2024-2025学年浙江省温州市永嘉县五校联考九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2024-2025学年浙江省温州市永嘉县五校联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．（3分）如图为各个城市的轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转180°后得到的图形不变的是（）A． B． C． D．2．（3分）二次函数y＝3x2﹣5x+1的一次项系数是（）A．﹣5 B．1 C．3 D．53．（3分）下列二次函数图象经过原点的是（）A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣3x C．y＝（x+1）2 D．y＝﹣x2﹣3x+14．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，已知∠B＝30°，则∠AOC的度数是（）A．30° B．50° C．40° D．60°5．（3分）小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸5次，每次摸到的都是红球，下面说法正确的是（）A．盒子里一定都是红球 B．他第6次摸到的一定还是红球 C．他第6次摸到的可能还是红球 D．盒子里一定还有其他颜色的球6．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣1向左平移2个单位，所得函数的解析式为（）A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1 C．y＝x2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣37．（3分）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（）A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心8．（3分）如图，以量角器的直径AC为斜边作Rt△ABC，过点B作BD⊥AC交半圆弧于点D，点D对应的读数为104°，则∠BAC的度数为（）A．38° B．76° C．52° D．40°9．（3分）已知A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y110．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．则以下说法错误的是（）A．abc＜0 B．当﹣1≤a＜0时，关于x的方程ax2+bx+c＝8必无实数根 C．a+c＝b D．直线y＝﹣ax+5a与该函数必有两个交点二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分）11．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是．12．（3分），0，π这三个数中随机选择一个数，则这个数为无理数的概率为．13．（3分）如图，三角形OAB绕点O逆时针旋转75°到三角形OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠AOD＝．14．（3分）同一平面内，⊙O内一点P到圆上的最大距离为6cm，最小距离为2cm，则⊙O的半径为cm．15．（3分）如图所示，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的对称轴为直线x＝1，且OD＝OB＝3OA，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为．16．（3分）如图以AB为直径的半圆上，，点C是半圆弧上的任意点，F为弧AC上的中点，连结BF交AC于点E，作OD⊥BF于点D，连结AD，若AD为∠ODF的角平分线，则BF＝；AC＝．三、解答题（本题有8小题，17-21题每小题8分，22-23题10分，24题12分，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（8分）已知函数y＝ax2﹣2x+1（a≠0）．（1）若点（﹣1，2）在此函数图象上，求该二次函数表达式及函数图象的开口方向；（2）在（1）的条件下，判断点（1，2）是否在此函数图象上．18．（8分）近期教育局将要举办“文学名著阅读分享大赛”，某校要从男生小明、小强和女生小慧、小红中共选取2人参加全区比赛，规定其中女生选n名．（1）当n＝时，“男生小明参加”是必然事件．（2）当n＝1时，小明和小慧同时参加比赛的概率是多少？（要求列出树状图或者表格）19．（8分）如图，AB是⊙O的弦，点D是AB的中点，连接OD并反向延长交⊙O于点C．若AB＝CD＝16，求⊙O的半径．20．（8分）2024巴黎奥运会，郑钦文获得了网球女单的冠军，创造了历史时刻，也在国内掀起一股网球热．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明的爸爸买到一张门票，但小明和妹妹都想去，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座．（1）爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；（2）若爸爸发现将袋子里的2个白球换成红球，然后用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的，问袋子中原来有红球和白球各有几个？21．（8分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0），若将该函数向先左平移1个单位，再向上平移9个单位，顶点恰好落在原点上．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）若有一直线l与抛物线交于点A（﹣3，m），B（R，16），且n＞0．