高等数学（第五版）课件 第五章 不定积分

不定积分的概念不定积分的概念

设

是定义在某区间上的已知函数，如有则称函数

是函数

在该区间上的一个原函数.

定义1原函数不定积分的概念

例如，对任意的

，都有

，所以

是

在该区间上的一个原函数，但

，所以

的原函数不是惟一的.因为常数的导数恒为零，因此可推知

（

为任意常数）都是

的原函数.不定积分的概念

定理1

若

是

的一个原函数，则

是

的全部原函数，其中

为任意常数.不定积分的概念

定义2不定积分

设

是

的一个原函数，我们把函数

的全体原函数

（

为任意常数）叫做

的不定积分，记作

，即

，其中.

上式中，“”叫做积分号，

叫做被积函数，

叫做积分变量，

叫做被积表达式，任意常数

叫做积分常数.不定积分的概念

不定积分的几何意义：我们称原函数

的图形为函数

的一条积分曲线.在几何上，不定积分

就表示全体积分曲线所组成的曲线族.这个曲线族里的所有积分曲线在横坐标相同的点

处的切线彼此平行，即这些切线有相同的斜率

，如图所示.例1求下列不定积分：

习题讲解

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）解：（1）因为

，所以

是

的一个原函数，由不定积分的定义知

（2）因为

，所以

是

的一个原函数，由不定积分的定义知

（4）因为在

及

上

，所以当

时，

是

的一个原函数，从而有

习题讲解

（3）因为

，所以

是

的一个原函数，从而有

THANKS！不定积分的性质不定积分的性质

由不定积分定义知，不定积分与导数（微分）之间有如下的关系：

这说明微分运算与积分运算是互逆的.对一个函数先积分再微分，结果两个运算互相抵消；如果先微分再积分，其结果只差一个常数.

性质1不定积分与导数（微分）的关系（1）

，或

；

（2）

，或.

例1求下列运算的结果：

（1）

；

（2）.

解

（1）

；

（2）.

不定积分的性质

（2）两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即

不定积分的性质

（1）被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即

性质（2）可推广到有限个函数代数和的情形.综合两条性质，可得不定积分的线性性质：

性质2不定积分的线性性质其中，

、

为不全为零的常数.解：（1）

例2求下列不定积分：

习题讲解

（1）

；

（2）.解：（2）

习题讲解

例2求下列不定积分：

（1）

；

（2）.THANKS！直接积分法直接积分法

引例

既然积分运算是微分运算的逆运算，那么，从每个导数公式就可得到相应的积分公式.

例如，由于

（

），

所以在

时，

就是

的一个原函数，于是有积分公式

（

）

又如，由

，得积分公式.

基本积分公式直接积分法（1）

（

为常数）；特别地，

，.

（2）

（

）；

（3）

；

（4）

（

，

）；（5）

；

（6）

；

（7）

；基本积分公式直接积分法（8）

；

（9）

；

（10）

；

（11）

；

（12）

；

（13）.

解

由

，求不定积分得直接积分法案例【电流强度】一电路中，电流关于时间的变化率为

，

若

时，,求电流

关于时间

的函数.

将

代入上式，得.所以习题讲解

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）.

求下列不定积分：

例1

解

（1）.习题讲解

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）.

求下列不定积分：

例1

解

（2）

.习题讲解

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）.

求下列不定积分：

例1

解

（3）.习题讲解

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）.

求下列不定积分：

例1

解

（4）

.

求下列不定积分：

例2

习题讲解

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）.

；

解

（1）首先把被积函数化为和式，然后再逐项积分得习题讲解

（2）

；

（3）将分子重新组合，化整个分式为两部分习题讲解

（4）利用倍角公式，将被积函数的分母化为单项式

上述例子中的解题思路——先将被积函数通过代数、三角等恒等变形，化为基本积分公式中已知可积函数的代数和，然后再逐项积分.

利用不定积分的基本积分公式和性质直接求得函数的积分的方法，叫做直接积分法.

习题讲解

THANKS！第一换元积分法第一换元积分法引例3

求解法一:解法二:第一换元积分法

一般地，若成立，那么当是的任一可导函数时，式子是成立的.

由,得

根据微分形式不变性可知，当可导时，有.

从而根据不定积分定义，有.第一换元积分法

.

一般地，如果被积函数的形式是（或可以化为这种形式），且在某区间上可导，具有原函数，则可以在的被积函数中将凑成微分，然后对新变量求不定积分，就得到下

面的公式：例1求

解：.习题讲解

例2求

解：习题讲解

例3求

解：第一换元积分法THANKS！第二换元积分法第二换元积分法解求这个积分困难在于被积函数中含有根式，为了去掉根式，容易想到令，即于是，代入原积分，得引例4

求

为了使所得结果仍用原变量来表示，把回代上式，得第二换元积分法

从引例4可以看出，这种变量替换表达式中，新变量处于自变量的地位，而在第一换元积分法中新变量是因变量。其中单调可微，且例1求

解：

计算这个积分困难在于被积函数含有和，为了克服此困难，可令，代入原积分，得习题讲解

求

例2解：习题讲解

为了变回到原来的变量，由作直角三角形，见图2所以求

例3习题讲解

所以解：令，则，，于是由作直角三角形，见图3，得其中求

例4习题讲解

所以解：令，则，，于是由作直角三角形，见图4，得其中第二换元积分法

一般地说，当被积函数含有

（1），可作代换

（2），可作代换

（3），可作代换THANKS！不定积分的分部积分法分部积分法引例5

设函数

具有连续导数，根据乘积微分公式有移项得

该公式称为分部积分公式，它可以将求的积分问题转化为求的积分.两边积分得例1求

习题讲解

解：求该积分的难点在于如何去掉被积函数中的。若将“缩进”微分号中（凑微分），利用分部积分公式，转化后的新积分中对进行一次微分，从而在被积函数中消去了因子，不定积分很容易被求出。设则右端中的积分显然容易算出，于是分部积分法运用好分部积分法关键是恰当地选择好和，一般要考虑如下两点：（1）要容易求得（可用凑微分法求出）；