第二十七章 相似（7类题型突破）

第二十七章相似题型一成比例线段【例1】（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（

）A． B．C． D．，，，巩固训练：1．（2023上·陕西西安·九年级陕西师大附中校考期中）下列长度的四组线段中，是成比例线段的是（

）A． B．C． D．2．（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是（

）A．6 B．4 C．8 D．103．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1，2，3，4 B．2，4，3，5 C．4，8，5，10 D．3，9，4，74．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）已知四个数，，，成比例，则的值是（

）A． B． C． D．5．（2023上·江苏常州·九年级校考阶段练习）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（

）A． B．8 C．2 D．36．（2023上·安徽六安·九年级统考期中）已知线段，，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长度是（

）A． B．8 C．9 D．107．（2023上·河北邢台·九年级校考期中）下列各组线段中，长度成比例的是（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，8．（2023上·上海嘉定·九年级统考期中）下列各组中的四条线段成比例的是（）A．，，， B．，，，；C．，．，； D．，，，9．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳彩虹学校校考期中）已知2，，4，是一组成比例线段，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．10．（2023上·上海崇明·九年级校联考期中）在比例尺是的地图上测得A、B两点间的距离为2厘米，那么两地的实际距离为千米．11．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）已知线段，则线段a和b的比例中项为．题型二平行线分线段成比例定理【例2】（2023上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）已知：如图，中，D、E分别在上，，若，求的长．

巩固训练：1．（2023上·上海宝山·九年级统考期中）中，D、E分别是边、上的点，下列各式中，能判断的是（

）A． B． C． D．2．（2023上·山西晋中·九年级统考期中）如图，小明在练习本上画出直线，直线m，n分别与直线a，b，c交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式错误的是（

）

A． B． C． D．3．（2023上·山西晋中·九年级统考期中）如图，直线，直线AC和DF被直线、、所截，，，，则的长为（

）A．7 B． C． D．4．（2023上·山西太原·九年级统考期中）如图，直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，，则DF的长为（

）A． B． C．6 D．5．（2023上·四川遂宁·九年级校考期中）如图，已知直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，且．若，，，则（

）

A． B．6 C．3 D．56．（2023上·广西来宾·九年级统考期中）如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（

）．A． B． C．50 D．307．（2023上·河南郑州·九年级校联考期中）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，，若，，，则的长等于．8．（2023上·山东东营·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，，则的长度为．

9．（2023上·湖南株洲·九年级校考期中）如图，点A，B分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为9，四边形的面积为14，则的值为．

10．（2023上·上海奉贤·九年级统考期中）已知线段、、c（如图），求作线段，使．（不要求写作法）

11．（2023上·陕西榆林·九年级统考期中）如图，直线，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若，．求的长．12．（2023上·安徽合肥·九年级校考期中）如图，在中、已知，，，，求的长．13．（2023上·陕西西安·九年级统考期中）如图，在中，，且，，，求的长．

14．（2023上·山西太原·九年级统考期中）如图，在中，点D是边上的一点，．

(1)尺规作图：作直线交于点E；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若，求的长．题型三相似多边形的性质和判定【例3】（1）（2023上·安徽安庆·九年级安徽省安庆市外国语学校校考期中）如图，四边形四边形，，，，则.

（2）（2023上·广东佛山·九年级校联考期中）一块矩形绸布的宽，长，按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值应当是．

巩固训练：1．（2023上·湖南岳阳·九年级统考期中）下列命题中，正确命题的是（

）A．所有的正方形都相似 B．所有的菱形都相似C．底边相等的两个等腰三角形相似 D．对角线相等的两个矩形相似2．（2023上·上海奉贤·九年级统考期中）下列命题中真命题是（

）A．四个内角都相等的两个四边形一定相似 B．所有菱形都一定相似C．所有的等边三角形都相似 D．一条线段只有一个黄金分割点3．（2023上·河北石家庄·九年级校联考阶段练习）已知矩形中，，下面四个矩形中与矩形相似的是（）A．

B．

C．

D．

4．（2023上·北京通州·九年级校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．任意两个矩形一定相似 B．任意两个菱形一定相似C．任意两个等腰直角三角形一定相似 D．任意两个平行四边形一定相似5．（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）如图，将一个矩形纸片沿，的中点，的连线对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则（

）

A． B． C． D．6．（2023上·山西运城·九年级统考期中）如图，四边形四边形，若，，，则的度数为（

）A． B． C． D．7．（2023上·山西晋中·九年级统考期中）如图，把一个矩形纸片分割成三个全等的小矩形纸片，若小矩形纸片与原矩形纸片相似，则原矩形纸片的长与宽之比为（

）A． B． C． D．8．（2023上·陕西榆林·九年级校考期中）四边形是一张矩形纸片，将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则矩形的面积为（）A． B． C． D．9．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）开本指书刊幅面的规格大小，如图，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推可以得到8开纸、16开纸……这些开本纸都是相似的图形，则这些相似的矩形的长与宽的比值是．

10．（2023上·广西来宾·九年级统考期中）如图，四边形四边形，若，则．（2023上·全国·九年级专题练习）某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由．12．（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形的边上任取一点O（不与点A、B重合）连接、，分别取的中点、、、，连接、、，四边形与四边形相似吗？为什么？

题型四相似三角的判定【例4】（1）（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）如图，点，在线段上，，，求证：．

（2）（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，和的顶点都在网格的格点上．求证：．巩固训练：1．（2023上·上海嘉定·九年级统考期中）下列条件中，不能判定与相似的是（）A．，，；B．，，，，；C．，；D．，2．（2023上·上海嘉定·九年级统考期中）如图，在中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（）

①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）如图，在和中，已知，则添加下列条件能判定和相似的是（）A． B． C． D．4．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）如图，D，E分别是的边AB，AC上的动点（与点A，B，C均不重合），添加下列一个条件，不能判定与相似的是（

）

A． B． C． D．5．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍不能判定的是（）

A． B． C． D．6．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）下列图形中，与已知三角形相似的三角形是(

)

A．

B．

C．

D．

7．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，、分别是的、上的点，则下列条件不能判定与相似的是（

