定义与命题教案

教育教师备课手册教师姓名学生姓名填写时间2012/3/14学科数学年级八年级上课时间18:00—20:00课时计划2课时教学目标教学内容个性化学习问题解决教学重点、难点教学过程定义与命题（一）教学目标1、体会在生活中对一个名词或术语下定义的重要性，了解定义的含义；2、了解命题的含义；了解命题的2要素：判断和陈述；3、了解命题的结构，能分清楚一个命题的条件（题设）和结论，会把一个命题写成“如果…，那么…”的形式；教学重难点本节教学的重点是命题的概念。正确叙述命题的条件（题设）和结论，改写成“如果…那么…”形式，是本节课的难点。主要教学过程一、请说出下列名词的定义：（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数。（2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形（3）一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b都是常数且k≠0）叫做一次函数。（4）压强：单位面积所受的压力叫做压强。二、说一说：你还学过哪些定义？一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。三、练一练：下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？（1）对顶角相等；（2）画一个角等于已知角；（3）两直线平行，同位角相等；（4）a、b两条直线平行吗？（5）高个的李明明。（6）玫瑰花是动物。（7）若a2＝4，求a的值。（8）若a2＝b2，则a＝b。例题解析例1指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：（1）三条边对应相等的两个三角形全等；条件是：两个三角形的三条边对应相等；结论是：这两个三角形全等改写成：如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等。（2）在同一个三角形中，等角对等边；条件是：同一个三角形中的两个角相等；结论是：这两个角所对的两条边相等改写成：如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（3）对顶角相等。条件是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等。改写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。(4)同角的余角相等；条件是：两个角是同一个角的余角；结论是：这两个角相等。改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。(5)三角形的内角和等于180°；条件是：三个角是一个三角形的三个内角；结论是：这三个角的和等于180°。改写成：如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°。(6)角平分线上的点到角的两边距离相等．条件是：一个点在一个角的平分线上；结论是：这个点到这个角的两边距离相等。改写成：如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。题后小结：找出命题的条件和结论是本节的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写是注意把时要把省略的词或句子添加上去.例2、下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?(1)若a<b，则；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在ΔABC中，若AB>AC，则∠C>∠B吗?(4)两点之间线段最短；(5)解方程；(6)1＋2≠3。练习1、指出下列命题的条件和结论，并改写“如果……那么……”的形式：（1）两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；如果两个三角形有两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等。（2）直角三角形两个锐角互余。如果两个角是一个直角三角形的两个锐角，那么这两个角互余。2、观察下面四组图形，找出每一组图形的共同特征，并对类似于这样的图形下一个定义。3、在数学运算中，除了加、减、乘、除等运算外，还可以定义新的运算。如定义一种“星”运算，“*”是它的运算符号，其运算法则是：于是：按以上定义，填空：_____________；__________请你参照以上方法，也定义一种新运算，并举几个运算的例子。三、总结回顾，反思内化三个内容：定义与命题（二）教学目标1、理解真命题、假命题、公理和定理的概念；2、会在简单情况下判断一个命题的真假，会区分定理、公理和命题；3、通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法。重点与难点本节教学的重点是判断一个命题的真假是本节的重点。难点是正确认识公理、定理、命题（真命题）和定义的区别。教学流程一、复习旧知，巩固基础：1、判断下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？（1）同角的余角相等。（2）在直线AB上任取一点C。（3）相等的角是对顶角。（4）全等的两个三角形的面积相等。（5）不相交的两条直线叫做平行线。（6）所有的质数都是奇数。一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。命题由可看做由题设(或条件)和结论两部分组成.2、得出真命题、假命题的概念：正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。二、合作学习、巩固思考：１、复习命题的概念，思考下列命题的条件是什么？结论是什么？（1）边长为a（a＞0）的等边三角形的面积为。（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（3）对于任何实数ｘ，ｘ２＜０。