高等数学（经济类-上册第2版）课件：导数的应用

1微分中值定理与导数应用导数的应用一、函数的单调性与极值二、曲线的凹凸性与拐点三、函数图形的描绘四、小结23由在上单调递增，则上单调递增一、函数的单调性与极值1、函数的单调性定理1（单调递减）设在上连续，在内可导，则在的充要条件是在内且在的任何子区间上．（或）证明：取使令由极限保号性得否则，在这子区间上在的任何子区间上，与在上单调递增的条件矛盾．等于某一常数，的充要条件是在内4在上满足上单调递增定理1（单调递减）设在上连续，在内可导，则在且在的任何子区间上．（或）证明：而由此，可知应有则从而，在上恒为常数，矛盾.拉格朗日中值定理的条件，则故若则证毕.5在上连续，在内可导，定理1中的闭区间换成其他各种区间，注1结论亦成立.(无穷区间要求在其任意有限的子区间上满足定理条件）

判定函数的单调性.例1解：且等号仅当时成立．所以,由定理1可知在上单调递增．

判定函数的单调性.例2解：且等号仅当时成立．所以,由定理1可知在上单调递增．6

当时，

当时，

讨论函数的单调性.例3解：且等号仅当时成立，于是函数在内，在区间上单调减少；且等号仅当时成立，于是函数在内，在区间上单调增加.

讨论函数的单调性.例4解：

定义域

导数不存在.在内;在内.因此，函数在内单调减少；在内单调增加.77注2单调区间：函数在其定义区间的某个子区间内是单调的.驻点和不可导点有可能是单调区间的分界点.

讨论函数的单调性.例5解：这些驻点将定义域分成若干区间，

定义域

令得列表讨论区间单调性.

因此，

函数在区间上单调递减，

在区间上单调递增.88

证明：当时，例6

证明：亦即令则在上连续，当时，.在上函数是单调递增的.因此，从而，对任意的，即有在内可导，且992、函数的极值费马引理：可导的极值点是驻点.驻点一定是极值点吗？是的驻点.但该函数在定义域内单调递增，无极值.函数不一定有不可导的极值点吗？有函数是函数的不可导点.是函数的极小值点.取得极值的可疑点：不可导点驻点如何判定？判定极值的充分条件——必要性10（或），10（1）若当时，定理2（判定极值的第一充分条件）设在点连续，且在内可导.证明：而当时，则在点取得极大值.（2）若当时，而当时，则在点取得极小值.（3）若对一切都有则在点无极值.由条件及定理1，即在取得极大值.可知在上单调递增，在上单调递减，故总有类似可证明(2)、(3)两种情形．左正右负极大值左负右正极小值11注3则该点必不是极值点.在函数的连续点两侧，若导数符号不同，则该点必为函数的极值点；若导数符号相同，例7

求函数的极值.

解：

由例5，知

根据判定极值的第一充分条件，极小值.极小值点为极大值；函数的极大值点为，12当时，12定理3（判定极值的第二充分条件）设在点二阶可导，且若则在点取得极大值；若则在点取得极小值.证明：而当时由二阶导数定义，注意到则根据极限的局部保号性，存在，使得于是，当时，由判别极值的第一充分条件，可知在取得极大值．类似可证明另一情形．有13例8

求函数的极值.

解：

根据判定极值的第二充分条件，可知原函数的极大值点为令得驻点而极小值.极大值；极小值点为与例7使用第一充分条件判定的结果一致.14函数求极值步骤总结把驻点和导数不存在的点作为定义域的分界点，第一步令寻找驻点和导数不存在的点；一旦二阶导数为零第二步当有导数不存在的点时，第一充分条件列表分析函数单调性当无导数不存在的点时，第二充分条件求考察所有驻点处的二阶导数值，*注意极值和极值点的区别15二、曲线的凹凸性与拐点

两条上升的曲线弧，

弯曲方向截然不同，

导数可以刻画曲线的弯曲方向吗？

凹凸性则称在区间上是凹的；定义1设函数在区间上连续，如果对于恒有则称在区间上是凸的.如果对于恒有16曲线与切线的位置关系凸弧凹弧曲线弧在切线上方曲线弧在切线下方切线倾角递增切线倾角递减递增递减17（1）若在内，定理4设在上连续，在内二阶可导，则曲线在内是凹弧；（2）若在内，则曲线在内是凸弧.注4改为其他各种区间（包括无穷那么结论也成立.如果把定理4中的闭区间区间），例10讨论曲线的凹凸性.

