第04讲函数的零点与方程的根、函数的图象（十二种题型）-冲刺2025年高考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（新高考专用）（解析版）

第04讲函数的零点与方程的根、函数的图象（十二种题型）题型一：零点存在定理法判断函数零点所在区间题型二：方程法判断函数零点个数题型三：数形结合法判断函数零点个数题型四：转化法判断函数零点个数题型五：零点存在定理与函数性质结合判断函数零点个数题型六：利用函数零点求参数题型七：利用函数解析数选择图像题型八：利用动点研究函数图像题型九：利用函数图像解决不等式问题题型十：利用函数图像解决方程根与交点问题题型十一：指数相关的图像变换问题题型十二：指对函数图像结合问题【热点、重难点题型】题型一：零点存在定理法判断函数零点所在区间一、单选题1．（2022春·湖南长沙·高三长郡中学阶段练习）函数零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理可得答案.【详解】因为函数在上单调递减，所以函数最多只有一个零点，因为，，，，所以函数零点所在的区间是.故选：C2．（2022春·江苏徐州·高三学业考试）已知方程的根所在的区间为，，则n的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】令函数，结合零点存在定理及对数运算性质即可得出，求解即可.【详解】令函数，由，，故.故选：B3．（2022春·四川德阳·高三校考期中）设​，则​的零点所在区间为（

）A．​ B．​ C．​ D．​【答案】B【分析】根据函数零点的存在性定理判断.【详解】因为在定义域上为增函数，且，所以​在区间上有唯一的零点.故选：B4．（2022春·四川·高三川大附中校考期中）方程的解所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先将方程转化为函数零点问题，再根据函数的单调性以及零点存在性定理求解.【详解】由，得，设，则方程的解等同于函数的零点；，所以函数是单调递增的，又，，，∴函数的零点在内；故选：C.5．（2022春·河南驻马店·高三校联考期中）已知函数，，，实数是函数的一个零点，下列选项中，不可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的单调性和零点的存在性定理即可求解.【详解】因为函数的定义域为,所以恒成立,所以在定义域上是单调减函数，当时，，又因为，，所以，当，，都为负值，则都大于，故A,D可能成立;当，，，则都小于，大于.故B可能成立;综合可得，不可能成立.故选:C.6．（2022春·江苏南通·高三统考期中）试估算腰长为1，顶角为20°的等腰三角形的底边长所在的区间(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理或等腰三角形性质，将sin10°表示成与等腰三角形底边a的关系；利用三倍角公式可由sin30°得到关于a的方程，构造函数，通过二分法即可判断其零点a的取值范围，从而得到答案．【详解】设底边边长为，∴由余弦定理得，，，即．∵∴，，，令，，则，则在上，，f(x)单调递减；易知，易求，，，，故根据零点存在性定理可知，．故选：C．【点睛】本题的关键点是利用我们熟知的三角恒等变换公式推导出三倍角公式，从而找到sin10°和sin30°之间的关系，将问题转化为求方程根的范围，进一步转化为利用零点存在性定理判断函数零点范围的问题．二、多选题7．（辽宁省大连市2022-2023学年高一上学期期末数学试题）已知函数，，的零点分别为，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据函数的单调性及零点存在定理可得，，所在区间，进而可判断ACD，由题可知，分别为，与直线的交点的横坐标，结合反函数的性质可判断B.【详解】因为单调递增，又，，所以，因为单调递增，，，所以，则，故A错误；因为单调递增，，所以，又，所以，故C正确；因为，，所以，，故D错误；由，可得，由，可得，又函数与互为反函数图象关于对称，作出函数，及的图象，又与垂直，由，可得，则，与直线的交点的横坐标分别为，，且，故B正确.故选：BC.8．（2022·重庆永川·重庆市永川北山中学校校考模拟预测）关于函数，，下列说法正确的是（

