的并行性、实时性等方面更接近于实际生物神经网络的工作机理。CHNN可以用常系数微分方程来描述，但用模拟电子线路来描述，则更为形象直观，易于理解也便于实现。6.2连续型Hopfield神经网络6.2.1网络的拓朴结构在连续Hopfield网中，所有神经元都随时间t并行更新，网络状态随时间连续变化。图6.4(a)给出了基于模拟电子线路的CHNN的拓扑结构。6.2连续型Hopfield神经网络可以看出CHNN模型可与电子线路直接对应，每一个神经元可以用一个运算放大器来模拟，神经元的输入与输出分别用运算放大器的输入电压uj和输出电压vj表示，j＝1，2…n，而连接权wij用输入端的电导表示，其作用是把第i个神经元的输出反馈到第j个神经元作为输入之一。每个运算放大器均有一个正相输出和一个反相输出。与正相输出相连的电导表示兴奋性突触，而与反相输出相连的电导表示抑制性突触。另外，每个神经元还有一个用于设置激活电平的外界输入偏置电流Ij，其作用相当于阈值。6.2连续型Hopfield神经网络CHNN模型对生物神经元的功能做了大量简化，只模仿了生物系统的几个基本特性：S型转移函数；信息传递过程中的时间常数；神经元间的兴奋及抑制性连接神经元间的相互作用和时空作用网络的能量函数可写为

由定理6.6可知，随着状态的演变，网络的能量总是降低的。只有当网路中所有节点的状态不再改变时，能量才不再变化，此时到达能量的某一局部极小点或全局最小点，该能量点对应着网络的某一个稳定状态。Hopfield网用于联想记忆时，正是利用了这些局部极小点来记忆样本，网络的存贮容量越大，说明网络的局部极小点越多。然而在优化问题中，局部极小点越多，网络就越不容易达到最优解而只能达到较优解。为保证网络的稳定性，要求网络的结构必须对称，否则运行中可能出现极限环或混沌状态。

(6.26)6.3Hopfield网络应用与设计实例Hopfield网络在图象、语音和信号处理、模式分类与识别、知识处理、自动控制、容错计算和数据查询等领域已经有许多成功的应用。Hopfield网络的应用主要有联想记忆和优化计算两类，其中DHNN网主要用于联想记忆，CHNN网主要用于优化计算。6.3.2应用CHNN网解决优化计算问题用CHNN网解决优化问题一般需要以下几个步骤：对于特定的问题，要选择一种合适的表示方法，使得神经网络的输出与问题的解相对应；构造网络能量函数，使其最小值对应与问题的最佳解；将能量函数与式(6.26)中的标准形式进行比较，可推出神经网络的权值与偏流的表达式，从而确定了网络的结构；由网络结构建立网络的电子线路并运行，其稳态就是在一定条件下的问题优化解。也可以编程模拟网络的运行方式，在计算机上实现。6.3.2应用CHNN网解决优化计算问题本节介绍应用CHNN解决TSP问题的网络设计。TSP问题是一个经典的人工智能难题。对n个城市而言，可能的路径总数为n!／2n。随着n的增加，路径数将按指数率急剧增长，即所谓“指数爆炸”。当n值较大时，用传统的数字计算机也无法在有限时间内寻得答案。例如，n＝50时，即使用每秒一亿次运算速度的巨型计算机按穷举搜索法，也需要5×1048年时间。即使是n＝20个城市，也需求解350年。1985年HoPfield和Tank两人用CHNN网络为解决TSP难题开辟了一条崭新的途径，获得了巨大的成功。其基本思想是把TSP问题映射到CHNN网络中去，并设法用网络能量代表路径总长。这样，当网络的能量随着模拟电子线路状态的变迁，最终收敛于极小值(或最小值)时，问题的较佳解(或最佳解)便随之求得。此外，由于模拟电子线路中的全部元件都是并行工作的，所以求解时间与城市数的多少无关，仅是运算放大器工作所需的微秒级时间，显著地提高了求解速度，充分展示了神经网络的巨大优越性。6.4双向联想记忆(BAM)神经网络联想记忆网络的研究是神经网络的重要分支，在各种联想记忆网络模型中，双向联想记忆(BidirectionalAssociativeMemory，缩写为BAM)网络的应用最为广泛。Hopfield网可实现自联想CNP网可实现异联想BAM网可实现双向异联想BAM网有离散型、连续型和自适应型等多种形式，本节重点介绍常用的离散型BAM网络。6.4双向联想记忆(BAM)神经网络联想记忆网络的研究是神经网络的重要分支，在各种联想记忆网络模型中，由B．kosko于1988年提出的双向联想记忆(BidirectionalAssociativeMemory，缩写为BAM)网络的应用最为广泛。前面介绍的Hopfield网可实现自联想，CNP网可实现异联想，而BAM网可实现双向异联想。BAM网有离散型、连续型和自适应型等多种形式，本节重点介绍常用的离散型BAM网络。6.4.1BAM网结构与原理BAM网的拓扑结构如图6.7所示。该网是一种双层双向网络，当向其中一层加入输入信号时，另一层可得到输出。由于初始模式可以作用于网络的任一层，信息可以双向传播，所以没有明确的输入层或输出层，可将其中的一层称为X层，有n个神经元节点，另一层称为Y层，有m个神经元节点。两层的状态向量可取单极性二进制0或1，也可以取双极性离散值1或-1。如果令由X到Y的权矩阵为W，则由Y到X的权矩阵便是其转置矩阵WT。BAM网的拓扑结构如图6.7所示。该网是一种双层双向网络，当向其中一层加入输入信号时，另一层可得到输出。6.4.1BAM网结构与原理6.4.1BAM网结构与原理由于初始模式可以作用于网络的任一层，信息可以双向传播，所以没有明确的输入层或输出层，可将其中的一层称为X层，有n个神经元节点，另一层称为Y层，有m个神经元节点。两层的状态向量可取单极性二进制0或1，也可以取双极性离散值1或-1。如果令由X到Y的权矩阵为W，则由Y到X的权矩阵便是其转置矩阵WT。6.4.1BAM网结构与原理图6.8BAM网的双向联想过程BAM网实现双向异联想的过程是网络运行从动态到稳态的过程。由图6.8(a)和(b)，有

