现代控制理论基础 课件全套 楼旭阳 chap1 绪论-chap7 线性二次型最优控制

现代控制理论基础

教材、参考书《现代控制理论基础》课程名称：现代控制理论基础英文名称：Fundamentals

of

Modern

Control

Theory

总学分：2总学时：32适用专业：自动化、电气工程及其自动化教材：.

现代控制理论基础.

机械工业出版社,

2024.参考书：1.张嗣瀛,高立群.现代控制理论(第2版)[M].

北京:

清华大学出版社,

2017.2.刘豹,唐万生.现代控制理论(第3版)[M].

北京:

机械工业出版社,

2006.3.俞立.现代控制理论[M].北京:清华大学出版社,

2007.4.RichardC.Dorf,RobertH.Bishop.

现代控制系统(第11版:

英文)

[M].北京:

电子工业出版社,2009.第1章

绪论【引言】现代控制理论在工业、航空航天、等许多领域发挥着越来越重要的作用。本章从控制理论的发展入手，主要介绍控制理论的发展历程、现代控制理论的六大分支，以及本课程的学习内容。【主要内容】1.1

控制理论的发展历程1.2

现代控制理论的分支1.3

本课程的学习内容《现代控制理论基础》1.1

控制理论的发展历程中国古代自动化方面的成就：•

公元前14世纪至前11世纪，中国、埃及和巴比伦出现自动计时漏壶；•

公元130年，张衡(78-139,东汉)发明水运浑象，132年研制出自动测量地震的候风地动仪飞球调节器原理图关汽阀联结器开《现代控制理论基础》调节器轴套环汽轮机轴

1788年瓦特发明飞球调节器，进一步推动蒸汽机的应用，促进了工业的发展。世界上公认的第一个自动控制系统没有理论指导使控制技术停滞了一个世纪!

飞球调节器有时使蒸汽机速度出现大幅度振荡。由于当时还没有自控理论，所以不能从理论上解释这一现象。为了解决这个问题，盲目探索了大约一个世纪之久。

1868年英国麦克斯韦尔的“论调速器”论文指出：不应单独研究飞球调节器，必须从整个系统分析控制的不稳定。建立系统微分方程，分析微分方程解的稳定性，从而分析实际系统是否会出现不稳定现象。——这篇论文被公认为自动控制理论的开端。《现代控制理论基础》1.1

控制理论的发展历程

1875年，英国劳斯(Routh)在剑桥Adams

Prize的最佳论文中提出代数稳定判据，其意义:建立有关动态稳定性的系统理论。

1895年，瑞士数学家赫尔维兹(Hurwitz)提出另外一种形式的代数稳定判据。

1892年，俄国李雅普诺夫(Lyapunov)提出稳定性定义，并提出了为当今学术界广为应用且影响巨大的李亚普诺夫方法，也即李亚普诺夫第二方法或李亚普诺夫直接方法。《现代控制理论基础》1.1

控制理论的发展历程

1928年8月2日，美国Harold

Black(1898-1983)在上班途中的渡船上灵光一闪，发明了在当今控制理论中占核心地位的负反馈放大器。他将其发明随手记在了一份纽约时报上，这份早报已成为一件珍贵的文物诊藏在AT&T

的档案馆中。1.1

控制理论的发展历程《现代控制理论基础》

1932年,

美国奈奎斯特(Nyquist)提出奈氏稳定判据。

1940年,

美国伯德(Bode)引入了半对数坐标系，使频率特性的绘制工作更加适用于工程设计。

1948年,

伊万斯(Evans)提出了复数域内研究系统的根轨迹法。《现代控制理论基础》二战中自动火炮、雷达、飞机以及通讯系统的控制研究直接推动了经典控制的发展。1948年,

维纳(Wiener)出版《控制论》，形成完整的经典控制理论，标志控制学科的诞生。1.1

控制理论的发展历程1954年，钱学森的《工程控制论》在美国出版。国防技术的总体掌舵人：发展新中国的国防科技，谋划布局《现代控制理论基础》1.1

控制理论的发展历程二战后，空间技术促使现代控制理论的产生，现代控制理论促进了空间技术的发展。

1958年,

卡尔曼(Rudolf

Kalman)采用状态空间法分析系统，提出能控性、能观性、卡尔曼滤波概念/算法。Kalman是一个bug一般的存在，现代控制理论大神。

Kalman

filter是一个bug一般的存在，现代工程领域

无处不在。1.1

控制理论的发展历程《现代控制理论基础》二战后，空间技术促使现代控制理论的产生，现代控制理论促进了空间技术的发展。

1965年,

贝尔曼(Bellman)提出最优控制的动态规划方法

1961年,

庞特里亚金证明了最优控制中的极大值原理

1967年,

瑞典Astrom提出最小二乘辩识，解决了线性定常系统参数估计问题和定阶方法

。

1970年,

英国Rosenbrock提出状态空间多变量理论。

1976年，美国Brockett提出用微分几何研究非线性控制系统。当今控制界大师：E.D.Sontag,

A.Teel,S.Boyd

……《现代控制理论基础》1.1

控制理论的发展历程我国著名控制学者贡献:

关肇直:

1962年组建我国第一个控制理论研究室，提出飞行器弹性控制理论

陈翰馥:

研究随机系统的辨识与适应控制问题，提出辨识算法的收敛条件，即“陈氏条件”

韩京清:

提出了自抗扰控制技术

程代展:

建立了布尔网络的控制理论

郭 雷:

解决了最小二乘自校正调节器的收敛性和收敛速度问题，发现并证明了反馈机制最大能力的“临界值”或“不可能性定理”《现代控制理论基础》1.1

控制理论的发展历程【大系统理论和智能控制理论阶段】现代控制理论在工业过程控制方面遭遇滑铁卢，促使大系统和智能控制技术的诞生！大系统是规模庞大、结构复杂、变量众多、功能综合、目标多样的过程控制与信息处理。智能控制系统是具有某些仿人类智能的工程控制与信息处理系统。智能控制理论分支:

模糊逻辑控制、神经网络控制、专家控制、进化控制等。F.W.Smith、L.A.

Zadeh、Fegenbaum、K.

J.

Astrom、J.M.

Mendel《现代控制理论基础》1.1

控制理论的发展历程1.1

控制理论的发展历程《现代控制理论基础》【网络化控制理论阶段】网络化控制系统是通过网络进行数据传输、形成控制闭环的系统。网络化控制系统作为一种新兴的控制系统形式，目前得到了越来越广泛的研究和关注。网络诱导时滞数据包丢失通信约束多包传输现代控制理论一取得的成就

1957年发射了第一颗人造地球卫星

工业机器人产品

1961年载人航天

(加加林)

1966年月球软着陆

1969年登陆月球1.1

控制理论的发展历程《现代控制理论基础》1.2现代控制理论的分支

系统辨识

线性系统理论

最优控制

最优滤波

自适应控制

非线性系统理论《现代控制理论基础》1.2现代控制理论的分支1950年以前单输入单输出SISO外部描述

传递函数时域法、频域法、

根轨迹法拉普拉斯变换PID控制和校正网络1950年以后多输入多输出MIMO内部描述

状态空间模型状态空间法线性代数矩阵状态反馈和输出反馈时间研究对象研究内容研究方法研究工具设计方法经典控制理论

vs

现代控制理论《现代控制理论基础》稳定性状态空间模型建立求解

转换状态反馈状态观测器建模《现代控制理论基础》分析设计能控性能观性1.3本课程的学习内容最优控制第2章

控制系统的状态空间模型【引言】控制系统的数学模型是用于描述系统动态行为的数学表达式。现代控制理论主要以状态空间模型为基础，描述了系统的输入、输出与内部状态之间的关系，弥补了经典控制理论的一些不足。本章主要介绍如何用状态空间模型来描述线性或非线性控制系统。【主要内容】2.1

状态空间模型的基本内容2.2

状态空间模型的建立2.3

非线性系统的线性化2.4

线性变换2.5

循序渐进例子：单链机械臂第2章

控制系统的状态空间模型现代控制理论基础稳定性状态空间模型建立求解

转换状态反馈状态观测建模分析设计能控性能观性最优控制系统x1

,

x2

,

...,

xnu1u2up系统数学描述y1y2yp外部描述（输入-输出描述）不完全描述微分方程、传递函数内部描述（状态空间描述）完全描述状态方程、输出方程

2.1状态空间模型的基本内容《现代控制理论基础》状态变量状态方程状态空间输出方程x

(t)

Ax(t)

Bu(t)y(t)

Cx(t)

Du(t)G(s)

C(sI

A)

1

B

D2.1状态空间模型的基本内容《现代控制理论基础》多输入

y(t)

Cx(t)

Du(t)连续多输出线性定常系统：状态/输出方程为线性函数，且系数为常数n

nx

(t)

Ax(t)

