高等数学（经济类-上册第2版）课件：函数的极限

极限函数的极限一、函数极限的定义二、极限的性质三、函数极限四则运算法则四、小结一、函数极限的定义

在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做自变量在这一变化过程中函数的极限.下面主要在两种情形下研究函数

的极限：(2)自变量

时，函数的变化情形；(1)自变量

时，函数的变化情形；1、自变量趋于有限值时函数的极限假定函数在点的某个去心邻域内有定义，若，函数无限接近于一个确定的数A，则称A是函数当时的极限.

自变量

时，函数的变化情形：0.750.800.850.900.950.9911.011.051.101.151.201.254.254.44.554.704.854.9755.035.155.305.455.605.75越接近1，就越接近5，无限接近1时，可任意小.也就是说对于任意给定的

，要使只要取就可以.解：取值列表如下用描述这个任意小.描述了x趋近于1的程度.

例1函数

,考察时函数的变化趋势.例1函数

,考察时函数的变化趋势.0.750.800.850.900.950.9911.011.051.101.151.201.254.254.44.554.704.854.9755.035.155.305.455.605.75解：取值列表如下当x进入x=1的邻域时，恒成立,这时，我们称x趋于1时，函数以5为极限.0.940.950.960.970.980.991.011.021.031.041.051.061.941.951.961.971.981.992.012.022.032.042.052.06越接近1，就越接近2，无限接近1时，可任意小.也就是说对于任意给定的

，要使只要取就可以.解：取值列表如下用描述这个任意小.描述了x趋近于1的程度.

例2函数

，考察时函数的变化趋势.例2函数

，考察时函数的变化趋势.0.940.950.960.970.980.991.011.021.031.041.051.061.941.951.961.971.981.992.012.022.032.042.052.06解：取值列表如下当x进入x=1

的去心邻域时，恒成立,这时，我们称x趋于1时，函数以2为极限.当

时，函数以A为极限，刻画了与数A

的接近程度，刻画了与的接近程度.

是任意给定的，一般是随而确定的.研究趋于时的极限问题与函数在点处是否有定义是无关的.说明：(1)(2)(3)定义1

设函数

在某个去心邻域内有定义，若存在常数，使得对于任意的，总存在正数，

使得当时，恒有

成立，则称当时，以为极限.记作

否则称时，没有极限.或函数极限的精确定义.几何解释：任给

，作平行直线和的带型区域存在着的去心邻域使得的图形落入带型区域内.例3

证明

，为常数.证明由于，因此对任给的，可取任意的正数，当时，不等式恒成立,所以例4证明

分析对任给的，要证明使得即要找到，只需取即可.证明对任给的，要使使得当时，只需取，恒有所以例4证明

证明对任给的，由于使得当时，只需取，恒有所以例5

证明,是任一实数.类似的，可定义时的左极限或结论：左右极限统称单侧极限.定义2

设函数

在的右邻域内有定义，若存在常数，使得对于任意的，总存在正数，

使得当时，恒有

成立，则称为时的右极限,记作

或例6证明函数

证明，当时极限存在.所以，进而例7证明函数

证明，当时极限不存在.所以，进而不存在.2.自变量趋于无穷大时函数的极限定义3

设函数

当大于某个正数时有定义，若存在常数，使得对于任意的，总存在正数，

使得当时，恒有

成立，则称为时的极限,记作

或函数极限的精确定义.几何解释：任给

，作平行直线和的带型区域存在着正数，使得当或时，函数

的图形落入带型区域内.类似可定义如下极限：使当时，恒有使当时，恒有结论：二、极限的性质性质1

（唯一性）如果的极限存在，则极限是唯一的.性质2

（局部有界性）如果存在，则存在常数

和，使得当时，恒有性质3（保号性）如果，且或（）

则存在常数，使得当时，有

或（）.推论1

如果，且，则存在常数，

使得当时，有

推论2如果，且在的某个去心邻域内有

（），则（）.三、函数极限四则运算法则定理1