X(t+1)=fx{WTfy[WX(t)]}(6.33a)

Y(t+1)=fy{Wfx[WTY(t)]}(6.33b)对于经过充分训练的权值矩阵，当向BAM网络一侧输入有残缺的已存储模式时，网络经过有限次运行不仅能再另一侧实现正确的异联想，而且在输入侧重建了完整的输入模式。6.4.2能量函数与稳定性若BAM网络的阈值为0，能量函数定义为

BAM网双向联想的动态过程就是能量函数量沿其状态空间中的离散轨迹逐渐减少的过程。当达到双向稳态时，网络必落入某一局部或全局能量最小点。6.4.3BAM网的权值设计对于离散BAM网络，一般选转移函数f(·)=sgn(·)。当网络只需存储一对模式(X1，Y1)时，若使其成为网络的稳定状态，应满足条件

sgn(WX1)=Y1(6.36a)sgn(WTY1)=X1(6.36b)容易证明，若W是向量Y1和X1外积，即W=Y1X1TW=X1Y1T则式(6.36)的条件必然成立。6.4.3BAM网的权值设计当需要存储P对模式时，将以上结论扩展为P对模式的外积和，从而得到Kosko提出的权值学习公式(6.37a)用外积和法设计的权矩阵，不能保证任意P对模式的全部正确联想，但下面的定理表明，如对记忆模式对加以限制，用外积和法设计BAM网具有较好的联想能力。