Bu(t)系统矩阵

状态矩阵

系数矩阵n

p控制矩阵

输入矩阵q

n输出矩阵

观测矩阵q

p前馈矩阵

输入输出

矩阵1x(t)=

2

Rn

n

x

状态向量

x

x

u(t)

Rmy(t)

R

p输入向量输出向量2.1状态空间模型的基本内容《现代控制理论基础》线性定常系统：状态/输出方程为线性函数，且系数为常数n

nx

(t)

Ax(t)

Bu(t)多输入

y(t)

Cx(t)

Du(t)x

(t)

Ax(t)

bu(t)y(t)

cx(t)

du(t)连续多输出连续单输入单输出x(k)

(1)

Gx(k)

Hu(k)y(k)

Cx(k)

Du(k)x(k

1)

Gx(k)

hu(k)y(k)

cx(k)

du(k)离散系统矩阵

状态矩阵

系数矩阵n

p控制矩阵

输入矩阵q

n输出矩阵

观测矩阵q

p前馈矩阵

输入输出

矩阵n

nn

11

n标量2.1状态空间模型的基本内容《现代控制理论基础》状态空间模型的图示法动态方程的系统结构图x

(t)

Ax(t)

Bu(t)y(t)

Cx(t)

Du(t)2.1状态空间模型的基本内容《现代控制理论基础》2.2状态空间模型的建立

根据系统机理建立状态空间模型

根据高阶微分方程建立状态空间模型

根据系统传递函数建立状态空间模型状态变量的选取不唯一、状态空间模型不唯一《现代控制理论基础》试写出系统的传递函数和状态空间模型。例1：弹簧-阻尼系统2.2状态空间模型的建立《现代控制理论基础》例1：弹簧-阻尼系统输出方程y

x1

Cx状态方程

x

1

x2

x

2

m

x1

m

x2

m

u

0 1

0

1

x

1

u

x

k

k

m m

m

C

[1

0]单输入单输出系统传递函数根据牛顿第二定律选取

x1

z

x

x2

z

m

z

u

kz

z

ms2

s

kY(s)

1

U(s)2.2状态空间模型的建立《现代控制理论基础》x

Ax

Bum2

0.52.2状态空间模型的建立《现代控制理论基础》思考例2：求

RLC

网络的状态空间模型

x1

uc

x

x2

i

y

u

(t)c2.2状态空间模型的建立《现代控制理论基础》例2：求

RLC

网络的状态空间模型由电路原理u(t)

Ri(t)

L

di(t

)

u

(t)dtcC

duc

(t)

idt

x1

uc

x

x2

i

y

u

(t)c取2.2状态空间模型的建立《现代控制理论基础》例2：求

RLC

网络的状态空间模型

x1

uc

x

x2

i

若取?

x1

idt

x2

i2.2状态空间模型的建立《现代控制理论基础》实例：球杆控制系统球杆系统是一个典型的不稳定系统，V型槽轨道、不锈钢球、连杆、直流伺服电机、大小齿轮箱减速机构组成球杆系统。V型槽轨道由两部分组成，其一侧为不锈钢杆，另一侧为直线位移电阻器。球杆系统装置如下图所示。使小球在导轨上加速滚动的力是小球的重力在同导轨平行方向上的分力同小球受到的摩擦力的合力。球杆系统的原理框图:实例：球杆控制系统期望

位置-电机编码器球的位置+ 偏差伺服电机直线位移传感器球杆装置θ离散信号根据牛顿第二定律可知，小球在导轨上滚动的动力学方程为:

22m

r

mgsinα

mr

α

J

0R

m

——小球质量；J——小球的转动惯量；

R

——小球半径；r ——小球位置偏移；

g——重力加速度；α——轨道杆与水平面之间的夹角；

θ

——电动机转角由于实际摩擦力较小，忽略摩擦力2

Jm

r

mgsinαR

当α<<1时α

d

θL2m)

sR

2r(s)

mgd 1L(

Jθ(s)

s22实例：球杆控制系统x1

rx2

x

1

r

状态空间模型？传感器1状态空间模型：-Gc

(s)控制装置球杆系统G(s)

s22期望

位置球的位置实例：球杆控制系统y

x1求解？离散化？

x

1

01

x1

0

0

x2

2

x

2

0

微分方程

状态空间模型设控制系统的运动方程为

y

3y

2

y

u试写出该系统的状态空间模型。2.2状态空间模型的建立解：选取《现代控制理论基础》x1

yx2

y

设控制系统的运动方程为

y

3y

2

y

u试写出该系统的状态空间模型。x1

y解：选取x2

y

x

1

x2

x

2

2x1

3x2

u

y

x1系统结构图：x2

x

1x

2x1

y

u

3

22.2状态空间模型的建立《现代控制理论基础》状态空间模型。，发动机练习：求巡行控制模型的状态空间模型写出如图所示汽车的速度和前向运动的运动方程、系统的假设汽车位移为