）A．当时，在处的切线方程为B．当时，存在唯一极小值点且C．对任意，在上均存在零点D．存在，在上有且只有一个零点【答案】ABD【分析】对于A选项，直接求出切线斜率利用点斜式写出方程即可判断正误.对于B选项，利用二次求导得单调性，再利用零点存在性定理确定出所在区间即可；对于C，D选项，转化为对于与图像交点情况的判断.【详解】对于A选项，当时，，x，故，切点为(0，1).又，.则切线方程为，即，故A正确;对于B选项，时，，令，则.当时，因，则.当时，，故在(-π，+∞)上单调递增，注意到，，有，又=>0，故在(-π，+∞)上有唯一零点，结合在(-π，+∞)上单调递增得f(x)存在唯一极小值点，且，则，得+，则，又因则，得，故B正确.对于C选项，，，令，则，当且时，显然没有实根，故且则，令，有，令，得且，则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，的极小值为h=≥，的极大值为h=≤，故当时，与的图像没有交点，即在上没有零点，故C错误;对于D选项，由C选项分析可知，存在，使得在上有且只有一个零点，此时，故D正确，故选：ABD.【点睛】：方法点睛：处理涉及函数零点问题的常见手段：（1）数形结合，转化为直线与函数图像的交点相关问题.（2）利用零点存在性定理，结合函数单调性，通过适当地取点，确定零点所在的大致区间.9．（2022春·辽宁·高三校联考阶段练习）已知，，都是定义在上的函数，若，则（

）A．，，2，3 B．C． D．【答案】ABC【分析】根据零点定理判断零点所在区间，通过比较导函数的大小，进而得出，即可推出的正负和，，的大小关系，并利用函数的对称求出和之间的关系.【详解】解：由题意，，，都是上的增函数，，，，A项正确；在中，，，函数单调递减，∴即∴，在中，，同理可得函数单调递减，，∴，∴，B项正确；在中，，，设在中，，∴在定义域上单调递增，∴，即，∴单调递减增，∴∴，∴，，，∵当时，．∴由几何知识，随着x的增长，先与相交，次之，最后与相交.∴．C项正确；在中，，∴表示与的交点，在中，，∴表示与的交点，在与中，两图像交于，且斜率之积为，∴，两图像相互垂直，且关于的对称点到的距离相等，在与中，∵的图像与的图像关于对称，∴与互为反函数，到两图像上的点到的距离相等，关于对称的两图像上的点的横坐标之和等于两点连线与交点的横坐标的2倍，∴与关于对称，且两点连线与交于，∴，∴，D项错误．故选：ABC．三、填空题10．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数，，设，且函数的零点均在区间，，内，则的最小值为__________．【答案】【分析】根据导数求和的单调性,即在上单调递增，,所以在上单调递减,再应用零点存在定理确定零点所在区间,根据图像平移即可求得结果.【详解】，则，当时，，所以，即在上单调递增，又，，所以在上有唯一的零点，，，，，所以在上单调递减，又，，所以在有唯一的零点．则的零点在区间内，的零点在区间内，所以零点均在区间中的最大值为，的最小值为，所以的最小值为．故答案为:11.11．（2022春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知，函数的零点从小到大依次为，若），请写出所有的所组成的集合___________.【答案】【分析】将的零点可以转化为函数和图象交点的横坐标，然后利用零点存在性定理分析零点所在区间即可.【详解】的零点可以转化为函数和图象交点的横坐标，图象如上所示，由图可知共三个零点，，，所以在上存在一个零点；，则在上存在一个零点；，，则在上存在一个零点；所以.故答案为：.四、解答题12．（2022春·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)证明：只有一个零点．【答案】(1)在，单调递增，在单调递减；(2)证明见解析【分析】（1）把代入，求出的导数，确定导函数大于0、小于0时x的范围，即可得到答案；（2）结合函数零点的意义分离参数，构造函数，用导数判断函数单调性，再借助零点存在性定理求解作答（1）若，则，，令，解得，，当时，，递增，当时，，递减，所以在，单调递增，在单调递减；（2）由于，所以等价于，设，则，因为，所以所以在单调递增，故至多有一个零点，从而至多有一个零点，又，，所以存在唯一的，使得故有一个零点，综上，只有一个零点题型二：方程法判断函数零点个数一、单选题1．（2022·河南开封·统考一模）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数为“不动点”函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意列出关于和的等式，然后分离参数，转化为两个函数有交点.【详解】题意得若函数为不动点函数，则满足，即，即设，令，解得当时，，所以在上为增函数当时，，所以在上为减函数所以当时，当时，所以的图象为：要想成立，则与有交点，所以，对应区间为故选：B.2．（2022春·河南驻马店·高三校考阶段练习）已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．的极大值点为0C．的极大值为1 D．有3个零点【答案】C【分析】利用导数求出函数的单调区间和极值，再结合函数的零点，依次判断选项即可.【详解】，，当，，为减函数，当，，为增函数，当，，为减函数.对选项A，，为减函数，，为增函数，故A错误.对选项B、C，当时，函数取得极小值为，当时，函数取得极大值为，故B错误，C正确.对选项D，令，解得，，所以函数有两个零点，故D错误.故选：C二、多选题3．（2022春·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考期中）已知函数，则（