解：当，即当或时，当，即当时，1818例10讨论曲线的凹凸性.

解：在区间与上曲线是凹的；因此，在区间上曲线是凸的.显然，曲线在点两侧，凹凸性发生了变化，这样的点称之为拐点.19定义2连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点.如何寻找曲线的拐点？函数单调性极值点曲线凹凸性拐点定理5（判定拐点的必要条件）设在内二阶可导，且为曲线的拐点，则证明：不妨设曲线在内是凹弧，而在内是凸弧，由凹凸性定义可知，内，内，因此，由在点二阶可导，可得20注5定理5的条件是必要非充分的.例如，但该曲线是凹的，不是拐点，该点两侧凹凸性无变化.定理6（判定拐点的充分条件）设在内二阶可导，且在点左、若符号相反，则是曲线的拐点；若符号相同，则不是曲线的拐点.右两侧分别有确定的符号.21例11求曲线的拐点.

解：由定理6知，在内连续．当时，当时，不存在．由于在内在内，点是曲线的拐点．曲线求拐点步骤总结将其作为定义域的分界点，第一步令寻找

和二阶导数不存在的点；第二步疑似拐点列表分析符号，根据定理6对疑似拐点进行判定.的横坐标22例12讨论函数在定义域内的单调性及图形的凹凸性.

解：驻点：定义域为列表讨论函数的单调性和曲线的凹凸性.及.函数在内单调递减，即，在是凹的.在单调递增；其曲线在区间是凸的，23例13

解：

证明：即对函数，当时，故在上，函数图形是凹的.由凹凸性的定义，对有24三、函数图形的描绘1、曲线的渐近线定义3则称直线为曲线的铅直渐近线；（1）若（或，或），（3）若（或），则称直线为曲线的水平渐近线；（2）若（或，或），则直线为曲线的斜渐近线.先研究曲线整体变化趋势25直线为设曲线在上有定义，如何找到斜渐近线呢？定理7该曲线的斜渐近线的充分必要条件为（证明略）注6上判定曲线的斜渐近线的充分必要条件与之类似.例14求曲线的渐近线.

解：由因此，该曲线有斜渐近线没有水平渐近线.曲线有铅直渐近线，易见，并且？262、函数图形的描绘考察函数的渐近线.利用导数描绘函数图形的一般步骤第一步考察函数的定义域，在定义域内的奇偶性、周期性，在定义域内的连续性，对间断点要考察间断点的类别.第二步求函数的一阶导数，确定曲线的凹凸区间及拐点.确定函数的单调区间及极值点；求函数的二阶导数，第三步为了把曲线描绘得更准确，第四步计算特殊点（间断点、不可导点，极值点）处的函数值，曲线与横纵坐标轴的交点，有时还需要补充一些点.第五步描点绘出图形.27描绘出函数的图形.例15

解：（1）函数的定义域为，函数在定义域内连续、可导.（2）求导，驻点：故曲线没有拐点.极大极小28？28（5）描绘出函数图形（3）显然，即，直线是曲线的铅直渐近线，曲线没有水平渐近线.又所以是该函数的斜渐近线.（4）计算极大值极小值补充一些点：描出点计算292930描绘出函数的图形.例16

解：（1）函数的定义域为，函数在定义域内连续、（2）求导，驻点：拐点：极大对应拐点可导.图形关于轴对称，只需讨论上的图形.31（5）描绘出函数图形（3）显然，即，曲线没有铅直渐近线，有水平渐近线.又所以该函数无斜渐近线.（4）计算极大值补充一些点：描出点计算3233描绘出函数的图形,其中.例16

解：（1）函数的定义域为，函数在定义域内连续、（2）求导，无驻点，拐点：可导.对应拐点3434（5）描绘出函数图形（3）显然，即，曲线没有铅直渐近线，有水平渐近线.