x

,速度为

x

提供的拉力为

u

，摩擦力为

bx

，车的质量为

m,

摩擦系数b巡行控制模型巡行控制的自由体受力图mx(t)摩擦力

bx

汽车质量u(t)m

x

u

bx

2.2状态空间模型的建立《现代控制理论基础》传递函数状态空间模型b

sn

b

sn

1

b

s

b

n n

1 1 0sn

a

sn

1

a

s

an

110sn

1

sn

2

s

b

n

1 n

2 1 0sn

a

sn

1

a

s

an

110nnY(s)G(s)

U(s)N(s)b

D(s)

严格有理真分式sn

a

sn

1n

1

a1s

a0

1

Z(s)n

1n

2

n

1s

n

2

s

1s

01D(s)N(s)U(s)Y(s)串联分解：若

b

0n2.2状态空间模型的建立《现代控制理论基础》sn

a

sn

1n

1

a1s

a0

1

Z(s)n

1n

2

n

1s

n

2

s

1s

01D(s)N(s)U(s)Y(s)串联分解：若

b

0n2.2状态空间模型的建立《现代控制理论基础》2s2

4s

1s3

9s2

8sY

(s)U

(s)

例3：将下面传递函数转化为状态空间模型2.2状态空间模型的建立《现代控制理论基础》解：n

3,

a2b3

9,

a1

8,

a0

0

0,

b2

2,

b1

4,

b0

1

i

x

1

0

x1

0

x

2

0

0

10 1

x2

0

u

x

3

0

-8

-9

x3

1

x1

y

1

4

2

x2

x3

2s2

4s

1s3

9s2

8sY

(s)U

(s)

例3：将下面传递函数转化为状态空间模型2.2状态空间模型的建立《现代控制理论基础》s2

4s

22s3

6s2

8s

2Y

(s)U

(s)

练习：将下面传递函数转化为状态空间模型2.2状态空间模型的建立《现代控制理论基础》状态空间模型

传递函数问题:

已知状态空间模型如何确定传递函数？在零初始条件下，应用拉氏变换得x

(t)

Ax(t)

Bu(t)y(t)

Cx(t)

Du(t)G(s)

C(sI

A)

1

B

D2.2状态空间模型的建立《现代控制理论基础》状态空间模型

传递函数特点:

传递函数由状态空间模型系数矩阵唯一确定G

s

C

sI

A

1

B

D例:

求传递函数矩阵,

已知状态空间模型系数矩阵C

1

1

D

0

A

12

B

1

21

0

难点:

求逆矩阵

sI

A

1

sI

A

1

adj

sI

A

1

s

1 2det

sI

A

2

2 s

1

s

2s

5

2.2状态空间模型的建立《现代控制理论基础》2.3非线性系统的线性化在一定的条件下，为简化模型，可忽略一些次要因素，将非

线性系统简化为线性系统，或将非线性元件分段线性化，或仅

限于讨论在系统工作点附近小范围内的运动特性。《现代控制理论基础》2.3非线性系统的线性化例4：求下列系统在原点处的线性化状态空间模型00x0x0x0222

x

x2

1

3x

2x

0x解 由状态方程和输出方程知

000

f1

0,

f1

1,

f2

1

x1

f2

x2

x1

1,

g

x1

1,

g

x2xxx计算得x

1

x2

x

x

x3

2u1 2 22y

x

x21 2x

f1

(x1

,

x2

,

u)

x2f (x

,

x

,

u)

x

x

x3

2u2 1 2 1 2 2g(x

,

x

,

u)

x

x21 2 1 2x0《现代控制理论基础》x0x0

0

1

0

A

,

B

x

1

1

u

2

,

C

x

[1

0]

f

f

g

于是,有单链机械臂系统如图所示单链机械臂系统，系统采用直流电机来驱动机械臂转动，

(t)

为机械臂角度，u(t)

为控制输入，

M

是机械臂质量，J

ML2是转动惯量，

g是重力加速度，

L

是臂长，

k

是电机阻尼系数。以机械臂角度为输出，试建立该系统的状态空间模型。根据牛顿第二定律可知

(t)

MgL

sin(

(t))

k

(t)