(6.37b)6.4.4BAM网的应用BAM网络的设计比较简单，只需由几组典型输入、输出向量构成权矩阵。运行时，由实测到的数据向量与权矩阵作内积运算便可得到相应的信息输出。这是一种大规模并行处理大量数据的有效方法，具有实时性和容错性。更具魅力的是，这种联想记忆法无需对输入向量进行预处理．便可直接进入搜索，省去了编码与解码工作。6.5随机神经网络如果将BP算法中的误差函数看作一种能量函数，则BP算法通过不断调整网络参数使其能量函数按梯度单调下降，而反馈网络使通过动态演变过程使网络的能量函数沿着梯度单调下降。结果是常常导致网络落入局部极小点而达不到全局最小点。其原因是，网络的误差函数或能量函数是具有多个极小点的非线性空间，而所用的算法却一味追求网络误差或能量函数的单调下降。也就是说，算法赋予网络的是只会“下山”而不会“爬山”的能力。局部极小问题需要通过改进算法来解决。6.5随机神经网络随机网络可赋予网络既能“下坡”也能“爬山”的本领，因而能有效地克服上述缺陷。①在学习阶段，随机网络不像其它网络那样基于某种确定性算法调整权值，而是按某种概率分布进行修改；②在运行阶段，随机网络不是按某种确定性的网络方程进行状态演变，而是按某种概率分布决定其状态的转移。图6.10给出了随机网络算法与梯度下降算法区别的示意图。6.5.1模拟退火原理模拟退火算法的基本思想是模拟金属退火过程。金属退火过程大致是，先将物体加热至高温，使其原子处于高速运动状态，此时物体具有较高的内能；然后，缓慢降温，随着温度的下降，原子运动速度减慢，内能下降；最后，整个特体达到内能最低的状态。模拟退火过程相当于沿水平方向晃动托盘，温度高则意味着晃动的幅度大，小球肯定会从任何低谷中跳出，而落入另一个低谷。晃动托盘的力度要合适，并且还要由强至弱(温度逐渐下降)，小球才不至于因为有了“爬山”的本领而越爬越高。6.5.1模拟退火原理随机网络的权值调整：在随机网络学习过程中，先令网络权值作随机变化，然后计算变化后的网络能量函数。网络权值的修改应遵循以下准则：若权值变化后能量变小，则接受这种变化；否则也不应完全拒绝这种变化，而是按预先选定的概率分布接受权值的这种变化。其目的在于赋予网络一定的“爬山”能力。实现这一思想的一个有效方法就是Metropo1is等人提出的模拟退火算法。6.5.1模拟退火原理模拟退火算法：设X代表某一物质体系的微观状态(一组状态变量，如粒子的速度和位置等)，E(X)表示该物质在某微观状态下的内能，对于给定温度T，如果体系处于热平衡状态，则在降温退火过程中，其处于某能量状态的概率与温度的关系遵循Boltzmann分布规律。分布函数为由式(6.38)可以看出，当温度一定时，物质体系的能量越高，其处于该状态的概率就越低，因此物质体系的内能趋向于向能量降低的方向演变。(6.38)图6.11能量状态的概率曲线与温度的关系6.5.1模拟退火原理用随机神经网络解决优化问题时，通过数学算法模拟了以上退火过程。模拟方法是：定义一个网络温度以模仿物质的退火温度取网络能量为欲优化的目标函数网络运行开始时温度较高，调整权值时允许目标函数偶尔向增大的方向变化，以使网络能跳出那些能量的局部极小点。随着网络温度不断下降至0，最终以概率1稳定在其能量函数的全局最小点，从而获得最优解6.5.2Boltzmann机G.E.Hinton等人于1983年—1986年提出一种称为Boltzmann机的随机神经网络。在这种网络中神经元只有两种输出状态，即单极性二进制的0或1。状态的取值根据概率统计法则决定，由于这种概率统计法则的表达形式与著名统计力学家L.Boltzmann提出的Boltzmann分布类似，故将这种网络取名Boltzmann机。6.5.2.1BM机的拓扑结构与运行原理(1)BM机的拓扑结构

介于DHNN网的全互连结构与BP网的层次结构之间。从形式上看，BM机与单层反馈网络DHNN网相似，具有对称权值，即wij=wji，且wii=0。从神经元的功能上看，BM机与三层BP网相似，具有输入节点、隐节点和输出节点。BM机的三类节点之间没有明显的层次，连接形式可用图6.12中的有向图表示。图6.12BM机的拓扑结构6.5.2.1BM机的拓扑结构与运行原理(2)神经元的转移概率函数

设BM机中单个神经元的净输入为与DHNN网不同的是，以上净输入并不能通过符号转移函数直接获得确定的输出状态，实际的输出状态将按某种概率发生，神经元的净输入可通过S型函数获得输出某种状态的转移概率(6.39)6.5.2.1BM机的拓扑结构与运行原理对于同一净输入，温度T较高时概率曲线变化平缓，对于同一净输入Pj(1)与Pj(0)的差别小；而T温度低时概率曲线变的陡峭，对于同一净输入Pj(1)与Pj(0)的差别大。图