）A．为奇函数 B．在处取极大值C．在区间上单调递增 D．存在3个零点【答案】BD【分析】由已知，，结合定义域可判断A项；将函数整理为，可得到在上的解析式，求导可判断BC两项；解，可得到函数零点的个数.【详解】，定义域为，所以为偶函数，A不正确；由题意可得，，即当时，，则，当时，；当时，；当时，.所以，在处取极大值，B项正确；在区间上单调递减，C项错误；解，即，可得，解得，，，所以存在3个零点，D项正确.故选：BD.4．（2022春·江苏盐城·高三统考期中）对于函数，若在区间I上存在，使得，则称是区间I上的“函数”．下列函数中，是区间I上的“函数”的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据“函数”的定义，对于ABC，举例判断，对于D，转化为两个函数图像有交点，作出图像判断.【详解】对于A，时，，A对．对于B，时，，B对．对于C，有且仅有一个零点0，，C错．对于D，，分别作出与在的图像有交点，即有解，D对，故选：ABD．三、填空题5．（2022·全国·模拟预测）己知函数，则函数的零点为________.【答案】和2【分析】先将函数的零点问题转化为方程的根的问题，再分类讨论方程的根的情况计算可得答案.【详解】令，得，当时，令，得；当时，，因为都是增函数，所以在区间上单调递增，又，所以，故函数的零点为和．故答案为：和．6．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）若函数，则在区间上零点的个数是_______．【答案】4【分析】令，求解即可【详解】令，则，所以或，所以或，又，所以，则在区间上零点的个数是4，故答案为：47．（2022春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知是R上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与x轴的交点个数为________【答案】7【分析】由零点的定义与函数的周期性求解，【详解】当时，由得或，而的最小正周期为2，则，函数的图象在区间上与x轴的交点个数为7，故答案为：78．（2022春·青海西宁·高三校考期中）函数在区间上的零点的个数为____________．【答案】5【分析】令可得或，结合余弦型函数的性质判断在上根的个数，即可得结果.【详解】或，又在上的根有共4个，故在上有5个零点．故答案为：5四、解答题9．（2022春·福建福州·高三校考期中）已知函数的最小正周期为.(1)求函数的单调区间；(2)将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，若在上至少含有10个零点，求b的最小值.【答案】(1)单调增区间是；单调减区间是，．(2)【分析】（1）由三角函数的恒等变换化简函数解析式，利用周期公式可求，整体代入法可解得函数的单调增区间．（2）根据三角函数平移变换的规律，求出的解析式和周期以及零点，根据在上至少含有10个零点，结合三角函数零点可得范围．求出的最小值．．【详解】（1），由最小正周期为，得，所以，由，整理得，所以函数的单调增区间是．令，，整理得，，所以函数的单调减区间是，．（2）将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图像，．令，得或，在，上恰好有两个零点，若在，上至少有10个零点，则不小于第10个零点的横坐标即可，即的最小值为．10．（2022春·河南驻马店·高三校联考期中）已知函数，(1)求的定义域，并证明的图象关于点对称；(2)若和的图象有两个不同的交点，求实数的取值范围.【答案】(1)定义域为，证明见解析(2)【分析】(1)证明即可；(2)转化为一元二次方程有两个根即可求解.【详解】（1）由题设可得，故，故的定义域为，而∴的图象关于点对称.（2）∵和的图象有两个不同的交点故在上有两个不同的实数解，整理得到：在上有两个不同的实数解.设，则，即,解得.∴题型三：数形结合法判断函数零点个数一、单选题1．