数学课堂导学：函数y=Asin（ωx+φ）的图象

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1.会求y=Asin（ωx+φ）的振幅、周期、频率、相位及初相【例1】已知函数y=3sin（2x+).（1）求出它的周期；(2)用“五点法”作出一个周期的简图；（3)指出函数的单调区间.思路分析:复合函数的周期、图象、单调性.解：(1)周期为T==π.（2)列表。2x+0π2πxy030—30描点连线（如下图)。（3)可见在一个周期内,函数在［,]上递减，又因函数的最小正周期为π，所以函数的递减区间为［kπ+，kπ+］（k∈Z）。同理，增区间为［kπ—，kπ+］(k∈Z）.温馨提示用“五点法”画函数f（x）=Asin(ωx+φ）的图象。①先将函数化为Asin(ωx+φ)的形式。②求函数的周期.③抓住五个关键点，使函数式中的ωx+φ分别取0,，π,，2π.然后求出相应的x,y值，作出图象。2.y=sinx到y=Asin（ωx+φ)和y=cosx到y=Acos（ωx+φ)的变化过程【例2】指出将y=sinx的图象变换为y=3sin(2x+）的两种变换方法。思路分析：采用先ω再φ的变换或先φ再ω都可以。解法1：y=sinxy=sin2xy=sin［2（x+π6）］=sin(2x+)y=3sin（2x+).解法2：y=sinxy=sin（x+）y=sin(2x+)y=3sin（2x+)。温馨提示由y=sinx图象变换出y=sin（ωx+φ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换。途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）,先将y=sinx的图象向左(φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0）(纵坐标不变），便得y=sin（ωx+φ)的图象。途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍（ω＞0,纵坐标不变），再沿x轴向左（φ＞0）或向右(φ＜0）平移个单位，便得y=sin（ωx+φ)的图象。3。在y=Asin（ωx+φ)中，φ的确定【例3】已知下图是函数y=2sin(ωx+φ)(｜φ|＜）的图象。（1）求ω、φ的值;（2）求函数图象的对称轴方程，对称中心坐标.思路分析：解这类问题的一般方法是通过特殊点来确定函数中的A、ω、φ。解：由题意得（1)解得ω=2,φ=。所以y=2sin（2x+）。（2）函数图象的对称轴方程为2x+=kπ+,即x=+（k∈Z）.对称中心为（x0，0),则2x0+=kπ,k∈Z，∴对称中心坐标为（，0）（k∈Z）.温馨提示在y=Asin(ωx+φ）的确定过程中A、ω容易确定，而φ要通过具体的点的坐标代入求出，容易在范围上出错.各个击破类题演练1用五点法作出函数y=2sin(x—）+3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间。解：（1)列表.xx-0π2πy35313（2）描点。（3）作图，如图。周期T=2π,频率f==，相位x-,初相—，最大值5，最小值1,函数的减区间为［2kπ+π,2kπ+π],k∈Z，增区间为［2kπ,2kπ+］k∈Z。将函数在一个周期内的图象向左、向右两边扩展即得y=2sin(x-)+3的图象.变式提升1如图是正弦函数y1=Asin（ωx+φ)的一个周期的图象.（1）写出y1的解析式；（2）若y2与y1的图象关于直线x=2对称，写出y2的解析式;（3)指出y2的周期、频率、振幅、初相。解：(1)由题图知：A=2，T=7—(-1）=8，ω===，∴y1=2sin(x+φ)，将点（-1,0）代入得0=2sin（-+φ）∴φ=，∴y1=2sin（x+）.(2）作出与y1的图象关于直线x=2对称的图象，可以看出y2的图象相当于将y1的图象向右平移2个单位得到的.∴y2=2sin［(x—2)+］=2sin（x-）.(3）由(2)知,y2的周期T==8,频率f=，振幅A=2，初相φ0=—.类题演练2把函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的,则所得图象的函数解析式是（）A.y=sin（4x+π)B。y=sin（4x+)C。y=sin4xD.y=sinx思路分析：将y=sin(2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin[2（x-）+］，即y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象上各点的横坐标缩短到原来的,就得到函数y=sin2（2x)，即y=sin4x的图象。答案：C变式提升2作出函数y=3cos（2x—)的图象，并说明这个图象可以由y=cosx的图象经过怎样的变化得到?解：①列出五个关键点如下：2x—0Π2πxy30-303②描点作图。③以π为周期把所得图象向左、右扩展,得y=3cos(2x-）的图象。这个图象可以由y=cosx的图象先向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标压缩到原来的,每一点的纵坐标伸长到原来的3倍而得到.类题演练3已知函数y=Asin(ωx+φ)（A＞0,ω＞0，0＜φ＜π）的图象上一个最高点为（2，3），与这个最高点相邻的一个函数值为0的点是（6，0)，求这个函数的解析式。解：由已知得，A=3，=6—2=4，∴T=16.∴ω=.∴y=3sin（φ)。∵图象的一个最高点为(2，3)，且0＜φ＜π,∴×2+φ=，∴φ=.所以函数的解析式为y=3sin（+）.变式提升3函数y=Asin（ωx+φ）+b在同一周期内有最高点(,3)，最低点(，-5），求它的解析式.解:∵2A=3—（—