难点探究：整式中的规律探究问题压轴题五种模型全攻略（原卷版）

专题12难点探究专题：整式中的规律探究问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一数字类规律探索之排列问题】 1【类型二数字类规律探索之末尾数字问题】 4【类型三数字类规律探索之新运算问题】 6【类型四数字类规律探索之等式问题】 10【类型五图形类规律探索之数字问题】 14【类型五图形类规律探索之数量问题】 16【典型例题】【类型一数字类规律探索之排列问题】例题：（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下列各单项式：，…，根据你发现的规律，第10个单项式是（

）A． B． C． D．【变式训练】1.（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）一组数据，，，，…请按这种规律写出第十个数是．2.（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）从3开始的连续奇数按右图的规律排列，其余位置数字均为．

（1）第行第列的数字是．（2）数字在图中的第行，第列．3．（2023秋·七年级课时练习）观察下列单项式：．解决下列问题：(1)这组单项式的系数依次为多少？系数的绝对值的规律是什么？(2)这组单项式的次数的规律是什么？(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么吗？(4)请你根据猜想，写出第2022个、第2023个单项式．【类型二数字类规律探索之末尾数字问题】例题：（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，…归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是（

）A．1 B．3 C．9 D．7【变式训练】1.（2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习）观察下列算式：①；②；③寻找规律，并判断的值的末位数字为（）A．1 B．3 C．5 D．72.（2023春·江苏连云港·七年级统考期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示，即：，，，，，……，请你推算的个位数字是（

）A．8 B．6 C．4 D．23．（2023春·黑龙江绥化·七年级校考期末）观察下列算式：，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是．【类型三数字类规律探索之新运算问题】例题：（2022·湖南株洲·统考二模）定义一种关于整数n的“F”运算：（1）当n是奇数时，结果为；（2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74，……；若，则第2020次运算结果是（

）A．1 B．2 C．7 D．8【变式训练】1.（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，．．．，依此类推，则（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）一列数，，…，其中，，，…，，则（

）A． B．1 C．2020 D．3.（2023秋·全国·七年级专题练习）已知整数，，，，……满足下列条件：，，，…，以此类推，则的值为，的值为4．（2022秋·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）已知整数满足下列条件：，，，，…，（为正整数）依此类推，则的值为．【类型四数字类规律探索之等式问题】例题：（2023春·安徽安庆·七年级统考期末）观察下列等式：第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：．……按照以上规律，解决下列问题：(1)请直接写出第4个等式：．(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明理由．【变式训练】1．（2023春·山东济南·七年级统考期中）已知，观察下列等式；；；；…(1)猜想：________；(2)应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：①________；②________．(3)求的值是多少？2．（2023春·云南昭通·七年级统考期中）小明计算：的过程如下：解：令则得∴请参照小明的方法，计算：．3．（2023秋·浙江·七年级专题练习）找规律，完成下列各题：

(1)如图①，把正方形看作，．(2)如图②，把正方形看作，．(3)如图③，把正方形看作，．(4)计算：．(5)计算：．【类型五图形类规律探索之数字问题】例题：（2022秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）如图，根据图形中数的规律，可推断出a的值为（

）A．128 B．216 C．226 D．240【变式训练】1.（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）根据图中数字的规律，若第n个图中的值为196，则（

）

A．12 B．13 C．14 D．152.（2022秋·河南周口·七年级校考期中）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，则第（为正整数）个三角形中，用表示的式子为（

）

A． B． C． D．【类型五图形类规律探索之数量问题】例题：（2023·江苏·七年级假期作业）用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放：(1)第5个图案有张黑色小正方形纸片；(2)第n个图案有张黑色小正方形纸片；(3)第几个图案中白色纸片和黑色纸片共有81张？【变式训练】1．（2023春·河南信阳·七年级校联考阶段练习）如图，用棋子摆出下列一组图形，如果按照这种规律摆下去，那么第10个图形里棋子的个数为（

）

A．72 B．66 C．56 D．782．（2023春·河北石家庄·七年级行唐一中校考开学考试）观察下列图形的构成规律，按此规律，第6个图形中棋子的个数为个，第n个图形中棋子的个数为个．

3.（2023·安徽淮北·淮北市第二中学校考二模）如图，利用黑白两种颜色的五边形组成的图案，根据图案组成的规律回答下列问题：(1)图案④中黑色五边形有______个，白色五边形有______个；(2)图案中黑色五边形有______个，白色五边形有______个；（用含的式子表示）(3)图案中的白色五边形可能为2023个吗？若可能，请求出的值；若不可能，请说明理由．4．（2023秋·七年级课时练习）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案．

(1)第5个图案中，三角形有________个，六边形有________个；(2)第（为正整数）个图案中，三角形与六边形各有多少个？(3)第2021个图案中，有多少个三角形？(4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形和40个六边形？如果存在，指出是第几个图案；如果不存在，请说明理由．5．（2023春·安徽·九年级专题练习）苯是最简单的芳香族化合物，在有机合成工业上有着重要的用途，德国化学家凯库勒发现了苯分子的环状结构．将若干个苯环以直线形式相连可以得到如下类型的芳香族化合物（结构简式中六边形每个顶点处代表个原子，