（2022春·江苏南京·高三期末）若函数的定义域为，且，，则曲线与的交点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用赋值法求出当，且x依次取时的一些函数值，从而找到函数值变化的规律，同理找到当，且x依次取时，函数值变化的规律，数形结合，即可求得答案.【详解】由题意函数的定义域为，且，，令，则，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，依次类推，可发现此时当，且x依次取时，函数的值依次为，即每四个值为一循环，此时曲线与的交点为；令，则，令，则，令，则，令，则，令，则，令，则，令，则，依次类推，可发现此时当，且x依次取时，函数的值依次为，即每四个值为一循环，此时曲线与的交点为；故综合上述,曲线与的交点个数为3，故选：B【点睛】难点点睛：确定曲线与的交点个数，要明确函数的性质，因此要通过赋值求得的一些函数值，从中寻找规律，即找到函数的函数值循环的规律特点，这是解答本题的难点所在.2．（2021春·上海黄浦·高三上海市大同中学期中）对于函数，若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准奇函数”．若函数，则是“（

）阶准奇函数”．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据“阶准奇函数”的定义，可将问题转化为与的图象交点个数的问题，作出两个函数图象可得结果．【详解】由时，，得，下图为与的图象，由图可知，当时，两个函数图象有4个交点，即．故选：D．3．（2022春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知，函数的导函数为.下列说法正确的是（

）A． B．函数的严格增区间为C．的极大值为 D．方程有两个不同的解【答案】C【分析】求出，则可知，在上单调递增，在上单调递减，的极大值为；方程等价于,画出函数与函数图像即可知有且只有一个交点即可解决问题..【详解】由题意知：，所以，A错误；当时；，单调递增，当时；，单调递减，B错误；的极大值为，C正确；方程等价于,如图所示：由图像知函数与函数有且只有一个交点，即方程有且只有一个解，D错误;故选：C.4．（2022春·贵州遵义·高三统考阶段练习）设函数，有下列命题：①函数的最小正周期为；②对，；③函数共有5个零点；④设，，函数在点处取得极大值，点为上一点，为坐标原点，则的最大值大于．其中真命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】①作出函数的图象再证明判断；②利用作差法判断；③在同一坐标系下画出函数和的图象即得解；④求出，设，求出，再利用导数分析判断得解.【详解】解：①函数，作出函数的图象，如图所示，设，所以函数的最小正周期为.所以该命题正确；②对，，，所以，因为.又，所以.所以该命题正确；③令.在同一坐标系下画出函数和的图象，如图所示，所以函数共有6个零点,所以该命题错误；④设，，函数在点处取得极大值，设，所以，令，所以令，所以，所以函数在单调递增，在单调递减.所以函数.所以该命题正确.故选：D二、多选题5．（2022春·江苏·高三江苏省新海高级中学校联考阶段练习）设函数，已知在有且仅有3个极小值点，则（

）A．在上可能有6个零点B．在有且仅有2个极大值点C．的取值范围是D．在上单调递减【答案】ACD【分析】先得到，根据在有且仅有3个极小值点，列出不等式组，求出，C正确；数形结合得到时，在上有6个零点，A正确；数形结合得到时，在上有3个极大值点，B错误；先得到，结合，得到，结合在上单调递减，得到D正确.【详解】，，故，在有且仅有3个极小值点，故，解得：，C正确；当，即时，在上有6个零点，A正确；当，即时，在上有3个极大值点，B错误；，，因为，所以，因为，而在上单调递减，故在上单调递减，D正确.故选：ACD6．（2022春·江苏苏州·高三统考阶段练习）设函数，已知在[0,2π]有且仅有4个零点，下述四个结论正确的是（

）A．在有且仅有3个极大值点B．在有且仅有2个极小值点C．的取值范围是[,）D．在上单调递增【答案】BCD【分析】当时求出整体的范围，结合的图象求出的范围，然后再结合的图象判断A、B选项是否正确．对于D：当时，结合的范围判断整体是否在正弦函数的增区间内.【详解】因为，则，有4个零点，则，，故C对；有两个极小值点，2个或3个极大值点，故A错，B对；对于D：当时，，，∴在上单调递增，故D对，故选：BCD三、填空题7．（2021春·上海静安·高三上海市第六十中学校考阶段练习）已知关于的方程的两根均在区间内，则实数的取值范围是__．【答案】【分析】转化化二次函数零点分布问题，数形结合得到不等式组，求出的取值范围.【详解】令，因为两根均在区间内，所以，，解得故答案为：四、解答题8．