甘肃天水市太京中学2026届高二数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析

甘肃天水市太京中学2026届高二数学第一学期期末达标检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列数列是递增数列的是（）A. B.C. D.2．设函数的图象在点处的切线为，则与坐标轴围成的三角形面积的最小值为（）A. B.C. D.3．某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（）A.72元 B.300元C.512元 D.816元4．【山东省潍坊市二模】已知双曲线的离心率为，其左焦点为，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.5．如果直线与直线垂直，那么的值为（）A. B.C. D.26．已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，准线为l，M是抛物线上一点，过点M作MN⊥l于N.若△MNF是边长为2的正三角形，则p=（）A. B.C.1 D.27．若双曲线的离心率为3，则的最小值为（）A. B.1C. D.28．“若”为真命题，那么p是（

）A. B.C. D.9．已知中，角，，的对边分别为，，，且，，成等比数列，则这个三角形的形状是（）A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰直角三角形 D.钝角三角形10．已知等比数列，且，则（）A.16 B.32C.24 D.6411．数列满足且，则的值是（）A.1 B.4C.－3 D.612．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类以及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（）A.4 B.5C.6 D.7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，且，则的离心率为___________.14．若，则___15．在区间上随机取1个数，则取到的数小于2的概率为___________.16．若等比数列满足，则的前n项和____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，（1）设，，，用向量表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值18．（12分）设数列满足，数列的前项和为，且（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设，若对任意正整数，当时，恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）已知椭圆的上、下顶点分别为A，B，离心率为，椭圆C上的点与其右焦点F的最短距离为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线与椭圆C交于P，Q两点，直线PA与QB的斜率分别为，，且，那么直线l是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由.20．（12分）已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，且经过点.（1）求的标准方程；（2）的右顶点为，过右焦点的直线与交于不同的两点，，求面积的最大值.21．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2（1）求椭圆的方程；（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，求当的面积取得最大值时的值22．（10分）如图，四棱柱的底面为正方形，平面，，，点在上，且.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分别判断的符号，从而可得出答案.【详解】解：对于A，，则，所以数列为递减数列，故A不符合题意；对于B，，则，所以数列为递减数列，故B不符合题意；对于C，，则，所以数列为递增数列，故C符合题意；对于D，，则，所以数列递减数列，故D不符合题意.故选：C.2、C【解析】利用导数的几何意义求得切线为，求x、y轴上截距，进而可得与坐标轴围成的三角形面积，利用导数研究在上的最值即可得结果.【详解】由题设，，则，又，所以切线为，当时，当时，又，所以与坐标轴围成的三角形面积为，则，当时，当时，所以在上递减，在上递增，即.故选：C3、D【解析】设这个箱子的箱底的长为xm，则宽为m，设箱子总造价为f（x）元，则f(x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低总造价【详解】设这个箱子的箱底的长为xm，则宽为m，设箱子总造价为f(x)元，∴f(x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，当且仅当x，即x＝4时，f（x）取最小值816元故选：D4、D【解析】分析：根据题设条件，列出方程，求出，，的值，即可求得双曲线得标准方程详解：∵双曲线的离心率为，其左焦点为∴，∴∵∴∴双曲线的标准方程为故选D.点睛：本题考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，根据题设条件求出，，的值是解决本题的关键.5、A【解析】根据两条直线垂直列方程，化简求得的值.