在上述命题中，哪些正确？哪些不正确？你的理由是什么？在这里，（1）对于学生来说有一定的难度，虽然在教学中以前曾提到过三角形及等边三角形的面积计算，但时隔较长，学生的记忆也不太清楚，有10个人能记住，已经不错了，因此需要对学生进行一定的解释。2、概括判断一个命题是真命题，还是假命题的思路。要判断一个命题是假命题，只需要举出一个符合命题条件，但不符合命题的结论的例子来推翻它就可以了；但要判断一个命题是真命题，则要经过论证，甚至于计算的方法才能得到3、以学生同桌为单位进行操练，一人负责说命题，然后另一个人来回答是真命题还是假命题，并要有适当的理由，然后反过来。（当遇到有不能解决的问题，或产生争论的时候，可以请老师裁决。）4、当堂演练：判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由。（1）x=1是方程x2-2x-3=0的解。（2）x=2是方程的解。（3）如图，若∠1=∠2，则∠３=∠４。（4）一个图形经过旋转变换，像和原图形全等。（5）三角形的任何一个外角大于和它不相邻的一个内角。5、巩固提高(1)已知∠1和∠2如图，则∠1＞∠2；(2)三角形的两边之和大于第三边；(3)如图，若∠B=∠C，则△ABC是等腰三角形；(4)会飞的动物是鸟。重视反例的构建与反例的作用的解释：具备命题的条件但不具备命题的结论的实例，可以用来判断命题的错误性。利用反例可证明一个命题是错误的。三、讲述公理和定理的定义1、公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。这样公认为正确的命题叫做公理。例如：“两点之间线段最短。”“一条直线截两条平行所得的同位角相等”，“两点就可以确定一条直线。”“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。”“三角形的全等的方法：SASASASSS”。然后提问学生：你所学过的还有那些公理2、定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。3、举例：前面学过的，用推理的方法得到的那些用黑体字表述的图形的性质都可以作为定理。三角形任何两边的和大于第三边；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；定理和公理都可以作为判断其他命题真假的依据；4、请用学过的公理或定理说明下面这个命题的正确性：“等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线互相重合“5、判一判所有的命题都是公理。所有的真命题都是定理。所有的定理是真命题。所有的公理是真命题。6、挥洒自如1、下列的命题中，哪些是真命题?哪些是假命题?请说明理由：(1)对顶角相等；(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；(3)三条直线两两相交，必有三个交点；(4)若两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等；(5)”-a”是负数.2、如图，若∠1+∠2=180°，则a∥b.用推理的方法说明它是一个真命题.3、X=３是方程解，这是真命题还是假命题？4、考考你！（1）“两点之间，线段最短”这个语句是（）A、定理B、公理C、定义D、只是命题（2）“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（）A、定理B、公理C、定义D、只是命题（3）下列命题中，属于定义的是（）A、两点确定一条直线B、同角的余角相等C、两直线平行，内错角相等D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度（4）下列句子中，是定理的是（），是公理的是（），是定义的是（）。A、若a=b，b=c，则a=c；B、对顶角相等C、全等三角形的对应边相等，对应角相等D、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形E、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等新课程的教学告诉我们，在学生进行数学学习的过程中，要对学生进行合理的评价，这就是要关注学生数学学习的水平，更要关注它们在数学学习过程中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。证明教学目标1、了解证明的含义。2、体验、理解证明的必要性和推理过程中要步步有据。3、了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题。4、通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力。重点与难点本节教学的重点是证明的含义和表述格式。难点是本节教学的难点是按规定格式表述证明的过程。教学过程一、新课引入在实验几何中，常让学生通过观察、实验和归纳得出结论。而这里结合教材中的“合作学习”的内容，并进行一定的补充（如图），增加学生的感官感受。使学生感受到凭实验、观察和归纳得出的结论不一定正确，使学生感受到直观是重要的，但有时也会欺骗人，这时就需要通过逻辑推理来判断从而让学生理解证明的必要性。在实验向论证过渡中，学生们已经经历了探索图形性质的过程，并且发现了图形的很多性质，凭实验、观察和归纳得出的结论不一定正确。但是，在强调证明的必要性时，不要否定实验、归纳的重要性。在数学上，要判断一个命题是否正确，需要经过证明，但要发现一个真理，实验、观察和归纳始终是一条重要的途径。例1、证明命题“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，那么这两个角相等”是真命题。分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件、以及要证明的结论（求证）。证明过程的具体表述（略）注意：证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由，可以写在每一步后的括号内.