（2022春·北京·高三北京市第十一中学校考阶段练习）已知函数.(1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；(2)求集合中元素的个数；(3)当时，问函数有多少个极值点？（只需写出结论）【答案】(1)是偶函数，证明见解析；(2)答案见解析；(3)3个.【分析】（1）利用函数奇偶性的定义分析判断；（2）对分三种情况结合函数的奇偶性和单调性分析判断得解；（3）利用导数求出函数的单调性得解.【详解】（1）的定义域是，关于原点对称，是偶函数（2）当时，.由是上的偶函数，故在上无零点.集合中的元素个数为0；当时，令，解得.集合中的元素个数为1；当时，当时，，在上单调递增在上有唯一零点在上有两个零点，集合中的元素个数为2.（3）由题得，设，，设，，可知，在上恒大于零，在上恒小于零，因此，在上先递增后递减，且，，，因此，在上先递减后递增，在上先递增后递减，且，，，在上和在上，分别有一个零点．因此在上先递增后递减，在上先递增后递减，在处，和，上各有一个极值点（分别与的零点对应）．因此共有3个极值点．所以当时，函数有3个极值点.题型四：转化法判断函数零点个数一、单选题1．（2022春·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考开学考试）已知表示大于的最小整数，例如，，下列命题中正确的是（

）①函数的值域是；②若是等差数列，则也是等差数列；③若是等比数列，则也是等比数列；④若，则方程有2022个解.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】由题意，整理分段函数具体解析式，可得值域，采用特殊值法，可得数列的正误，根据函数与方程的关系，可得答案.【详解】当时，，，当时，令，，，则，，因此的值域是，是等差数列，但，，不成等差数列；是等比数列，但，，不成等比数列；由前分析可得当时，；当，，，时，，所以，即是周期为的函数，由指数函数的性质，可得函数过，在上单调递减，当时，，，去交点；当时，，，必有一个交点；则后面每个周期都有一个交点，所以，则方程由个根.①④正确，故选：D.2．（2022春·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）函数，则函数的所有零点的和是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】令，将问题化为研究与交点情况，根据它们的奇偶性、单调性、值域判断交点个数，进而确定零点和.【详解】令时，问题转化为与交点情况，而，即为奇函数，又也是奇函数，所以、都过原点，且由对称性知它们在与的交点情况相同，在上单调递增且，，而为周期函数(注意正弦函数性质)，在上递增，上递减且，，又，即，所以与在有一个交点，即在上有且仅有一个交点，故上也仅有一个交点，综上，、在R上共有3个交点，它们对应有3个零点从左到右依次为、、，则、关于对称、，故的所有零点的和是.故选：D3．（2022春·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知定义域为的偶函数的图像是连续不间断的曲线，且，对任意的，，，恒成立，则在区间上的零点个数为（

）A．100 B．102 C．200 D．202【答案】A【分析】结合题意得是以4为周期的函数，且在一个周期内有两个零点，再根据周期性求解即可.【详解】解：令，得，即，因为对任意的，，，恒成立，所以，在上单调递增，因为为偶函数，所以，在上单调递减，，所以，所以是以4为周期的函数，因为在一个周期内有两个零点，故在区间上的零点个数为．故选：A．二、多选题4．（2022·浙江·校考模拟预测）已知是定义在上的单调函数，对于任意，满足，方程有且仅有4个不相等的实数根，则正整数的取值可以是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】BCD【分析】由题知为常数，令，由求得，结合奇偶性将问题转化为与图象在上仅有两个不同交点，分析函数图象验证的取值是否满足.【详解】因为是定义在上的单调函数，对于任意，满足，所以为常数，令，则且，即，此方程有唯一的根，故，因为为偶函数，方程有且仅有4个不相等的实数根，当且仅当方程在上有且仅有两个不相等的实数根，即在上有且仅有两个不相等的实数根，方程根的个数可看成与图象交点个数，当时，方程无根，故不满足；当时，方程两根分别为，故满足；当时，此时直线比更陡，故有两个交点，所以时满足；故选：BCD三、填空题5．（2023·上海·高三专题练习）已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，若将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则____．