2024-2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程课时分层作业含解析新人教A版选修2-1

PAGE课时分层作业(十)双曲线及其标准方程(建议用时：60分钟)一、选择题1．已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满意|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是()A．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1(x≥4)C．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≥3)D[由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，∴P点的轨迹方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≥3)．]2．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为()A．双曲线的一支 B．圆C．抛物线 D．双曲线A[设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．]3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(eq\r(5)，0)和(－eq\r(5)，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为()A．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,4)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,4)＝1C[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|·|PF2|＝2，,|PF1|2＋|PF2|2＝2\r(5)2，))⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，又c＝eq\r(5)，所以b＝1，故选C．]4．已知双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为()A．2a＋2m B．4C．a＋m D．2a＋B[由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|AF1|－|AF2|＝2a，,|BF1|－|BF2|＝2a，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|AF1|＝2a＋|AF2|，,|BF1|＝2a＋|BF2|，))且|AF2|＋|BF2|＝|AB|＝m，所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m5．设P为双曲线x2－eq\f(y2,12)＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为()A．6eq\r(3) B．12eq\r(3)C．12 D．24C[由已知易得2a|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4．由|F1F2|＝2c＝2eq\r(13)，由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(62＋42－2\r(13)2,2×6×4)＝0，∴△PF1F2∴Seq\s\do5(△PF1F2)＝eq\f(1,2)×6×4＝12．]二、填空题6．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满意|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________．eq\f(7,2)[如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝eq\f(3,2)＋2＝eq\f(7,2)．]7．以椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,5)＝1长轴的两端点为焦点，且经过点(3，eq\r(10))的双曲线的标准方程为________．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,5)＝1[由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2eq\r(2)．设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝c2＝8，eq\f(9,a2)－eq\f(10,b2)＝1，解得a2＝3，b2＝5．故所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,5)＝1．]8．一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1(x≤－2)[设动圆圆心为P，由题意知|PB|＝|PA|＋4，即|PB|－|PA|＝4<|AB|，则动圆圆心P的轨迹是以点A，B为焦点的双曲线的左支，又a＝2，c＝4，则b2＝12，故动圆圆心的轨迹方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1(x≤－2)．]三、解答题9．如图所示，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线C是满意||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P．建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程．[解]法一：以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，D(0，2)，P(eq\r(3)，1)，依题意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝eq\r(2＋\r(3)2＋12)－eq\r(2－\r(3)2＋12)＝2eq\r(2)<|AB|＝4．∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．则c＝2,2a＝2eq\r(2)，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2．∴曲线C的方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1．法二：同法一建立平面直角坐标系，则依题意可得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|<|AB|＝4．∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)2,a2)－\f(1,b2)＝1，,a2＋b2＝4，))解得a2＝b2＝2．∴曲线C的方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1．10．若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点坐标分别为(－2eq\r(2)，0)和(2eq\r(2)，0)，且该双曲线经过点P(3,1)．(1)求双曲线的方程；(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且eq\o(MQ,\s\up7(→))＋2eq\o(QF,\s\up7(→))＝0，求直线l的斜率．[解](1)依题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝c2＝8，,\f(9,a2)－\f(1,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝6，,b2＝2.))于是，所求双曲线的方程为eq\f(x2,6)－eq\f(y2,2)＝1．(2)因为点F的坐标为(2eq\r(2)，0)，所以可设直线l的方程为y＝k(x－2eq\r(2))，令x＝0，得y＝－2eq\r(2)k，即M(0，－2eq\r(2)k)．设Q(x0，y0)，由eq\o(MQ,\s\up7(→))＋2eq\o(QF,\s\up7(→))＝0，得(x0，y0＋2eq\r(2)k)＋2(2eq\r(2)－x0，－y0)＝(0,0)，即(4eq\r(2)－x0,2eq\r(2)k－y0)＝(0,0)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝4\r(2)，,y0＝2\r(2)k.))又Q是双曲线上的一点，所以eq\f(x\o\al(2,0),6)－eq\f(y\o\al(2,0),2)＝1，即eq\f(4\r(2)2,6)－eq\f(2\r(2)k2,2)＝1，解得k2＝eq\f(13,12)，所以k＝±eq\f(\r(39),6)．故直线l的斜率为±eq\f(\r(39),6)．1．设θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，则关于x，y的方程eq\f(x2,sinθ)＋eq\f(y2,cosθ)＝1所表示的曲线是()A．焦点在y轴上的双曲线B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在x轴上的椭圆B[由题意，知eq\f(x2,sinθ)－eq\f(y2,－cosθ)＝1，因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，所以sinθ＞0，－cosθ＞0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线．故选B．]2．已知P为双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若Seq\s\do5(△PMF1)＝Seq\s\do5(△PMF2)＋8，则△MF1F2的面积为()A．2eq\r(7) B．10C．8 D．6B[设△PF1F2的内切圆的半径为R，由题意，知a＝4，b＝3，c＝5．∵Seq\s\do5(△PMF1)＝Seq\s\do5(△PMF2)＋8，∴eq\f(1,2)(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，∴R＝2，∴Seq\s\do5(△MF1F2)＝eq\f(1,2)·2c·R＝10，故选B．]3．已知双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则点P到F2的距离为________．22或2[设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线的左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，所以|PF2|＝22；当点P在双曲线的右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，所以|PF2|＝2．]4．已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________．(－1,3)[由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即5．已知双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1、F2．(1)若点M在双曲线上，且eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝0，求M点到x轴的距离；(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3eq\r(2)，2)，求双曲线C的方程．[解](1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝0，则MF1⊥MF2，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，由双曲线定义，知m－n＝2a＝8，