1

u(t)J J J可得状态空间模型

0x1

,

x2

x

1

x221 2

MgL

sin

x

k

x

1

u

x

J J J

y

x1输出方程

1

1

2

2

1

x1

y

[1

0]

x2

1

x

0

0

1

uJ

0

J

MgL

sin

x

x

k

x

xJ

单链机械臂系统M——

机械臂质量(0.25kg)；J ——

转动惯量(1kg.m2)；L

——

机械臂的臂长

(2m)；g

——

重力加速度(10m/s2)

；k

——

阻尼系数(6kg.m2/s)

；θ ——

角度

；u ——控制输入代入参数，在原点对系统线性化后：

x

1

01

x1

0

u

x

2

6

x2

1

x1

y

[1

0]

x2

5

单链机械臂系统给定系统x

(t)

Ax(t)

Bu(t)y(t)

Cx(t)

Du(t)x(0)=x0总可以找到一个非奇异矩阵P，将

x

作线性变换，

得到另一状态向量

x于是

x(0)=P

1

x(0)x

Pxx

□y

□2.4

线性变换《现代控制理论基础》回顾例2：求RLC网络的状态空间模型

x1

uc

x

x2

i

1

x2

i

idtxx

2.4

线性变换《现代控制理论基础》回顾例2：求RLC网络的状态空间模型

10

0

1

P

C

10

idt

0

1

Cc

u

i

i

x

uc

i

idt

x

i

2.4

线性变换《现代控制理论基础》x

Px非奇异线性变换只改变系统数学模型的形式，不改变系统的性质!2.4

线性变换特征值《现代控制理论基础》能控性能观性传递函数第3章

线性系统的运动分析【引言】通过对系统分析，揭示系统状态的运动规律和基本特性。本章将考察线性系统的定量分析问题，即状态方程的求解问题，并讨论状态转移矩阵的定义、性质和计算方法，从而导出状态方程和系统输出的求解公式。【主要内容】3.1

定常连续系统的齐次解3.2

状态转移矩阵3.3

定常连续系统的非齐次解3.4

离散时间状态空间模型3.5

循序渐近例子：单链机械臂第3章

线性系统的运动分析现代控制理论基础稳定性状态空间模型建立求解

转换状态反馈状态观测建模分析设计能控性能观性最优控制模型的作用是什么?已知系统模型如何确定系统在任意时间

t

时的状态x(t)、输出y(t)?

模型的作用之一：分析（预测）x

0

x0u(t)

x

Ax

Bu

y

Cx

Du

3.1定常连续系统的齐次解《现代控制理论基础》x

Ax求

x(t)

?已知状态方程Tips:

指数函数

1

at

1

a2t

2

1

aktk

2! k!eateAt

:状态转移矩阵3.1定常连续系统的齐次解《现代控制理论基础》x(t)

eAt

x

0

x(t)

1

(sI

A)

1

x

0

利用矩阵指数法和拉氏变换法证明计算

(t)

的方法：定义法、拉氏法3.2状态转移矩阵《现代控制理论基础》1.定义

t

eAt=1

At

1

A2t

2

1

Aktk

2!

k

!2.含义表示状态向量由初始状态

x

0

向任意时刻的状态

x

t

转移的内在特性。3.性质

0

I

0

A

t

1

t

t

s

t

s

《现代控制理论基础》3.2状态转移矩阵例1：已知状态转移矩阵，试求

1

(t),

A《现代控制理论基础》3.2状态转移矩阵

3e

t

2e

2t

e

t

e

2t

e

t

e

2t

e

t

2e

2t

(t)

et

e2t

et

2e2t

1

1

1

3

1

(t)

3et

2e2t

et

e2t

A

x

2

x

1

01

x1

3

x2

2

例2:

求解系统的状态方程3.2状态转移矩阵《现代控制理论基础》

2e

t

e

2t

2e

t

2e

2te

t

e

2t

e

t

2e

2t

(t)

x

1

01

x1

0

0

x2

2

x

2

0

例3:

球杆系统齐次状态方程的解？

0T0

|

sI

A

| s2

1 s

(sI

A)*

1

s(sI

A)

1

s

1

0

s

(sI

A)

*

L

1

(sI

A)

1

(sI

A)

1

t

0

1

|

sI

A

|eAt

3.2状态转移矩阵《现代控制理论基础》利用定义法和拉氏变换法均可计算。x

Ax

Bu求

x(t)方法

积分法:

移项,

同乘e-Ate

At

x

Ax

e

At

Bu(t)

拉普拉斯法:

先拉氏，再反变换3.3定常连续系统的非齐次解《现代控制理论基础》x

t

1

(sI

A)

1

x

0

1

(sI

A)

1

BU

(s)

x

Ax

Bu求

x(t)3.3定常连续系统的非齐次解《现代控制理论基础》例4：已知系统状态方程系数矩阵

0

1

0

,

B

2

3

1

A

试求解该系统的单位阶跃响应。*(sI

A)

1

(sI

A)

1

s

31

(s

1)(s

2)

2|

sI

A

|s

3.3定常连续系统的非齐次解《现代控制理论基础》3.4离散时间状态空间模型《现代控制理论基础》当采样周期

T

很小

(T

)

I

ATG(T

)

I

At

Bdt

TB0T3.4离散时间状态空间模型《现代控制理论基础》3.4离散时间状态空间模型《现代控制理论基础》

x

1

0《现代控制理论基础》1

x1

0

u

x

2

6

x2

x1

y

[1

0]

x2

1

-5

单链机械臂系统当初始状态取为

x(0)

[01]

时，试求在

u(t)

1

作用下状态方程的解；进一步地，当采样周期取

T

0.01

s时，对系统进行离散化。考虑单链机械臂系统线性化后的状态空间模型

1

e

t

1

e

5t

1

《现代控制理论基础》

5

e

t

1

e

5t

1

e

t

1

e

5t

5

e

5t

5

e

t5

e

5t

1

e

t

1

e

t

1

e

5t

1

1

e

5t

5e

5t4 205

4x(t)

4 4 4

x(0)

44 4 44 4

5

单链机械臂系统经计算得到该系统的状态方程解为2)

1

1

s

61

5s

6s

5(sI

As

1

e

t

1

e

5t

5

e

5t

1

e

t

1

1

5

e

t

1

e

5t

5

e

5t

5

e

t

(t)

eAt

(sI

A)

4 44 4

444 4

解：

0.9998《现代控制理论基础》0.0097

0x(k

1)

x(k)

u(k)

0.04850]x(k)0.9415

0.0097

y(k)

[1

单链机械臂系统于是,离散化方程为

5

e

T

1

e

5T1

e

T

1

e

5T

5

e

5T

5

e

T5

e

5T

1

e

T

4 4

0.9998

0.0097

0.9415

4G(T

)

(T

)

44 4

0.0485

4

4

(T)

eAT当采样周期取

T

0.01

时

0

0.0097

H(T

)

第4章

线性系统的能控性和能观性【引言】能控性和能观性是控制系统的两个重要性质，是

实现各种控制和状态估计的基础。【主要内容】4.1

能控性和能观性问题4.2

定常连续系统的能控性4.3

定常连续系统的能观性4.4

能控标准型和能观标准型4.5

定常离散系统的能控性和能观性4.6

系统的实现4.7

循序渐近例子：单链机械臂第4章

线性系统的能控性与能观性4.1能控性和能观性问题《现代控制理论基础》系统x1

,

x2

,

...,

xn能控能观《现代控制理论基础》u1u2up

y1y2yp

4.1能控性和能观性问题引例：已知系统的动态方程

x

1

4

0

x1

1

u

5

x2

2

x

2

y

[0

6]

x1

x2

0

x

1

4x1

ux

2

5x2

2uy

6x2《现代控制理论基础》u可以控制x1、x2系统完全能控

！y无法反映x1系统不完全能观

！4.1能控性和能观性问题引例：桥式电路不能控、不能观

！4.1能控性和能观性问题《现代控制理论基础》为什么研究？状态方程x

Ax

Bu输出方程y

Cxuy控制器•

如果系统不能控,

则无论采取什么u也无法达到控制目的4.1能控性和能观性问题《现代控制理论基础》为什么研究？状态方程x

Ax

Bu输出方程y

Cx控制器 状态估计器uy•

如果系统不能控,

则无论采取什么u也无法达到控制目的•

如果系统不能观,

则无法实现状态估计xˆ《现代控制理论基础》4.1能控性和能观性问题t

[t0

,t1

]x

Ax(t)

Bu(t)状态能控给定初始时刻

t0

和非零初始状态

x(t0)

=

x,

如果存在有限时刻

t1

>

t0

和一个在[t0,

t1

]上分段连续的控制输入

u(·)使状态

x

转移到

x(t1)=0，则称x在t0时刻是能控的。1 0《现代控制理论基础》t1x(t )

eA(t1

)Bu(

)d

00A(t

t

)01x(t

)

e

t如果所有非零状态在初始时刻都是能控的，则称系统是完全能控的。4.2定常连续系统的能控性所有非零状态

x0《现代控制理论基础》=>

x(t1)=0

:

称系统在t0时刻完全能控在容许控制u(t)作用下4.2定常连续系统的能控性注意•

规定了状态的起点和终点，未限制状态转移的轨迹•

容许控制在容许控制u(t)作用下问题：如何来判断能控性呢？《现代控制理论基础》4.2定常连续系统的能控性x

Ax(t)

Bu(t)思路由定义，能控性判断要求找到使得闭环系统状态从

初始状态转移到零状态的一个控制律。《现代控制理论基础》A(T

t0

)t0A(T

)0x(T

)

ex(t

)

Bu(

)d

?Te

状态方程的解x

Rn4.2定常连续系统的能控性t0

0

时,

由运动分析指数函数可表示为如何证明

u

存在?x

Ax(t)

Bu(t)x

Rn凯莱-哈密顿定理n

1e

j

(

)

Aj

0jA

4.2定常连续系统的能控性《现代控制理论基础》eA(T

)

Bu(

)d

eA(T

)

Bu(

)d

0

00

0eA(T

)

Bu(

)d

0

00

0x(T

)

eAT

x

x(T

)

0

0

eAT

x

e

A

Bu(

)d

eAT

x

TTTT

x

T n

1x0

0k

0n

1

k

0n

1

k

0

0a (

)A

Bu(

)d

a (

)u(

)d

kkAk

BkAk

B

Tk

k

0

ak

(

)u(

)d

T

0

《现代控制理论基础》0x

B

AB

An

1B

1

n

1

与u有关如果线性方程组有解，则系统能控;其逆命题也成立4.2定常连续系统的能控性

k

0

ak

(

)u(

)d

T

0

01

n

1

x

B

AB

An

1B

如果该线性方程组有解，则系统能控;其逆命题也成立回顾高数:

何时方程组Ax=b对所有b有解?定理定常连续系统完全能控的充分必要条件是rank

B

AB

An

1B

dim

A

n秩判据《现代控制理论基础》4.2定常连续系统的能控性例1:

判别下列系统的能控性4.2定常连续系统的能控性

x

1

2

x1

1

u1

2

2

1

u2

3

3

1

32 0

x

11

2

1

x

0

03

x

1

x

2

2 1 3 2 5 4

1 1 2 2 4

1

1

2

2

4

4

4

S

BAB A

B

rank

S

2

dim

A

3《现代控制理论基础》系统不完全能控解: 利用秩判据例2:

判别下列系统的能控性系统完全能控《现代控制理论基础》4.2定常连续系统的能控性练习:

判别下列系统的能控性《现代控制理论基础》x

Ax

Bu

1

1

1

,

B

0

1

0

A

4.2定常连续系统的能控性格拉姆矩阵判据定

理定常连续系统完全能控的充分必要条件是Te

A(t

t0

)

BBTe

A

(t

t0

)dt00 fW

(t ,

t )

t

f

tx(t0

)

x0x(t

f

)

0u(t)

?《现代控制理论基础》非奇异证明:4.2定常连续系统的能控性格拉姆矩阵判据Te

A(t

t0

)

BBT

e

A

(t

t0

)dt0W

(t0

,

t

f

)

t

f

tx(t0

)

x0x(t

f

)

0u(t)

?t

t

fT

AT

(t

t0)

1W (t0

,

t

f

)x(t0

)取

u(t)

B

eA(t

t0

)t0A(t

)0x(t)

ex(t

)

e Bu(

)d

t

令4.2定常连续系统的能控性x(t

f

)

0《现代控制理论基础》现代控制理论基础稳定性状态空间模型建立求解

转换状态反馈状态观测建模《现代控制理论基础》分析设计能控性能观性最优控制举例系统不完全能观《现代控制理论基础》4.3定常连续系统的能观性t

Tt

:

[t0

,

t1

]x(t0

)

x0《现代控制理论基础》

x

Ax(t),

y

Cx(t),

4.3定常连续系统的能观性若不相等,

如何保证?问题：如何给出判别状态x0能观的有效方法?思路x

Ax(t)

x(t)

eAt

x

y(t)

CeAt

x

00 0对y(t)连续求导Att

0

CA

Ce

x0

0x0

0

CA2

x

02eAt

x00

0

CAn

1

CAn

1eAt

x0

0AtCAeC

CA

反向思考：假设系统有不能观的状态（即

x0

0

y(t)

0）系统不存在不能观状态该方程组没有非零解!(只有零解!)