证明命题的步骤：一、画出命题的图形。先根据命题的题设即已知条件，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出。还要根据证明的需要，在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达。二、结合图形写出已知、求证。把命题的题设化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中。三、经过分析，找出由已知推得求证的途径，写出推理的过程。在以上第二个步骤中，将文字语言转化为符号语言是教学中的难点，要注意在练习中加强辅导，第三步由学生独立完成有困难，要逐步培养训练，现阶段暂不要求学生独立完成。但也可以进行适当的训练。要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称为反例(counterexample)。例题解析铺垫：如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，∠EBC=∠A，求证：BE∥CD证明：∵BC⊥AC()∴(垂直的定义)∵(已知)∴∠A+∠ACD=90°（）∴（同角的余角相等）又∵∠EBC=∠A（）∴∠EBC=∠BCD，∴BE∥CD（）例2、已知：如图，AC与BD相交于点O，AO=CO，BO=DO。求证：AB∥CD。六、小结梳理：1、归纳出本节课的知识结构：2、证明的含义3、真命题证明的步骤和格式：证明命题的一般步骤：(1)理解题意：分清命题的条件(已知)，结论(求证)；(2)根据题意，画出图形；(3)结合图形，用符号语言写出“已知”和“求证”；(4)分析题意，探索证明思路(由“因”导“果”，执“果”索“因”.)；(5)依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；(6)检查表达过程是否正确，完善.4、思考、探索：假命题的判断如何说理、证明？反例与证明教学目标1、理解反例的意义和作用。2、掌握在简单情况下利用反例证明一个命题是错误的。重点与难点本节教学的重点用反例证明一个命题是错误的。难点是如何构造一个反例去证明一个命题是错误的。教学过程一、知识回顾1、一般的，判断一件事情的句子叫做命题，命题分为真命题与假命题。2、说明一个命题是假命题，通常只用找出一个反例，但要说明一个命题是真命题，就必须用推理的方法，而不能光凭一个例子。3、判断下列命题的真假（1）有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。真命题（2）素数不可能是偶数。假命题（3）黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人。假命题（4）有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形是锐角三角形。假命题（5）若y(1-y)=0，则y=0。假命题二、新课新授对比引例：1、对于命题“三线两两相交，必有三个交点”你认为是假命题还是真命题？可以采用什么方法加以证明？如:。2、请用反例证明命题“相等的角是对顶角”是假命题。如：或或等。小结：假命题的证明是利用反例来说明。反例必须是具备命题的条件，却不具备命题的结论，从而说明命题错误。说明一个命题是真命题，就必须用推理的方法，而不能光凭一个例子。这样，教会学生构造反例的方法。明确：①用反例来证明一个命题是假命题，也就是如果要否定的命题为“A→B”，那么反例就是指“满足A，而非B”的具体例子。②反例的作用只能说明命题是一个假命题，不能用来说明一个命题是真命题，也不能由次得到相反的命题。例题讲解例1、请判断以下命题的真假：①若ab＜0，则a＞0，b＜0。②两条直线相交，只有一个交点。③如果n是整数，那么2n是偶数。④若两个角不是对顶角，则它们不相等。⑤直角是平角的一半。例2、判断下列数学命题的真假，并给出证明：(1)若2x+y=0，则x=y=0；(2)有一条边、两个角相等的两个三角形全等。（3）两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等。例题小结：如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合题设而不符合结论的例子就可以了。这称为举“反例”。能举反例说明一个命题是假命题，反例不在于多，只要能找到一个说明即可。三、实践应用，知识迁移（一）填空：1、利用_举反例_可以判定一个命题是假命题。2、反例必须要具备__命题的条件_，却不具备_命题的结论__，从而说明命题是错误的。（二）选择：以下可以用来证明命题“水这种物质是液体”是假命题的反例是()(A)河水(B)矿泉水(C)蒸汽(D)开水（三）学以致用：1、判断命题“若x+y=0，则x=1，y=-1”的真假，并给以证明。2、举反例说明命题“一个角的余角不小于这个角的补角”是假命题。3、以下可以用来证明命题“素数不可能是偶数”是假命题的反例是()(A)2(B)3(C)11(D)314、“互补的两个角，必定一个是锐角，一个是钝角”这一命题是假命题，你可以举的反例是：_____________________。5、用反例证明下列命题是假命题：(1)若x(1-x)=0，则x=0；(2)三角形一边上的中线等于这条边的一半；(3)相等的角是对顶角；6、判断下列命题的真假，并给出证明。（1）水作为一种物质是液体；（2）任何三条线段都能组成一个三角形；（3）有一个角是60°的三角形是等边三角形。7、补充练习：用反例证明下列命题是假命题：（1）若x≠1，则分式有意义.（2）若∠1与∠2是同位角，∠2与∠3也是同位角，那么∠1与∠3是同位角.（3）任何偶数都是4的倍数。（4）一元二次方程x2+bx+c=0(c<0)必定有实数根；四、归纳总结：1、如何去判断一个命题是假命题2、怎么样的反例才可以证明一个命题是假命题判断命题的真假。运用反例证明假命题.反例必须具备命题的条件，却不具备命题的结论，从而说明命题是错误的。说明一个命题是假命题，通常只用找出反例，但要说明一个命题是真命题，就必须用推理的方法，而不能光凭一个例子。