【答案】2【分析】是周期为4的周期函数，作出图像，的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出结果．【详解】解：函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，是周期为4的周期函数，图像如图：将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则的几何意义是两条渐近线之间的距离2，．故答案为：2．6．（2022·全国·高三专题练习）sin（2022πx）＝x2实根个数为_____．【答案】4044【分析】设f（x）＝sin（2022πx），g（x）＝x2，求出f（x）的周期，由f（x）的最大值为1，x∈[﹣1，1]，时，0≤g（x）≤1，利用f（x）的周期，得出两者图象交点的个数，从而得出答案．【详解】设f（x）＝sin（2022πx），g（x）＝x2，∴g（﹣1）＝g（1）＝1，x＞1或x＜﹣1时，g（x）＞1，f（x）≤1，两者无交点，∴f（x）＝sin（2022πx）的周期为，所以在[0，1]上有1011个周期，在[﹣1，0）上有1011个周期，f（﹣1）＝sin（﹣2022π）＝0，f（1）＝sin（2022π）＝0，x＝﹣1在f（x）增区间上，x＝1在f（x）增区间上，因此在[﹣1，1]上的每个区间上，f（x）与g（x）的图象都是两个交点，共4044个交点，即原方程有4044个解．故答案为：4044．7．（2022春·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，满足，有下列说法：①的图象关于直线对称；②的图象关于点对称；③在区间上至少有5个零点；④若上单调递增，则在区间上单调递增．其中所有正确说法的序号为_______．【答案】②③④【分析】求得函数的图象关于点对称判断①②；求得在区间上零点个数判断③；求得在区间上的单调性判断④【详解】因为，所以，故函数是周期为3的周期函数，又是定义在R上的奇函数，则，所以，故函数的图象关于点对称，故①错误，②正确；由题意可知，，因为，令，可得，即，所以，从而，故函数在区间上至少有5个零点，故③正确；因为，，且函数在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增，故函数在区间上也单调递增，故④正确．故答案为：②③④四、解答题8．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知函数(1)若,求的图象在处的切线方程；(2)若,证明:在上只有一个零点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)将代入即可求的值,写出其点斜式直线方程即为切线方程,(2)将化简为,构造新函数,求导求单调性判断的零点个数即零点个数.【详解】（1）解:由题知,,,,的图象在处的切线方程为,即（2）证明:当时,,则函数只有一个零点等价于函数只有一个零点,可得,,,即,在上单调递增,又,在上只有一个零点,即函数在上只有一个零点得证.题型五：零点存在定理与函数性质结合判断函数零点个数一、单选题1．（2022春·河北·高三期中）函数零点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】判断的奇偶性,利用导数求得在上的单调性,由零点存在性定理判断零点个数,再利用放缩法可得当时,,从而判断零点个数,再利用的奇偶性即可得结论.【详解】,是上的偶函数，,①当时,令,得或，令,得.在和上单调递增,在上单调递减.,使得在上有两个零点.②当时,，在上没有零点，由①②及是偶函数可得在上有三个零点.故选：D.【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的2种常用方法：（1）直接法：直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图.函数零点的个数问题即是函数图象与轴交点的个数问题；（2）分离参数法：分离出参数,转化为,根据导数的知识求出函数在某区间上的单调性,求出极值以及最值,画出草图.函数零点的个数问题即是直线与函数图象交点的个数问题.只需要用与函数的极值和最值进行比较即可.2．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数，若函数，则函数的零点个数为（