）

A． B．C． D．8．（2023上·江苏常州·九年级校考阶段练习）如图，已知，请你再补充一个条件，使得．

9．（2023上·陕西榆林·九年级统考期中）如图，在和中，，请你添加一个条件：，使得．（填一个即可）

10．（2023上·安徽安庆·九年级安徽省安庆市外国语学校校考期中）如图，线段、是的两条高．求证：．

11．（2023上·广东深圳·九年级深圳中学校考期中）在锐角三角形中，点、分别在边、上，于点，于点，．

(1)求证：；(2)若，，，求的长．题型五相似三角形的性质【例5】（2023上·上海嘉定·九年级统考期中）如图，在中，点D、E分别在边上，相交于点O，，．

(1)如果，求的长;(2)如果的面积为2，求的面积.巩固训练：1．（2023上·湖南怀化·九年级统考期中）如图，中，边，高，边长为x的正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则正方形边长x为（）

A． B． C． D．2．（2023上·湖南怀化·九年级统考期中）两个相似三角形的相似比是，则这两三角形面积的比是（

）A． B． C． D．3．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期中）如图，，，若，则的长为（

）．

A．1.5 B．2 C．3 D．44．（2023上·陕西西安·九年级陕西师大附中校考期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点E，且．已知，则的长是．

5．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）将一张三角形彩纸按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点F，折痕为．已知，，若以点C，D，F为顶点的三角形与相似，则的长是（）

A． B． C．或4 D．或46．（2023上·湖南岳阳·九年级校联考期中）如图，在中，点、分别在边、上，．已知，，则的长是．

7．（2023上·四川遂宁·九年级校考期中）如图，是一张锐角三角形的纸板，是上的高，，，从这张纸板上如图剪下一个矩形，且，则剪下的这个矩形的周长为．

8．（2023上·广东深圳·九年级深圳中学校联考期中）在中，是的角平分线，交线段于点E，，，，则的面积为．

9．（2023上·安徽安庆·九年级校联考期中）如图，在等边中，，点P为边上一动点，M为的中点，连接．

（1）当点P为的中点，的长为；（2）若点P移动到使时，的长为．10．（2023上·湖南怀化·九年级统考期中）如图，在中，D、E在、上，，，求的长．

11．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期中）如图，，点，分别在，上，，．

(1)求证：(2)作于点，，，求的长．12．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期中）如图，，与相交于点，．

(1)求证：；(2)若，，，求的长．13．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）如图，在中，点、分别在边、上，，．(1)求证：；(2)如果的面积为10，则四边形的面积为______．14．（2023上·上海奉贤·九年级统考期中）如图，在为等腰梯形中，，对角线、交于点沿着直线翻折得到联结，分别于、相交于点F、G．

(1)求证：、互相平分；(2)若，求的比．15．（2023上·北京通州·九年级统考期中）如图，在等腰三角形中，，D是边上的一个动点，（不与B、C重合）在边上取一点E，使．

(1)求证：；(2)设，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围16．（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）如图，，，动点从点出发，以每秒的速度沿边向点运动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿边向点运动，点到达点后，点也停止，设运动时间为秒，当为何值时，与相似？

17．（2023上·安徽安庆·九年级校联考期中）如图，是的角平分线，延长至D，使得．

(1)求证：；(2)若，，，求长．18．（2023上·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在中，平分，．

(1)求证：；(2)若求的长．19．（2023上·福建宁德·九年级福鼎市第一中学校考期中）在中，，，，如图1，将绕点A顺时针旋转某个角度得到，其中D是点B的对应点，E是点C的对应点，连接，．(1)求证：；(2)如图2，当点D在线段上时，求线段的长；(3)连接，，在旋转过程中，是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．题型六相似三角形性质的实际应用【例6】（2023上·河北邢台·九年级校考期中）张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点H．

(1)当点P恰好为中点时，______；(2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长；(3)若这个零件的边．则这个零件的长、宽各是多少？巩固训练：1．（2023上·山西晋中·九年级统考期中）人字梯也称折梯，是平面上方空间工作的一种登高工具，因其使用时左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象地称为“人字梯”，如图所示．图是其工作示意图，已知，拉杆，．若米，则两梯杆跨度，之间的距离为（

）A．米 B．米 C．米 D．米2．（2023上·浙江宁波·九年级宁波市海曙外国语学校校考期中）为了测量河宽，有如下方法：如图，取一根标尺横放，使，并使点，，和点，，分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽的长度为（

）米．

A．24 B．30 C．32 D．403．（2023上·湖南怀化·九年级统考期中）如图，一斜坡长，高为，将重物从坡底A推到坡上高度是的M出处停下，则斜坡的长度为米．4．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）小明的身高是，他的影长是．同一时刻古塔的影长是，则古塔的高是．5．（2023上·福建宁德·九年级福鼎市第一中学校考期中）小丽同学准备测量学校教学楼的高度．如图，她在与教学楼底部A同一个水平的地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离为24米，然后在射线上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时她与镜子的距离为3米，若小丽的眼睛距离地面高度为米，请你帮小丽利用这些数据求出教学楼的高度．6．（2023上·陕西榆林·九年级统考期中）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米（米）．已知小明的身高是1.8米（米），他的影长是2米（米），点E在AC上，且，．求信号发射塔的高度．

（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考期中）如图，小明在某一时刻测得米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，求旗杆的高度．

8．（2023上·湖南常德·九年级校联考期中）如图，在一次测量操场旗杆高度的数学活动课上，小刚拿一根高的竹竿直立在离旗杆的点C处，然后走到点D处，这时目测到旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C，D两点间的距离为，小刚的目高（眼睛到底面的距离）为，则旗杆的高度为（