五、探索与思考；判断命题“一角和夹这角的一边对应相等，且这边上的中线对应相等的两个三角形全等”是真命题，还是假命题？请给出证明。反证法教学目标1、理解反证法的含义与原理，掌握反证法的一般步骤；2、会用反证法证明简单的代数命题和几何命题；3、使学生逐步树立“正难则反”和“转换思维”的意识。4、初步会综合运用命题、证明以及相关知识解决简单的实际问题。5、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”。重点与难点本节教学的重点是反证法的含义和步骤及运用反证法的意识及反证中的“归谬”。而课本“合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点。教学过程一、情境导入故事引入“反证法”：——路边苦李王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子。小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动。王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李。”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维。反证法是数学中常用的一种方法。人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界。你能总结出以上这种证明方法的步骤吗?假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？这与事实矛盾吗？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？所以，李子是苦的。其思维过程的表述如下图：这就是反证法：在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。二、探究新知（一）整体感知用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的。这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定。既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了。概括地说就是要利用“结论的反面不成立”的证明来证明结论成立。你能说出下列结论的反面吗?1、a⊥b；2、d是正数；3、a≥0；4、a∥b。（二）师生互动1、用反证法证明(填空)：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角（如图）；求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°。证明：假设所求的结论不成立，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A+∠B+∠C＜180°这与“三角形的内角和为180°”相矛盾所以假设不成立，所求证的结论成立2、例、求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交。已知：（如图）直线a，b，c在同一平面内，且a∥b，c与a相交于点P，求证：c与b相交。3、根据上述解答，归纳反证法证题的步骤。①假定结论不成立（即结论的反面成立）；②从假设出发，结合已知条件，经过推理论证，推出与已知条件或定义、定理、公理相矛盾；③由矛盾判定假设不正确；④肯定命题的结论成立。使学生再次明确：用反证法证题的基本思路及步骤。4、例、求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条平行，那么和另一条也平行。已知：（如图）直线a，b，c在同一平面内，且a∥b，a∥c求证：b∥c（平行线传递性）定理：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条平行，那么和另一条也平行在运用反证法的过程，往往要仔细分析结论的反面，特别要注意语句的转换及表达。方法总结：——证明一个命题是真命题有哪些方法?三、学以致用，完善新知：1、已知：如图，直线l与a，b，c都相交，且a∥c，b∥c，求证：∠1=∠2用直接法证明反证法证明：2、链接生活反证法的思想也时常体现在人们的日常交流中，下面是有关的一个例子：妈妈：小华，听说邻居小芳全家这几天下在外出旅游。小华：不可能，我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!上述对话中，小华要告诉妈妈的命题是什么?（小芳全家没外出旅游.）他是如何推断该命题的正确性的?3、议一议：甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：A说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军；B说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军；C说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军；D说：乙获跳高冠军，戊获铅球冠军。其中每个人都只说对一句，说错一句.你知道五人各获哪项冠军吗？四、学习小结：1、作知识总结，学习了反证法证题的思路与步骤。2、在直接法无法证明或很难证明的情况选用反证法。反证法的步骤：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。（2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。1、反证法：（1）反设（即假设）p则q（原命题）反设p且非q。（2）可能出现三种情况：①导出非p为真——与题设矛盾。②导出q为真——与反设中“非q“矛盾。③导出一个恒假命题——与公理、定理矛盾。2、用反证法证题时，应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不