）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】本题首先通过函数奇偶性求出，再利用导数研究其在上的零点个数即可.【详解】当时，，当时，，，，且定义域为，关于原点对称，故为奇函数，所以我们求出时零点个数即可，，，令，解得，故在上单调递增，在单调递减，且，而，故在有1零点，，故在上有1零点，图像大致如图所示：故在上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在上也有2个零点，且，故共5个零点，故选：D.3．（2022春·河南驻马店·高三校考阶段练习）已知函数，则方程的解的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据给定条件，构造函数，探讨函数单调性，借助零点存在性定理判断作答.【详解】令，当时，在上单调递增，，则存在，使得，因此函数在上有唯一零点，当时，，求导得，显然在上递增，而，则存在，使得，当时，，当时，，因此函数在上递减，在递增，，而，则存在，使得，即函数在上有唯一零点，又函数在上无零点，因此函数在上有唯一零点，所以函数的零点个数为2，即方程的解的个数是2.故选：C二、多选题4．（2022·浙江·模拟预测）已知函数，则（

）A．函数有最大值 B．至少有个零点C．点是曲线的对称中心 D．存在，使得为奇函数【答案】BC【分析】对求导后，根据的取值范围可确定的单调性和极值，从而得到在上的值域为；根据函数解析式可推导得到，从而知，可得A错误；结合零点存在定理可说明在上有三个零点，知B正确；根据可知C正确；假设存在，根据奇函数定义可化简得到，由方程组无解可知D错误.【详解】，当时，，则，在上单调递增；令，则，假设存在，，使得，则当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减；又，，，，；，，，即；在上的值域为；对于A，，，以此类推，则，无最大值，A错误；对于B，且在上单调递增，在上有一个零点；且在上单调递减，在上有一个零点；又，在上有三个不同零点；至少有个零点，B正确；对于C，，的图象关于点对称，C正确；对于D，假设存在，使得为奇函数，令，则，，整理可得：；若方程恒成立，则，即，方程组无解，不存在实数，使得为奇函数，D错误.故选：BC.5．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知函数，其中，为实数，则下列条件能使函数仅有一个零点的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】ACD【分析】将的值代入解析式，利用导数分析函数的单调性与极值，结合图象及零点存在性定理，判断零点个数.【详解】由已知可得的定义域为.对于A、当时，，则.当或时，;当时，，故在和上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，在处取得极小值.因为且的图象连续不断，故的图象与轴有且只有一个交点，故此时有且只有一个零点，故该选项符合题意.对于B、当时，，则.当或时，;当时，，故在和上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，在处取得极小值.又因为，且的图象连续不断，故的图象与轴有且只有两个交点，故此时有且只有两个零点，故该选项不合题意.对于C、当时，，则在上恒成立，当且仅当时取等号，故在上单调递增，又因为，且的图象连续不断，故的图象与轴有且只有一个交点，故此时有且只有一个零点，故该选项符合题意.对于D、当时，，则在上恒成立，故在上单调递增，又因为，且的图象连续不断，故的图象与轴有且只有一个交点，故此时有且只有一个零点，故该选项符合题意.故选:ACD.三、解答题6．（2022春·内蒙古·高三统考阶段练习）已知函数，．(1)证明：当时，函数，的图象只有一个交点；(2)设A是函数，的交点，证明曲线在点A处的切线也是曲线的切线．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）构造函数，证明函数在上只有一个零点；（2）由已知，得出点A的横坐标的关系式，根据导数的几何意义求得曲线在点A处的切线，证明过A点的切线的斜率恰好等于在点A处的切线的斜率即可.【详解】（1）证明：设，，∴函数在上单调递增．∵，，由函数零点存在定理知在只有一个零点，在没有零点，即在只有一个零点.∴当时，函数，的图象只有一个交点．（2）证明：设点A的横坐标为，则，整理得，又，曲线在点处的切线l方程为，即．设切点，求导得，令，直线AM的斜率为：，∴曲线在点A处的切线也是曲线的切线．题型六：利用函数零点求参数一、单选题1．（2021春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令可得出，由题意可知，实数的取值范围即为函数的值域，求出函数的值域即可得解.