）

A． B． C． D．9．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）阅读下列材料，回答问题：任务：测量福建闽江河的一条支流的宽度．工具：米长的标杆和米长的标杆，皮尺（有刻度）等．小康所在的数学兴趣小组利用皮尺、标杆测出了闽江河的一条支流的宽度，测量过程如下：（1）小康站在河岸的一端点B处立了一根米长的标杆（）；（2）小明站河岸的另一端点D处，立了另一根米长的标杆（）；（3）小英在点A处测得点A，B，D恰好在同一条直线上，点A，C，E恰好在同一条直线上；（4）小康利用皮尺测出米．求解过程：∵，，∴．∵，∴，∴．∵米，米，米，设，∴①，解得②，答：闽江河的一条支流宽度为※※※米．(1)补全小康求解过程中①②缺失的内容．(2)小康求得闽江河的一条支流的宽度用到的几何知识是______．(3)请你利用皮尺等工具，并利用相似三角形的知识设计一个与材料不同的测量方案，画出图形，并简要说明一下（不必计算）．10．（2023上·广东茂名·九年级校考期中）综合与实践主题：利用相似三角形的有关知识测量建筑物的高度．素材：平面镜、标杆、皮尺等测量工具．步骤1：如图，站在B处，位于点B正前方3米点C处有一平面镜，通过平面镜刚好可以看到建筑物的顶端M的像，此时测得眼睛到地面的距离为1.5米；步骤2：在F处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点D、标杆顶点E和建筑物顶端M在一条直线上，此时测得为6米，为4米．猜想与计算：已知，点N、C、B、F、D在同一条直线上，且点N、C之间存在障碍物，无法直接测量．请根据以上所测数据：

(1)直接写出平面镜到建筑物的距离与建筑物高度之间的数量关系；(2)计算建筑物的高度（平面镜大小忽略不计）．11．（2023上·陕西西安·九年级统考期中）如图，小斌想用学过的知识测算河的宽度．在河对岸有一棵高米的树，树在河里的倒影为，且，小斌在岸边调整自己的位置，当站在点B处时恰好看到岸边点C和倒影顶点H在一条直线上，点C到水面的距离米，小斌的眼睛与地面的距离为米，米，，，，，，视线与水面的交点为D，请你根据以上测量方法及数据，求出河的宽度．题型七图形的位似【例7】（2023上·辽宁沈阳·九年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考期中）如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：(1)以原点O为对称中心，画出的中心对称图形．(2)以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出的位似三角形，与的位似比为；(3)的面积_________．巩固训练：1．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）如图，和是位似图形，点O是位似中心，．若点A的坐标为，则点C的坐标为（）A． B． C． D．2．（2023上·吉林长春·九年级统考期中）如图，与是以点为位似中心的位似图形．若，，则的值为（

）A． B． C． D．3．（2023·广东深圳·深圳市罗湖区翠园东晓中学校考模拟预测）已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，若以原点为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为．4．（2023上·湖南永州·九年级校联考期中）如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点的坐标为，则点A的坐标为．

5．（2023上·四川遂宁·九年级校考期中）如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中每个小正方形的边长为1）．

(1)以点为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的位似比为；(2)若点是上的任意一点，则变换后的对应点的坐标是______．6．（2023上·湖南常德·九年级统考期中）如图，两个相似图形和，若，则．7．（2023上·福建宁德·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，，，．

(1)画图：以点为位似中心将向右侧放大两倍；(2)若内有一点，则放大后点对应点的坐标是____________．7．（2023上·广东深圳·九年级深圳中学校考期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，．

(1)画出关于轴对称的；(2)以原点为位似中心在第二象限内画一个，使它与位似，且相似比为；(3)若内部一点的坐标为，则点在中的对应点的坐标是___________．8．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，．(1)在网格中画出，使与关于轴对称；(2)在网格中画出，使是的位似图，且位似中心为点，位似比值为；(3)写出，两点的坐标．9．（2023上·江苏常州·九年级校考阶段练习）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成如图画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）

(1)在图1中，以为边，画出，使，C为格点；(2)在图2中，以点O为位似中心，在网格中画出，使与位似，且位似比，点D、E为格点．10．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）在的网格中，已知和点．(1)以点为位似中心，位似比为2，画出的位似图形；(2)写出的各顶点坐标．11．（2023上·安徽六安·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．(1)以原点为位似中心，在第一象限内将缩小得到，相似比为，请画出；(2)直接写出点的坐标（______，______）；(3)求出的面积．12．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）如图，为坐标原点，两点的坐标分别为，．

(1)作出关于轴对称的．(2)将沿着轴的负方向平移2个单位长度，再沿着轴的正方向向上平移2个单位长度得到，请作出．(3)在轴的左侧以为位似中心，作的位似三角形，使得，并分别写出点的对应点，的坐标．

第二十七章相似题型一成比例线段【例1】（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（

）A． B．C． D．，，，【答案】D【分析】根据成比例线段的定义逐项判断即可．【详解】解：A、由，可知这一组线段不成比例，所以A不符合题意；B、由，可知这一组线段不成比例．所以B不符合题意；C、由，可知这一组线段不成比例．所以C不符合题意；D、由，可知这一组线段成比例．所以D符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了成比例线段的判断，理解定义是解题的关键，即如果四条线段a，b，c，d满足，那么这四条线段称为比例线段．巩固训练：1．（2023上·陕西西安·九年级陕西师大附中校考期中）下列长度的四组线段中，是成比例线段的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了成比例线段的定义，根据最大线段最小线段其他两条线段的乘积，那么这些线段是成比例线段，据此进行逐项分析，即可作答．【详解】解：A、∵，∴长分别为的四条线段是成比例线段，符合题意；B、∵，∴长分别为的四条线段不是成比例线段，不符合题意；C、∵，∴长分别为的四条线段不是成比例线段，不符合题意；D、∵，∴长分别为的四条线段不是成比例线段，不符合题意；故选A．2．（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是（

）A．6 B．4 C．8 D．10【答案】B【分析】本题主要考查了成比例线段．根据题意可得，再把，，代入，即可．【详解】解：∵线段，，，是成比例线段，∴，∵，，，∴，解得：．故选：B3．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1，2，3，4 B．2，4，3，5 C．4，8，5，10 D．3，9，4，7【答案】C【分析】本题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案，最小数和最大数相乘，另外两数相乘，看它们的积是否相等是解题的关键．【详解】A、∵，∴四条线段不成比例；B、∵，∴四条线段不成比例；C、∵，∴四条线段成比例；D、∵，∴四条线段不成比例．故选：C．4．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）已知四个数，，，成比例，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了比例线段，利用成比例的定义得到，然后根据比例性质求即可，解题的关键是理解比例线段的定义，利用了两内项之积等于两外项之积．【详解】由题意得，，∴，∴，故选：．5．（2023上·江苏常州·九年级校考阶段练习）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（