若点P在抛物线上且在直线l下方，且点P不与点A，B重合，分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，△ADC内接于⊙O，∠ADC＝30°，CD交AB于点E．（1）求∠BAC的度数；（2）若E为OB的中点，CE＝7，求直径AB的长．23．（10分）某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润y1与投资金额成正比；乙产品的利润y2与投资金额成二次函数关系，其关系如图，其中点A、B、C的坐标分别为（4，﹣2），（10，﹣1.25），（8，2）．（1）分别求出甲，乙两种产品的利润与投资之间的关系式．（2）若该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入多少资金才能使企业获利．（3）该企业准备筹集a万元投入甲，乙两种产品的生产，且该企业计划两种产品最小利润不低于资金额的20%，那么该企业至少要筹集到多少资金？24．（12分）已知，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D，E分别为弧AC，弧BC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，点D，G关于直径AB对称，连结DG．（1）求弧DE的度数．（2）若EG为⊙O的直径，请猜想DE与OF的数量关系，并给出证明．（3）设EG＝x，△OEF的面积为S，若⊙O的半径为1，求S关于x的函数解析式．

2024-2025学年浙江省温州市永嘉县五校联考九年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．【解答】解：A、本选项中轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转180°后得到的图形发生变化，不符合题意；B、本选项中轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转180°后得到的图形发生变化，不符合题意；C、本选项中轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转180°后得到的图形不变，符合题意；D、本选项中轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转180°后得到的图形发生变化，不符合题意；故选：C．2．【解答】解：二次函数y＝3x2﹣5x+1的一次项系数是﹣5，故选：A．3．【解答】解：A、将x＝0代入y＝x2+1可得y＝1，故不经过原点，不符合题意；B、将x＝0代入y＝x2﹣3x可得y＝0，故经过原点，符合题意；C、将x＝0代入y＝（x+1）2可得y＝1，故不经过原点，不符合题意；D、将x＝0代入y＝﹣x2﹣3x+1可得y＝1，故不经过原点，不符合题意；故选：B．4．【解答】解：∵∠B与∠AOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠B＝30°，∴∠AOC＝2∠B＝2×30°＝60°．故选：D．5．【解答】解：A、盒子里一定都是红球，故不符合题意；B、他第6次摸到的不一定还是红球，故不符合题意；C、他第6次摸到的可能还是红球，故符合题意；D、盒子里可能还有其他颜色的球，故不符合题意；故选：C．6．【解答】解：将二次函数y＝x2﹣1向左平移2个单位，所得函数的解析式为y＝（x+2）2﹣1．故选：B．7．【解答】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等，∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点，即外心，故选：A．8．【解答】解：设半圆弧的圆点为O，BD⊥AC于点E，连接BO，如图所示，∵点D对应的读数为104°，∴∠AOD＝104°．∵以量角器的直径AC为斜边作Rt△ABC，∴点B在⊙O上，∴∠ABD＝∠AOD＝×104°＝52°．∵BD⊥AC于点E，∴∠AEB＝90°．在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝52°，∴∠BAC＝180°﹣90°﹣∠ABD＝180°﹣90°﹣52°＝38°．故选：A．9．【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝2×（﹣1﹣1）2+k＝8+k；当x＝1时，y2＝2×（1﹣1）2+k＝k；当x＝4时，y3＝2×（4﹣1）2+k＝18+k．∵k＜8+k＜18+k，∴y2＜y1＜y3．故选：B．10．【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，故a＜0，对称轴在y轴右侧，故b＞0，与y轴交于正半轴，故c＞0，故abc＜0，A选项不合题意；该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，故该函数图象必过点（5，0），故该抛物线表达式为y＝a（x+1）（x﹣5），当x＝2时，ymax＝﹣9a，当﹣1≤a＜0时，∴0＜﹣9a≤9，则关于x的方程ax2+bx+c＝8有可能有实根，故B选项符合题意；该函数图象经过点（﹣1，0），故y＝a﹣b+c＝0，即a+c＝b，故C选项不合题意；∵直线y＝﹣ax+5a恒过点（5，0），又a＜0，∴﹣a＞0，故直线y＝﹣ax+5a从左至右是上升的，因此，直线y＝﹣ax+5a与抛物线必有两个交点，D选项不合题意．故选：B．二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分）11．【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（1，﹣3）．故答案为：（1，﹣3）．12．【解答】解：∵，0，π这三个数中，，π是无理数，∴这三个数中随机选择一个数，这个数为无理数的概率是，故答案为：．13．【解答】解：∵三角形OAB绕点O逆时针旋转75°到三角形OCD的位置，∠AOB＝45°，∴∠AOC＝75°，∠COD＝∠AOB＝45°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝75°﹣45°＝30°，故答案为：30°．