传热学-第三章

青岛科技大学热能与动力工程2024/12/51传热学第三章非稳态导热的分析与计算§3-1非稳态导热过程分析§3-3典型一维物体非稳态导热的分析解§3-2集总参数系统分析(零维问题)§3-4二维及三维非稳态导热问题的求解

青岛科技大学热能与动力工程2024/12/52§3-1非稳态导热过程分析导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热。一、非稳态导热过程及其特点温度随时间变化,热流也随时间变化。自然界和工程上许多导热过程为非稳态,t=f()例如:冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度；供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度非稳态导热的分类:周期性和非周期性周期性非稳态导热:物体温度按一定的周期发生变化非周期性非稳态导热（瞬态导热）:物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到热平衡

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举例采暖设备开始供热前:墙内温度场是稳态、不变的采暖房屋内外墙温度变化过程采暖设备开始供热后:室内空气温度很快升高并稳定；墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快；经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布

青岛科技大学热能与动力工程2024/12/54初始状况阶段:环境的热影响不断向物体内部扩展的过程，即物体（或系统）有部分区域受到初始温度分布控制的阶段。必须用无穷级数描述二、加热或冷却过程的两个重要阶段正规状况阶段:环境的热影响已经扩展到整个物体内部，即物体（或系统）不再受到初始温度分布影响的阶段。可以用初等函数描述。非正规状况阶段（初始状况阶段）、正规状况阶段

青岛科技大学热能与动力工程2024/12/55三、边界条件对温度分布的影响x0xtt∞(b)(a)(c)环境（边界条件）对系统温度分布的影响显著

按照传热关系式作一个近似的分析

右图表示一个大平板的加热过程,并画出在某一时刻的三种不同边界情况的温度分布曲线(a)、(b)、(c)

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曲线（a）表示平板外环境的换热热阻远大于平板内的导热热阻,即

从曲线上看,物体内部的温度几乎是均匀的,这也就说物体的温度场仅仅是时间的函数,而与空间坐标无关。我们称这样的非稳态导热系统为集总参数系统（一个等温系统或物体）

曲线（b）表示平板外环境的换热热阻相当于平板内的导热热阻,即

曲线（c）表示平板外环境的换热热阻远小于平板内的导热热阻

第一类边界条件x0xtt∞(b)(a)(c)

青岛科技大学热能与动力工程2024/12/57毕欧数是导热分析中的一个重要的无因次准则,它表征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换热热阻的对比关系。类似于Bi数这种表征某一类物理现象或物体特征的无量纲数称为特征数,特征数中的几何尺度称为特征尺度。

定义毕渥数导热热阻与换热热阻的比值,为无因次数,毕欧数(Boit)集总参数系统第三类边界条件第一类边界条件

青岛科技大学热能与动力工程2024/12/58x0xtt∞(b)(a)(c)物体内热阻可以忽略,也就是任意形状的物体假设Bi<0.1,表明物体内部温度分布几乎趋于一致,可以近似认为物体是一个集总参数系统。§3-2集总参数系统分析(零维问题)这种导热系统称为集总参数系统,有时也称为充分搅拌系统或热薄物体系统

青岛科技大学热能与动力工程2024/12/59一、集总系统的能量平衡方程和温度分布

h,t0AQcΔΕρ,c,V,t0一个集总参数系统，其体积为V、表面积为A.密度为、比热为c以及初始温度为t0，突然放入温度为t、换热系数为h的环境中。热平衡关系为:内热能随时间的变化率ΔΕ＝通过表面与外界交换的热流量Qc当物体被冷却时（t>t

）初始条件为:引入过余温度:

青岛科技大学热能与动力工程2024/12/510分离变量积分并代入初始条件得:物体的温度随时间的变化关系是一条负自然指数曲线,或者无因次温度的对数与时间的关系是一条负斜率直线

青岛科技大学热能与动力工程2024/12/511二、时间常数τs称为系统的时间常数,记为s,也称弛豫时间。如果导热体的热容量（Vc）小、换热条件好（αA大）,那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快,时间常数小反映了系统处于一定的环境中所表现出来的传热动态特征,与其几何形状、密度及比热有关,还与环境的换热情况相关。可见,同一物质不同的形状其时间常数不同,同一物体在不同的环境下时间常数也是不相同。当τ=τs时当τ=4τs时工程上认为

=4τs时导热体已达到热平衡状态θ/θ0τ/τs0.386101

青岛科技大学热能与动力工程2024/12/512三、集总参数系统的判定V/A具有长度的因次,称为集总参数系统的特征尺寸。M为形状修正系数。判定依据厚度为2

的大平板直径为2r的长圆柱体直径为2r的球体复杂形体

青岛科技大学热能与动力工程2024/12/513§3.3典型一维物体非稳态导热的分析解一、无限大平板加热过程分析厚度2的无限大平壁,、a为已知常数；=0时温度为t0;突然把两侧介质温度降低为t并保持不变；壁表面与介质之间的表面传热系数为h。两侧冷却情况相同、温度分布对称。中心为原点。导热微分方程:初始条件:边界条件:

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青岛科技大学热能与动力工程2024/12/515采用分离变量法求解:取因此只能为常数:只为

的函数只为x的函数微分方程和两个边界条件都是齐次的,这是进行分离变量法的重要条件

青岛科技大学热能与动力工程2024/12/516积分得到式中C1是积分常数,常数值D的正负可以从物理概念上加以确定。当时间τ趋于无穷大时,过程达到稳态,物体达到周围环境温度,所以D必须为负值,否则物体温度将无穷增大。令以上两式的通解为:于是

青岛科技大学热能与动力工程2024/12/517常数A.B和β可由初始条件和边界条件确定。(1)(2)(3)由边界条件(2)得B=0(a)(a)式成为(b)边界条件(3)代入(b)得(c)

青岛科技大学热能与动力工程2024/12/518整理:注意,这里Bi数的尺度为平板厚度的一半。显然，β是两曲线交点对应的所有值。式(c)称为特征方程。β称为特征值。分别为β1.β2……βn。

青岛科技大学热能与动力工程2024/12/519至此，我们获得了无穷个特解:….将无穷个解叠加:利用初始条件求An

青岛科技大学热能与动力工程2024/12/520解的最后形式为:无量纲时间若Fo0.2误差小于1%对于Fo0.2时无限大平壁的非稳态导热过程:温度场可按上式计算；也可用计算线图（诺谟图）

青岛科技大学热能与动力工程2024/12/521为平板中心的过余温度

无量纲过余温度

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青岛科技大学热能与动力工程2024/12/524定义无量纲的热量其中Qτ为0

时间内传导的热量（内热能的改变量）

从初始时刻到平板与周围介质处于热平衡,这一过程中传递的热量经过秒钟、每平方米平壁放出或吸收的热量:

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如何利用线算图

由时间求温度

由温度求时间在计算Q0和Bi数、Fo数之后,从图3-7中Q/Q0查找,再计算出计算Bi数、Fo数和x/δ

，从图3-4中查找θm/θ0

和从图3-5中查找θ/θm

，计算出，最后求出温度t计算Bi数、x/δ和θ/θ0,从图3-5中查找θ/θm,,计算θm/θ0然后从图3-4中查找Fo,再求出时间。

平板吸收（或放出）的热量

青岛科技大学热能与动力工程2024/12/527二、无限长圆柱体和球体的加热过程分析

trt∞t∞t0αα0式中r0为无限长圆柱体和球体的半径

类似地有tt∞αrt00

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分析解应用范围的推广三、对分析解应用范围的推广与讨论对无限大平板的分析是以平板被加热情况为例的,不难证明,上述结果对物体被冷却的情况同样适用。从无限大平板问题的数学描述,可以看到,分析解式也适用于一侧绝热、另一侧为第三类边界条件的一定厚度的平板情形。当固体表面与流体间的表面传热系数趋于无穷大时,固体的表面温度就趋于流体温度,因而Bi趋于无穷大使得上述分析解就是物体表面的温度发生以突然变化然后保持不变的解,即第一类边界条件的解。

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Fo准则对温度分布的影响Fo0.2时,进入正规状况阶段,平壁内所有各点过余温度的对数都随时间按线性规律变化,变化曲线的斜率都相等。θm/θ0随F0增大而减小。Fo<0.2时是瞬态温度变化的初始阶段,各点温度变化速率不同。

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Bi准则对温度分布的影响Bi表征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换热热阻的对比关系。当Bi时,意味着表面传热系数α,对流换热热阻趋于0。平壁的表面温度几乎从冷却过程一开始,就立刻降到流体温度t。当Bi0时,意味着物体的热导率很大、导热热阻0。物体内的温度分布趋于均匀一致。可用集总参数法求解.

青岛科技大学热能与动力工程2024/12/531应用上面讨论的海斯勒线算图可以求出厚度为2

的大平板、半径为R的无限长圆柱体、及半径为R的球体的温度分布和传导的热量。对非一维非稳态导热问题，我们能不能利用上面的一维非稳态导热线算图来进行求解呢？用一个无限长矩形柱为例来回答这一问题。

§3-４二维及三维非稳态导热问题的求解0xy2δ12δ2一个无限长矩形柱,可以看成是由两个无限大平板正交而组成,它们的厚度分别为21和22。无限长矩形柱的导热微分方程式为:

青岛科技大学热能与动力工程2024/12/532假定一个二维非稳态导热问题的解可以用两个导热方向相互垂直的一维非稳态导热问题解的乘积来表示。

同理,一个三维非稳态导热问题的解