）A． B．8 C．2 D．3【答案】B【分析】根据四条线段成比例，列出比例式，再把，，代入计算即可．【详解】解：线段a，b，c，d是成比例线段，，，，，，，故选：．【点睛】此题考查了比例线段，掌握比例线段的性质是本题的关键．6．（2023上·安徽六安·九年级统考期中）已知线段，，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长度是（

）A． B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据线段的比例中项的定义得到，再代值求解即可．【详解】解：∵线段b是线段a和c的比例中项，∴，∵，，∴，故选：C．【点睛】本题考查线段的比例中项，能根据定义正确列出a、b、c的关系式是解答的关键．7．（2023上·河北邢台·九年级校考期中）下列各组线段中，长度成比例的是（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】D【分析】本题考查线段成比例的知识．四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．【详解】解：A、由于，所以不成比例，不符合题意；B、由于，所以不成比例，不符合题意；C、由于，所以不成比例，不符合题意；D、由于，所以成比例，符合题意．故选：D．8．（2023上·上海嘉定·九年级统考期中）下列各组中的四条线段成比例的是（）A．，，， B．，，，；C．，．，； D．，，，【答案】B【分析】本题考查的是成比例的线段的判定，先把每个选项的四条线段按照从小到大的顺序排列，再判断四条线段是否成比例即可．【详解】解：A．，故该选项不符合题意；B．，故该选项符合题意；C．，故该选项不符合题意；D．，故该选项不符合题意；故选B．9．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳彩虹学校校考期中）已知2，，4，是一组成比例线段，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据成比例线段的概念，则可得，再根据比例的基本性质，即可求得与b的关系．【详解】∵是一组成比例线段，故选：D．【点睛】如果四条线段a、b、c、d满足，则称、、、为成比例线段，注意在中，比例外项是和，比例内项是和c．10．（2023上·上海崇明·九年级校联考期中）在比例尺是的地图上测得A、B两点间的距离为2厘米，那么两地的实际距离为千米．【答案】10【分析】本题考查了比例线段，比例尺的定义，根据比例尺=图上距离实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．【详解】解：设这两地的实际距离是x厘米，则：解得：，1000000厘米=10千米．故答案为：10．11．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）已知线段，则线段a和b的比例中项为．【答案】6【分析】本题考查了比例中项的概念，即“当两个比例内项相同时，就叫比例中项”，设线段a和b的比例中项为c，列出比例式即可得出结果．【详解】解：设线段a和b的比例中项为c，∵，∴，∴，解得：，又∵线段不能是负数，∴舍去，∴，故答案为：6．题型二平行线分线段成比例定理【例2】（2023上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）已知：如图，中，D、E分别在上，，若，求的长．

【答案】/【分析】根据平行线分线段成比例，可得，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，解得：．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．巩固训练：1．（2023上·上海宝山·九年级统考期中）中，D、E分别是边、上的点，下列各式中，能判断的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据两直线被第三条线段所截，对应线段成比例，两直线平行逐项判断即可．掌握“如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条边”是解题的关键．【详解】

A选项：由可得，但不能得到；B选项：由不一定得到；C选项：由可得；D选项：由不一定得到．故选：C2．（2023上·山西晋中·九年级统考期中）如图，小明在练习本上画出直线，直线m，n分别与直线a，b，c交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式错误的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，找出对应线段是解题的关键．【详解】A.，，结论正确，故不符合题意；B.，，结论正确，故不符合题意；C.线段不是直线m，n上的线段，与不一定相等，结论错误，故符合题意；D.，，结论正确，故不符合题意；故选：C．3．（2023上·山西晋中·九年级统考期中）如图，直线，直线AC和DF被直线、、所截，，，，则的长为（

）A．7 B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得出比例式代入即可．【详解】解：，，，．故选B．4．（2023上·山西太原·九年级统考期中）如图，直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，，则DF的长为（

）A． B． C．6 D．【答案】A【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据得，进行计算即可得，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故选：A．5．（2023上·四川遂宁·九年级校考期中）如图，已知直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，且．若，，，则（

）

A． B．6 C．3 D．5【答案】B【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是先由，运用平行线分线段成比例的内容可得；再结合，，求解．【详解】解：，，即，解得．故选B．6．（2023上·广西来宾·九年级统考期中）如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（

）．A． B． C．50 D．30【答案】D【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可求出的长．【详解】解：，，即，，的长是．故选：D．7．（2023上·河南郑州·九年级校联考期中）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，，若，，，则的长等于．【答案】【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵，，，∴，解得：，故答案为：．8．（2023上·山东东营·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，，则的长度为．

【答案】3【分析】根据，，判断出，再根据，，得出，，便可求解了．【详解】解：，，四边形是平行四边形，，，，，，又，又，，，∴．故答案为：3．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，以及平行四边形的判定和性质，掌握这些基本知识是解此题的关键．9．（2023上·湖南株洲·九年级校考期中）如图，点A，B分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为9，四边形的面积为14，则的值为．

【答案】9【分析】如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴，可得，的面积是5，设，，则，，，利用面积可得，，由，，可得，可得③，再利用方程思想解题即可．【详解】解：如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴，∴，∵的面积为9，四边形的面积为14，∴的面积是5，

设，，∴，，∴，，，，∴，，整理得：，，∵，，∴，∴，∴，则③，把③代入②得：，∴，即④，把③代入①得：⑤，把④代入⑤得：；故答案为：9【点睛】本题考查的是反比例函数的几何应用，平行线分线段成比例的应用，坐标与图形面积，熟练的利用方程思想解题是关键．10．（2023上·上海奉贤·九年级统考期中）已知线段、、c（如图），求作线段，使．（不要求写作法）

【答案】见解析【分析】先作，再在的边上依次截取，，在边上截取，连接，作，角的一边交于，可得，可得，从而得到线段即为所求作的线段．【详解】解：∵，∴．作图如下：

线段就是所求的线段x．【点睛】本题考查的是作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，平行线的判定，比例的基本性质，平行线分线段成比例，熟练的利用平行线分线段成比例并应用于作图是解本题的关键．11．（2023上·陕西榆林·九年级统考期中）如图，直线，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若，．求的长．【答案】9【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．由，可得，由，可得，即，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，即，解得，，∴的长为9．12．（2023上·安徽合肥·九年级校考期中）如图，在中、已知，，，，求的长．