14．【解答】解：设⊙O的半径为rcm，∵⊙O内一点P到圆上的最大距离为6cm，最小距离为2cm，∴r＝＝4（cm），故答案为：4．15．【解答】解：设OA＝t，则OB＝OD＝3t，∴A（﹣t，0），B（3t，0），D（0，﹣3t），∴抛物线的对称轴为直线x＝t，∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴t＝1，∴OA＝1，OB＝OD＝3，连接AC、BC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴OC⊥AB，∴OC2＝OA•OB＝1×3，∴OC＝，∴CD＝OC+OD＝+3．故答案为：+3．16．【解答】解：连接AF，OF，设OF于AC交于点P，过点F作FH⊥AB于P，如图所示：∵AB是半圆的直径，点F是弧AC上的中点，∴∠AFB＝90°，∵OD⊥BF，∴OD∥AF，∠ODB＝∠ODF＝90°，又∵OA＝OB，∴OD是△BAF的中位线，∴BD＝DF，∵AD为∠ODF的角平分线，∴∠1＝∠ODF＝45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF＝DF，∴BD＝DF＝AF，即BD＝2AF，在Rt△ABF中，AB＝，由勾股定理得：AB＝＝AF＝，∴AF＝2，∴BF＝2AF＝4；∵S△ABF＝FH•AB＝AF•BF，∴FH＝＝＝，∵点F是弧AC上的中点，根据垂径定理得：OF⊥AC，AP＝PC，∴AC＝2AP，∵S△OAF＝AP•OF＝OA•FH，OF＝OA，∴AP＝FH＝，∴AC＝2AP＝．故答案为：4；．三、解答题（本题有8小题，17-21题每小题8分，22-23题10分，24题12分，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．【解答】解：（1）由题意，∵点（﹣1，2）在函数y＝ax2﹣2x+1图象上，∴a+2+1＝2．∴a＝﹣1．∴函数为y＝﹣x2﹣2x+1．∴函数图象的开口向下．（2）由题意，∵抛物线为y＝﹣x2﹣2x+1，∴当x＝1时，y＝0．∴点（1，2）不在此函数图象上．18．【解答】解：（1）当n＝0时，“男生小明参加”是必然事件，故答案为：0；（2）列表如下：小明小强小慧小红小明（小强，小明）（小慧，小明）（小红，小明）小强（小明，小强）（小慧，小强）（小红，小强）小慧（小明，小慧）（小强，小慧）（小红，小慧）小红（小明，小红）（小强，小红）（小慧，小红）得到含有1名女生的所有等可能的情况有8种，其中小明和小慧同时参加比赛的有2种结果，所以小明和小慧同时参加比赛的概率为＝．19．【解答】解：连接OA，如图所示：∵点D是AB的中点，AB＝16，∴OD⊥AB，AD＝AB＝8，设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝r，∵CD＝16，∴OD＝16﹣r，在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2＝OD2+AD2，即r2＝（16﹣r）2+82，解得：r＝10，即⊙O的半径为10．20．【解答】解：（1）∵红球有2x个，白球有3x个，∴P（红球）＝＝，P（白球）＝＝，∴P（红球）＜P（白球），∴这个办法不公平；（2）∵2个白球换成红球后，红球有（2x+2）个，白球有（3x﹣2）个，∴P（红球）＝，P（白球）＝，x为正整数，∵用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的，∴2x+2＝3x﹣2，解得x＝4，∴袋子中原来有红球8个，白球12个．21．【解答】解：（1）y＝ax2﹣2ax﹣8＝a（x﹣1）2﹣a﹣8，∴将该函数向先左平移1个单位，再向上平移9个单位得到y＝ax2﹣a+1，∵顶点恰好落在原点上，∴﹣a+1＝0，∴a＝1，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣8，∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，∴顶点坐标为（1，﹣9）；（2）把x＝﹣3代入y＝x2﹣2x﹣8得y＝7，∴m＝7，把y＝16代入函数解析式得16＝n2﹣2n﹣8，解得n＝6或n＝﹣4，∵n＞0，∴n＝6，∴点A坐标为（﹣3，7），点B坐标为（6，16），∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣9），∴抛物线顶点在AB下方，∴﹣3＜xP＜6，﹣9≤yP＜16．22．【解答】解：（1）连接OC，过点C作CF⊥AB于F，如图所示：∵∠ADC＝30°，∴∠AOD＝2∠ADC＝60°，∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠BAC＝60°；（2）设OF＝a，∵△OAC是等边三角形，CF⊥AB，∴AF＝OF＝a，∴AC＝OA＝OC＝OB＝2a，在Rt△OCF中，由勾股定理得：CF＝＝，∵E为OB的中点，∴OE＝BE＝a，∴EF＝OE+OF＝2a，在Rt△CEF中，CE＝7，由勾股定理得：CF2+EF2＝CE2，∴（，解得：，或（不符合题意，舍去）∴OA＝OB＝2a＝，∴AB＝2OA＝．23．【解答】解：（1）由题意，设甲产品的利润为：y1＝kx（k≠0），∵C（8，2）在函数图象上，∴2＝8k，∴k＝，∴甲产品的利润与投资之间的关系式为y1＝x；设乙产品的利润y2与投资金额x的函数关系为：y2＝ax2+bx（a≠0），∵二次函数的图象过A（4，﹣2），B（10，﹣1.25），∴，解得：，∴y2＝0.0625x2﹣0.75x；（2）当y2＝0时，0.0625x2﹣0.75x＝0，解得：x1＝0，x2＝12．∴该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入超过12万元资金才能使企业获利；（3）设该企业准备筹集x万元投入乙两种产品的生产，则投入甲种产品的资金为（a﹣x）万元，设总利润为y万元，则y＝y1