满秩《现代控制理论基础》4.3定常连续系统的能观性定

理《现代控制理论基础》定常连续系统完全能观的充分必要条件是

dim

A

nn

1

rank

CA

CAC

秩判据例:

判断下列系统的能观性

2

3

1

2

y

[1

0]xx

x4.3定常连续系统的能观性例3:

判别球杆系统的能观性x

Ax

Bu

0

1

0

,

B

,

C

[1

0]

0

0

2

A

解:y

Cx4.3定常连续系统的能观性

1

0

《现代控制理论基础》rank

2

0

1

C

CA

系统完全能观格拉姆矩阵判据定

理定常连续系统完全能观的充分必要条件是TeA

(t

t0

)CT

CeA(t

t0)dt《现代控制理论基础》00 fW

(t ,

t )

t

f

t

1证明:

x0

0

W(0,

t

f

)eC y(t)dtAT

t

Tt

f非奇异4.3定常连续系统的能观性

x

1

0

1

x1

0

u《现代控制理论基础》

x

2

6

x2

1

0]

x1

x2

y

[1

-5

单链机械臂系统考虑单链机械臂系统线性化后的状态空间模型分析:

1

0

rank

2

0

1

C

CA

系统完全能观rank

BAB

0

1

2

1

6

系统完全能控例4:

设线性定常系统为

1

1

1

0

1

1

x

x

u试将它化为能控标准型.《现代控制理论基础》4.4能控标准型和能观标准型例4:

设线性定常系统为

1

1

1

0

1

1

x

x

u试将它化为能控标准型.解：

1 0

1 1

能控性矩阵：

S

[BAB]

能控！S

1

1

11

0

p1

1 1

p2

p1

A

0 1

1 1

0 1

《现代控制理论基础》P

4.4能控标准型和能观标准型例4:

设线性定常系统为

1

1

1

0

1

1

x

x

u试将它化为能控标准型.P

1

1 1

0 1

A

PAP

1

01

,

B

PB

0

11

1

cc

x

0《现代控制理论基础》1

0

u

11

x

1

解：4.4能控标准型和能观标准型对于单输入系统如果A、c具有以下形式则该系统一定能观，该状态方程为能观标准型。4.4能控标准型和能观标准型《现代控制理论基础》能观标准型《现代控制理论基础》4.4能控标准型和能观标准型例5:

设线性定常系统为

x,

y

1

0.5

x

1

1

0

2

x

试将它化为能观标准型.4.4能控标准型和能观标准型《现代控制理论基础》例5:

设线性定常系统为

x,

y

1

0.5

x

1

1

0

2

x

试将它化为能观标准型.

1

0.5

1 0c

能观性矩阵：V

cA

解：可观！V

1

0

1

22

p2

Ap1

4

3

p1

1

2

1

3

P

24

4.4能控标准型和能观标准型《现代控制理论基础》4.4能控标准型和能观标准型例5:

设线性定常系统为《现代控制理论基础》

x,

y

1

0.5

x

1

1

0

2

x

试将它化为能观标准型.解：P

1

21.5

1

0.5

, C

cP

0

1

A

P

1AP

0

2

1

3

cc

x,

y

0

1

x

0

2

1

3

x

系统能控给定初始时刻

p

和非零初始状态

x(p)

=

x,

如果存在有限时刻

m

>

p

和一个容许控制

u(k)

使状态

x

转移到x(m)=0，则称

x

在

p

时刻是能控的。考虑线性定常离散系统

x(k

1)

Gx(k)

Hu(k)《现代控制理论基础》

y(k)

Cx(k)

Du(k)

4.5

定常离散系统的能控性和能观性定理线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是rank

H

GH

Gn

1H

dim

G

n秩判据考虑线性定常离散系统

x(k

1)

Gx(k)

Hu(k)《现代控制理论基础》

y(k)

Cx(k)

Du(k)

4.5

定常离散系统的能控性和能观性注意•

连续系统能控，离散化系统不一定能控(与采样周期有关)•

连续系统不能控，离散化系统一定不能控例6:离散后4.5

定常离散系统的能控性和能观性《现代控制理论基础》4.5

定常离散系统的能控性和能观性《现代控制理论基础》4.5

定常离散系统的能控性和能观性系统能观给定初始时刻

p

和非零初始状态

x(p)

=

x,

如果存在有限时刻

m

>

p,

可由[p,m]上的输出

y(k)

唯一地确定

x，则称系统在

p

时刻是能观的。考虑线性定常离散系统