【答案】【分析】本题主要考查平行线段分线段成比例，由题意得到即可求出的值，得到答案．【详解】解：，，，，．13．（2023上·陕西西安·九年级统考期中）如图，在中，，且，，，求的长．

【答案】【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例，可得，即可求解．【详解】解：，．∵，，，∴．14．（2023上·山西太原·九年级统考期中）如图，在中，点D是边上的一点，．

(1)尺规作图：作直线交于点E；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图以及平行线分线段成比例．（1）根据作一个角等于已知角，再根据同位角相等，两直线平行即可作答；（2）根据平行线分线段成比例即可作答．【详解】（1）如图所示，

直线即为所求；（2）由作图可知，又∵，∴．∴．∵，∴．题型三相似多边形的性质和判定【例3】（1）（2023上·安徽安庆·九年级安徽省安庆市外国语学校校考期中）如图，四边形四边形，，，，则.

【答案】【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的对应角相等求解即可．【详解】解：∵四边形四边形，∴，，∵，∴，故答案为：．（2）（2023上·广东佛山·九年级校联考期中）一块矩形绸布的宽，长，按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值应当是．

【答案】【分析】根据裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程，即可求解．【详解】解：∵裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，∴，解得：（负值舍去）．故答案为：巩固训练：1．（2023上·湖南岳阳·九年级统考期中）下列命题中，正确命题的是（

）A．所有的正方形都相似 B．所有的菱形都相似C．底边相等的两个等腰三角形相似 D．对角线相等的两个矩形相似【答案】A【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，解题的关键在于熟知两个边数相同的多边形，如果它们的对应角分别相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，据此求解即可．【详解】解：A、∵所有正方形的四个角都是90度，对应边成比例，∴所有的正方形都相似，故原命题正确，符合题意；B、∵所有的菱形其四个角不一定对应相等，∴所有的菱形不一定都相似，原命题错误，不符合题意；C、底角相等的两个等腰三角形相似，原命题错误，不符合题意；D、对角线相等的两个矩形不一定相似，例如长方形和正方形的对角线相等，但是它们不相似，原命题错误，不符合题意；故选A．2．（2023上·上海奉贤·九年级统考期中）下列命题中真命题是（

）A．四个内角都相等的两个四边形一定相似 B．所有菱形都一定相似C．所有的等边三角形都相似 D．一条线段只有一个黄金分割点【答案】C【分析】本题考查相似图形的判定，根据相似三角形以及相似多边形的判定，对比每个选项，看能否举出反例即可得出答案．【详解】解：A、四个内角都相等的两个四边形，但是四条边不一定成比例，原命题是假命题，本选项不符合题意；B、菱形的四条边都对应成比例，但是四个内角不一定对应相等，原命题是假命题，本选项不符合题意；C、所有的等边三角形三个角都等于，三个角都相等，原命题是真命题，本选项符合题意；D、一条线段有两个黄金分割点，原命题是假命题，本选项不符合题意．故选：D．3．（2023上·河北石家庄·九年级校联考阶段练习）已知矩形中，，下面四个矩形中与矩形相似的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】验证对应边是否成比例即可判断．【详解】解：A：，符合题意；B：，不符合题意；C：，不符合题意；D：，不符合题意；故选：A【点睛】本题考查了相似多边形的判定．熟记定理内容即可．4．（2023上·北京通州·九年级校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．任意两个矩形一定相似 B．任意两个菱形一定相似C．任意两个等腰直角三角形一定相似 D．任意两个平行四边形一定相似【答案】C【分析】根据相似图形的定义分别判断后即可确定正确选项．【详解】A、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似；B、两个菱形对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似；C、两个等腰直角三角形对应角相等，且对应边的比也相等，故一定相似；D、两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边的比不一定相等，故不一定相似．故选：C．【点睛】本题主要考查相似图形的判定，注意相似图形的对应角相等，对应边的比相等．5．（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）如图，将一个矩形纸片沿，的中点，的连线对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】此题考查相似多边形的性质：对应边成比例，根据相似矩形得到，推出，由此得到答案，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．【详解】解：∵E，F分别为，的中点，∴，∵对折后的矩形与原矩形相似，∴，∴，∴，∴，∴．故选：A．6．（2023上·山西运城·九年级统考期中）如图，四边形四边形，若，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，利用相似多边形的对应角相等求得答案即可．【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形，，∴．∵四边形ABCD的内角和为，，，∴．故选：C．7．（2023上·山西晋中·九年级统考期中）如图，把一个矩形纸片分割成三个全等的小矩形纸片，若小矩形纸片与原矩形纸片相似，则原矩形纸片的长与宽之比为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了相似多边形的对应边的比相等，设原矩形纸片的长为x，宽为y，则小矩形纸片的长为y，宽为，根据题意得，进行计算即可得，分清楚对应边是解题的关键．【详解】解：设原矩形纸片的长为x，宽为y，则小矩形纸片的长为y，宽为，∵小矩形纸片与原矩形纸片相似，∴，，，故选：C．8．（2023上·陕西榆林·九年级校考期中）四边形是一张矩形纸片，将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则矩形的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求得，进而根据矩形的面积等于矩形的面积减去2个正方形的面积，即可求解．【详解】解：，由折叠可得：，，∵矩形，∴，∴，设的长为x，则，∵矩形，∴，∵矩形与原矩形相似，∴，即，解得：（负值不符合题意，舍去）∴，∴矩形的面积为故选：B．【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键．9．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）开本指书刊幅面的规格大小，如图，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推可以得到8开纸、16开纸……这些开本纸都是相似的图形，则这些相似的矩形的长与宽的比值是．