【详解】由于直线与直线垂直，所以.故选：A6、C【解析】根据正三角形的性质，结合抛物线的性质进行求解即可.【详解】如图所示：准线l与横轴的交点为，由抛物线的性质可知：，因为若△MNF是边长为2的正三角形，所以，，显然，在直角三角形中，，故选：C7、D【解析】由双曲线的离心率为3和，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，双曲线的离心率为3，即，即，又由，可得，所以，当且仅当，即时，“”成立.故选：D【点睛】使用基本不等式解答问题的策略：1、利用基本不等式求最值时，要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件；2、若多次使用基本不等式时，容易忽视等号的条件的一致性，导致错解；3、巧用“拆”“拼”“凑”：在使用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.8、A【解析】求不等式的解集，根据解集判断p.【详解】由解得-2<x<4，所以p是.故选：A.9、B【解析】根据题意求出，结合余弦定理分情况讨论即可.【详解】解：因为，所以.由题意得，利用余弦定理得：.当，即时，，即，解得：.此时三角形为等边三角形；当，即时，,不成立.所以三角形的形状是等边三角形.故选：B.【点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形的形状，属于基础题.10、A【解析】由等比数列的定义先求出公比，然后可解..【详解】，得故选：A11、A【解析】根据题意，由于，可知数列是公差为-3的等差数列，则可知d=-3,由于=，故选A12、C【解析】按照分层抽样的定义进行抽取.【详解】按照分层抽样的定义有，粮食类：植物油类：动物性食品类：果蔬类=4:1:3:2，抽20个出来，则粮食类8个，植物油类2个，动物性食品类6个，果蔬类4个，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是6个.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由双曲线定义可得a，代入点P坐标可得b，然后可解.【详解】由题知，故，又点在双曲线上，所以，解得，所以.故答案为：14、##0.5【解析】导数的定义公式的变形应用，要求分子分母的变化量相同.【详解】故答案为：.15、【解析】根据几何概型计算公式进行求解即可.【详解】设“区间上随机取1个数”，对应集合为，区间长度为3，“取到的数小于2”，对应集合为，区间长度为1，所以.故答案为：16、##【解析】由已知及等比数列的通项公式得到首项和公比，再利用前n项和公式计算即可.【详解】设等比数列的公比为，由已知，得，解得，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【小问1详解】，因为，同理可得，所以【小问2详解】因为，所以，因为，所以所以异面直线与所成角的余弦值为18、（1）证明见解析，；（2）或.【解析】（1）结合与关系用即可证明为常数；求出通项公式后利用累加法即可求的通项公式；（2）裂项相消求，判断单调性求其最大值即可.【小问1详解】当时，得到，∴，当时，是以4为首项，2为公差的等差数列∴当时，当时，也满足上式，.【小问2详解】令，当，因此的最小值为，的最大值为对任意正整数，当时，恒成立，得，即在时恒成立，，解得t＜0或t＞3.19、（1）（2）恒过点【解析】（1）设为椭圆上的点，根据椭圆的性质得到，再根据的取值范围，得到，再根据离心率求出、，最后根据，求出，即可得解；（2）设、，表示出、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由，即可得到，再根据，即可得到，从而得到，再将、代入计算可得；【小问1详解】解：设为椭圆上的点，为椭圆的右焦点，所以，因为，所以，又，所以、，因为，所以，所以椭圆方程为；【小问2详解】解：设、，依题意可得、，所以、，联立得，则即，所以、，因为，所以，即，由得，即，所以，即，，整理得，所以，即，即，解得或，当时直线过点，故舍去，所以，则直线恒过点；20、（1）；（2）【解析】（1）利用已知条件，结合椭圆方程求出，即可得到椭圆方程（2）设出直线方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理，弦长公式，列出三角形的面积，再利用基本不等式转化求解即可【详解】（1）解：由题意解得，，所以椭圆的标准方程为（2）点，右焦点，由题意知直线的斜率不为0，故设的方程为，，，联立方程得消去，整理得，∴，，，，当且仅当时等号成立，此时：，所以面积的最大值为【点睛】本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理化简整理和运算能力，属于中档题21、（1）；（2）.【解析】（1）由短轴长得，由离心率处也的关系，从而可求得，得椭圆方程；（2）设，，直线的方程为，代入椭圆方程应用韦达定理得，由弦长公式得弦长，求出原点到直线的距离，得出三角形面积为的函数，用换元法，基本不等式求得最大值，得值【详解】解：（1）由题意得，，所以，，椭圆的方程为（2）直线的方程为，代入椭圆的方程，整理得由题意，，设，则，弦长，点到直线的距离，所以的面积，令，则，当且仅当时取等号．所以，对应的，可解得，满足题意22、（1）证明见解析（2）（3）【解析】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量可得，即平面，再由线