【答案】【分析】此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．设16开的纸的长为a，宽为b，则8开的纸的长为，宽为a，根据相似多边形的性质得到，然后整理求解．【详解】解：设16开的纸的长为a，宽为b，则8开的纸的长为，宽为a，∵这两种长方形相似，∴，∴，∴，∴，或（舍去），∴这些相似的矩形的长与宽的比值．故答案为：．10．（2023上·广西来宾·九年级统考期中）如图，四边形四边形，若，则．【答案】/度【分析】此题考查相似多边形的性质：对应角相等，由四边形相似得到，由四边形内角和即可求出答案，正确理解相似多边形的性质是解题的关键．【详解】解：∵四边形四边形，∴，又∵，∴，故答案为：．11．（2023上·全国·九年级专题练习）某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由．【答案】不能，见解析【分析】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，得，解方程即可求解．【详解】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，得，解得：，经检验，是原方程的根，即宽度为0米的小路不存在，∴做不到．【点睛】通过本题的探索可以发现：把一个矩形的长和宽同时增加或减小相同的长度，所得矩形与原来矩形一定不相似，因为（a、b、c都是正数）．12．（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形的边上任取一点O（不与点A、B重合）连接、，分别取的中点、、、，连接、、，四边形与四边形相似吗？为什么？

【答案】四边形四边形，见解析【分析】根据三角形的中位线定理证明两个多边形对应边的比相等、对应角相等即可得到答案．【详解】解：四边形四边形，理由如下：证明：、是、的中点，，，，同理，，，，，同理，，，四边形四边形．

【点睛】本题考查的是相似多边形的性质、三角形中位线定理，掌握相似多边形的判定定理、灵活运用三角形中位线定理是解题的关键．题型四相似三角的判定【例4】（1）（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）如图，点，在线段上，，，求证：．

【答案】见解析【分析】此题考查相似三角形的判定，根据平行线的性质推出，根据两组对应边成比例夹角相等即可证明，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．【详解】证明：∵，，，．（2）（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，和的顶点都在网格的格点上．求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用勾股定理分别求得各边长，利用相似三角形的判定定理“三边对应成比例，两个三角形相似”即可证明结论成立．【详解】解：观察图形得，，根据勾股定理，得，，，∴．巩固训练：1．（2023上·上海嘉定·九年级统考期中）下列条件中，不能判定与相似的是（）A．，，；B．，，，，；C．，；D．，【答案】D【分析】本题考查的是直角三角形相似的判定，根据相似三角形的判定方法逐一分析各选项即可得到答案．【详解】解：如图，

∵，，，∴，∴，故A不符合题意；∵，，，，，∴，∴，∴；故B不符合题意；如图，

∵，，∴，∴即，∴；故C不符合题意；∵，，有一组角相等但是两边不是对应成比例，故两个三角形不相似．故选D．2．（2023上·上海嘉定·九年级统考期中）如图，在中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（）

①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟练的结合角平分线的含义，利用两角分别相等的两个三角形相似逐一分析判断即可．【详解】解：∵，，∴，故②符合题意；∴，∵是的平分线，∴，∴，；故①④符合题意；与只有一组角相等，无法证明相似，∴故③不符合题意；故选C．3．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）如图，在和中，已知，则添加下列条件能判定和相似的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理解题即可．【详解】解：∵，∴．A、，对应的两角相等，可以证明，故本选项符合题意；B、，不是对应角，不可以证明，故本选项不符合题意；C、，不是对应边成比例，不可以证明，故本选项不符合题意；D、，不是夹角的对应边成比例，不可以证明，故本选项不符合题意．故选：A．4．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）如图，D，E分别是的边AB，AC上的动点（与点A，B，C均不重合），添加下列一个条件，不能判定与相似的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．【详解】解：A、由两角对应相等的两三角形相似，判定与相似，故A不符合题意；B、由，判定与相似，故B不符合题意；C、两三角形两边对应成比例，但夹角不一定相等，不能判定与相似，故C符合题意；D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定与相似，故D不符合题意；故选：C．5．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍不能判定的是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】解：∵，∴．A、∵，故本选项不符合题意；B、∵，故本选项不符合题意；C、∵与的大小无法判定，∴无法判定，故本选项符合题意；D、∵，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．6．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）下列图形中，与已知三角形相似的三角形是(

)

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据图示知该三角形是含和的直角三角形，所以由相似三角形的判定定理进行判定即可．【详解】解：A、根据图示知，该直角三角形的一个角为，所以它们不是相似三角形．故本选项错误；B、由图示知，该直角三角形有一个角为，由“两组角对应相等”证得相似．故本选项正确；C、由图示知，该直角三角形的一个角为，与已知三角形的对应角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误；D、由图示知，该三角形为等腰直角三角形，所以它们不是相似三角形．故本选项错误；故选：B．7．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，、分别是的、上的点，则下列条件不能判定与相似的是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根据相似三角形的判定定理逐个分析判断即可．【详解】解：A．∵，∴，故该选项正确，符合题意；B．∵，∴，故该选项正确，符合题意；C．∵条件，，不能判定与相似，故该选项不正确，不符合题意；D．∵，∴，故该选项正确，符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．8．（2023上·江苏常州·九年级校考阶段练习）如图，已知，请你再补充一个条件，使得．

【答案】（答案不唯一）【分析】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定．【详解】解：添加条件，理由如下：∵，添加，∴，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的几个判定定理是解题的关键．9．（2023上·陕西榆林·九年级统考期中）如图，在和中，，请你添加一个条件：，使得．（填一个即可）

【答案】（或）【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．熟练掌握有两组角分别对应相等的三角形相似是解题的关键．根据有两组角分别对应相等的三角形相似，进行作答即可．【详解】解：由题意知，添加，∵，∴，即，∵，∴．10．（2023上·安徽安庆·九年级安徽省安庆市外国语学校校考期中）如图，线段、是的两条高．求证：．

【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形高的定义得到，进而根据两组角对应相等的两个三角形相似进行证明是解题的关键．【详解】证明：∵线段、是的两条高，∴，∴，又∵，∴．11．（2023上·广东深圳·九年级深圳中学校考期中）在锐角三角形中，点、分别在边、上，于点，于点，．

(1)求证：；(2)若，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）此题主要考查相似三角形的判定，根据直角三角形两锐角互余，得到，再根据，即可得到，又因为，即可证明.（2）此题主要考查相似三角形的性质，直接根据相似三角形对应边上的高之比等于相似比即可求解.【详解】（1）证明：于点,于点又为公共角（2）解：,于点,于点,,题型五相似三角形的性质【例5】（2023上·上海嘉定·九年级统考期中）如图，在中，点D、E分别在边上，相交于点O，，．

(1)如果，求的长;(2)如果的面积为2，求的面积.【答案】(1)16(2)6【分析】（1）证明，证明且得到的值，再证明，通过即可解答；（2）本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，当和以为底时，高相同，即可通过解题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）解：，，，，，，，，，，；（2）解：当和以为底时，高相同，，根据（1）可得，，，，的面积为．巩固训练：1．（2023上·湖南怀化·九年级统考期中）如图，中，边，高，边长为x的正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则正方形边长x为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是由正方形的性质得出平行线，证明三角形相似，利用相似三角形的性质列方程求解．由正方形的性质得，可证，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求的值．【详解】解：如图，

，，，即，解得．故选：A．2．（2023上·湖南怀化·九年级统考期中）两个相似三角形的相似比是，则这两三角形面积的比是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此进行求解即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是，相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴这两三角形面积的比是，故选：D3．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期中）如图，，，若，则的长为（

）．

A．1.5 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形性质是解题关键．根据，求出，进而得到，即可得解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴；故选C．4．（2023上·陕西西安·九年级陕西师大附中校考期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点E，且．已知，则的长是．

【答案】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，通过证明，得到，由此求出是解题的关键．【详解】解：∵，即，，∴，∴，即，∴，又∵，∴，故答案为：．5．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）将一张三角形彩纸按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点F，折痕为．已知，，若以点C，D，F为顶点的三角形与相似，则的长是（）

A． B． C．或4 D．或4【答案】D【分析】本题考查了折叠的性质和相似三角形的性质等知识点，先根据折叠性质得到，设，则，两个三角形相似，分三种情况，根据相似三角形对应边成比例的性质可得到的长，找到边长之间的关系是解题的关键．【详解】解：∵沿折叠，和F重叠，∴，设，∵，∴，当时，，∵，∴，解得：，即；当，，∵，∴，解得：，即；当时，同理可得，故或4，故选：D．6．（2023上·湖南岳阳·九年级校联考期中）如图，在中，点、分别在边、上，．已知，，则的长是．

【答案】6【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，根据题意得，掌握相似三角形的判定方法及性质是解答本题的关键．【详解】解：∵，∴，，∴，∴，又∵，，则，∴，∴．故答案为：67．（2023上·四川遂宁·九年级校考期中）如图，是一张锐角三角形的纸板，是上的高，，，从这张纸板上如图剪下一个矩形，且，则剪下的这个矩形的周长为．

【答案】72【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是由四边形是矩形，是的高，得到，，进而得到，由此得到；根据矩形的长是宽的2倍，可设，则，，进而利用比例式即可求出矩形的长和宽，由此即可得到矩形的周长．【详解】解：四边形为矩形，，，，．，，，．设，则，，，，，，，，，，矩形的周长为，故答案为：72．8．（2023上·广东深圳·九年级深圳中学校联考期中）在中，是的角平分线，交线段于点E，，，，则的面积为．

【答案】【分析】过点A作于点F，延长交于点H，过点H作于点G，则根据勾股定理可得的长，由题意易得，然后可得，进而问题可求解．【详解】解：过点A作于点F，延长交于点H，过点H作于点G，如图所示：

设，则，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得，∴，解得：，∴，∵是的角平分线，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵点E为的中点，∴；故答案为．【点睛】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，解题的关键是正确作出辅助线．9．（2023上·安徽安庆·九年级校联考期中）如图，在等边中，，点P为边上一动点，M为的中点，连接．

（1）当点P为的中点，的长为；（2）若点P移动到使时，的长为．【答案】【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质．（1）利用等边三角形的性质及勾股定理即可求解；（2）证明，利用对应边成比例即可求解．【详解】解：（1）当P是中点时，，∵是等边三角形，∴，，∴，由勾股定理得：；∵M为的中点，∴；在中，由勾股定理得：；故答案为：；（2）∵，，∴，∴，，∵，∴由得：，即，∵，∴．故答案为：．10．（2023上·湖南怀化·九年级统考期中）如图，在中，D、E在、上，，，求的长．

【答案】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．【详解】解：∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，．11．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期中）如图，，点，分别在，上，，．

(1)求证：(2)作于点，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据直角三角形中两个锐角互余及等量代换得出，再由相似三角形的判定和性质得出，即可证明；（2）根据相似三角形的性质得出，再由相似三角形的判定确定，由勾股定理得出，，再由相似三角形的判定和性质得出，设，则，利用勾股定理求解即可【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∵，∴，设，则，∴，∴，即，解得：（负值舍去），即．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，直角三角形的两个锐角互余等，正确理解题意熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．12．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期中）如图，，与相交于点，．

(1)求证：；(2)若，，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，（）利用已知条件推导出，再根据相似三角形的性质即可得到；（）先证明，得到，把这种关系代入到可得到，再通过可算出，解题的关键从图形中找到相似三角形并利用它的性质求解．【详解】（1）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∵，，∴，设，则，，∵，∴，解得，∴，∵，∴，∴，∴．13．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）如图，在中，点、分别在边、上，，．(1)求证：；(2)如果的面积为10，则四边形的面积为______．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质三角形面积关系等知识；在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键；（1）由题意得根据相似三角形的判定方法可得出结论；（2）由相似三角形的性质得出，求出三角形的面积，则可得出答案．【详解】（1）证明：∵，又∵，∴．（2）解：∵，∴，∵的面积为10，∴的面积为90，∴．14．（2023上·上海奉贤·九年级统考期中）如图，在为等腰梯形中，，对角线、交于点沿着直线翻折得到联结，分别于、相交于点F、G．

(1)求证：、互相平分；(2)若，求的比．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（1）根据等腰梯形的性质得到，根据翻折性质得到，从而证出，得出四边形是平行四边形，即可求证；（2）过点D作交于点M，得出是等边三角形，，再证明，得出，即可求证【详解】（1）证明：在等腰梯形中，∴．∵沿着直线翻折得到，∴．∴．∴．又．∴．∴四边形是平行四边形．∴、互相平分；（2）解：过点D作交于点M，

四边形是平行四边形，则，∴，∴是等边三角形，∴，∵，，∴，∴，∴．【点睛】该题主要考查了相似三角形判定和性质“对应边的比等于相似比”、平行四边形的判定和性质、等腰梯形的性质“两腰相等，两底角相等”、翻折的性质“翻折前后对应边相等，对应角相等”、等边三角形的判定和性质“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”“等边三角形三边相等”等知识点，解题的关键是作平行线，构建平行四边形．15．（2023上·北京通州·九年级统考期中）如图，在等腰三角形中，，D是边上的一个动点，（不与B、C重合）在边上取一点E，使．

(1)求证：；(2)设，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围【答案】(1)见解析(2)，【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、二次函数的性质，（1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到y关于x的函数关系式．【详解】（1）证明：，，，，，又，；（2）解：，，，，，，，由题意得：，．16．（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）如图，，，动点从点出发，以每秒的速度沿边向点运动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿边向点运动，点到达点后，点也停止，设运动时间为秒，当为何值时，与相似？

【答案】当时，【分析】本题考查相似三角形中的动点问题．分和两种情况进行讨论求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴；分两种情况：（1）若，，，解得．②若，，即，解得．，，当时，．17．（2023上·安徽安庆·九年级校联考期中）如图，是的角平分线，延长至D，使得．

(1)求证：；(2)若，，，求长．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】本题考查了角平分线、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质．（1）由角平分线及，可得，从而可得；（2）由，得到对应边成比例，即可求得结果．【详解】（1）证明：∵是的角平分线，∴．∵，∴．又∵，∴；（2）解：∵，，∴．∵，∴，即，∴．18．（2023上·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在中，平分，．

(1)求证：；(2)若求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握两脚对应相等的两三角形相似．（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得，又因为，即可得；（2）根据相似三角形的判定得，根据题意得，代入比例式即可解题．【详解】（1）∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴，∴或（舍去）．19．（2023上·福建宁德·九年级福鼎市第一中学校考期中）在中，，，，如图1，将绕点A顺时针旋转某个角度得到，其中D是点B的对应点，E是点C的对应点，连接，．(1)求证：；(2)如图2，当点D在线段上时，求线段的长；(3)连接，，在旋转过程中，是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)(3)是定值，定值为50【分析】（1）根据旋转的性质得出，，，进而得出，，即可求证；（2）法一：过点A作于F，根据勾股定理求出，

用等面积法得出，则，再根据勾股定理得出，再根据三线合一得出，最后根据，即可求解；法二：过点A作于F，通过证明，得出，则；最后根据三线合一，即可得出；（3）设和相交于点G，和相交于点H，通过证明，得出

即可解答．【详解】（1）证明：∵将绕点A顺时针旋转得到，∴，，，∴，，即，，∴；（2）解：法一：如图，过点A作于F，∵，，，∴，

∵将绕点A顺时针旋转得到，∴，，，∵，∴，∴，∵∴，∵，∴，即∴；法二：如图，过点A作于F，∵，∴，∵，∴，∴即∴；∵，∴．（3）解：如图，设和相交于点G，和相交于点H，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴

∵，∴∴是定值，定值为50．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例，等腰三角形三线合一，旋转前后对应边和对应角相等，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．题型六相似三角形性质的实际应用【例6】（2023上·河北邢台·九年级校考期中）张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点H．

(1)当点P恰好为中点时，______；(2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长；(3)若这个零件的边．则这个零件的长、宽各是多少？【答案】(1)60(2)这个零件的边长为；(3)矩形的长为，宽为．【分析】本题考查了相似三角形的应用．（1）根据，得到，利用相似三角形的性质可得到答案；（2）设正方形的边长为，根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，据此求解即可；（3）设矩形的宽为，则长为，然后根据相似三角形，列出比例关系式求解．【详解】（1）解：∵四边形为矩形，∴，∴，∴，∵为中点，∴，，∴；故答案为：60；（2）解：∵四边形为正方形，∴，，设正方形的边长为，则，∵，∴，∴，∴，解得，答：这个零件的边长为；（3）解：设矩形宽为，则长为，同理，∴，∴，解得，，故矩形的长为，宽为．巩固训练：1．（2023上·山西晋中·九年级统考期中）人字梯也称折梯，是平面上方空间工作的一种登高工具，因其使用时左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象地称为“人字梯”，如图所示．图是其工作示意图，已知，拉杆，．若米，则两梯杆跨度，之间的距离为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】此题考查了相似三角形的判定及性质，根据相似三角形的判定及性质可得，进而可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．【详解】∵，∴，∴，∵，∴，即，∴（米），故选：C．2．（2023上·浙江宁波·九年级宁波市海曙外国语学校校考期中）为了测量河宽，有如下方法：如图，取一根标尺横放，使，并使点，，和点，，分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽的长度为（

）米．

A．24 B．30 C．32 D．40【答案】C【分析】根据题意得到，由该相似三角形的对应边成比例求得答案．【详解】解：∵，∴，，∴，∴，∵米，米，米，∴米，∴．∴米，故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．3．（2023上·湖南怀化·九年级统考期中）如图，一斜坡长，高为，将重物从坡底A推到坡上高度是的M出处停下，则斜坡的长度为米．【答案】15【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，作于D，证，根据线段比例关系求出的值即可．【详解】解：作于D，∴，∴，，，，故答案为：15．4．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）小明的身高是，他的影长是．同一时刻古塔的影长是，则古塔的高是．【答案】48【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出古塔高度即可列方程解答．【详解】解：设古塔高度为，列方程得：，解得．故旗杆的高度为．故答案为：48．【点睛】本题考查了相似三角形，解题的关键是根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．5．（2023上·福建宁德·九年级福鼎市第一中学校考期中）小丽同学准备测量学校教学楼的高度．如图，她在与教学楼底部A同一个水平的地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离为24米，然后在射线上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时她与镜子的距离为3米，若小丽的眼睛距离地面高度为米，请你帮小丽利用这些数据求出教学楼的高度．【答案】教学大楼的高度是米【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，，得出，进而得出，即可求解．【详解】解：∵由题意得，，，∴，∴，即，解得：，

答：教学大楼的高度是米．6．（2023上·陕西榆林·九年级统考期中）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度，他站在该塔的