【详解】令可得出，令，由于函数有零点，所以，实数的取值范围即为函数的值域.当时，；当时，由于函数均为单调递增函数，故函数单调递增，此时，.综上所述，函数的值域为.因此，实数的取值范围是.故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数有4个不同的零点，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出的大致图象，有4个不同的零点等价于与一共四个交点，由数形结合判断即可.【详解】当时，，，可得在上单调递减，在上单调递增，且，所以的大致图象如图所示.由，解得或.由的图象可知，当时，有1个根，所以要有3个根，故实数m的取值范围为.故选：B.二、填空题3．（2022春·四川遂宁·高三阶段练习）已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围是__________．【答案】【分析】把问题转化为有四个根，即和有四个交点.再分讨论两个函数是否能有4个交点，进而得出的取值范围【详解】因为函数恰有4个零点，所以有四个根，即和有四个交点.当时，与图像如下：两图像有2个交点，不符合题意；当时，与轴交于两点.图像如下：当时，函数的函数值为，函数的函数值为.两图像有4个交点，符合题意；当时，与轴交于两点，在内函数图像有两个交点.要使两图像有4个交点，只需与在内有两个交点即可，即在还有两个根，就是在内有两个根，函数（当且仅当时等号成立）.所以且，解得：.综上所述：实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．4．（2022春·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）对于函数和，设，，若存在、，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围为______.【答案】【分析】先求出的零点为，设函数的零点为，根据“零点相邻函数”的定义得到，则函数在上有零点，再根据二次函数的图象列式可求出结果.【详解】因为，且函数为单调递增函数，所以为函数的唯一零点，设函数的零点为，又因为函数与互为“零点相邻函数”，所以，解得，所以函数在上有零点，所以或或，即或或，所以.故答案为：.5．（2022春·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考阶段练习）函数的图象与轴有公共点，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】利用分离常数法，结合基本不等式求得的取值范围.【详解】依题意，函数的图象与轴有公共点，，，由于，当且仅当时等号成立，所以，即的取值范围是.故答案为：6．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数且，记，若存在实数使得有两个不同的零点，则正整数的最大值为_______．【答案】2【分析】首先分析的单调性，然后根据有两个不相同的零点列不等式，结合图象求得正整数的最大值.【详解】当时，，是增函数，当时，，也是增函数．由题意即存在实数，使得方程有两个不相等的根，即函数图象与直线有两个交点，所以当点在点上方，即时，符合题意，，结合与的图象可得正整数的最大值为.故答案为：7．（2021春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知函数，若关于x的方程有3个不同的实数根，则的取值范围为______.【答案】【分析】作出的图象数形结合，根据分析即可.【详解】作出的图象：因为，故，即或.由题意，与和的图象共3个公共点，由图象可得或，故或.所以的取值范围为.故答案为：三、解答题8．（2022春·甘肃陇南·高三统考期中）已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若方程有三个不同实数根，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，不等式化为；当时，不等式化为；求并集即可；（2）画出的图象，方程有三个不同实数根等价于与有三个不同的交点，解不等式即可求解.【详解】（1）当时，由得，，当时，由得或，，综上所述，不等式的解集为；（2）方程有三个不同实数根，等价于函数与函数的图象有三个不同的交点，函数的图象：由图可知：，得：或所以，实数的取值范围.题型七：利用函数解析数选择图像一、单选题1．（2023春·云南·高三云南师大附中阶段练习）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值求得正确答案.【详解】的定义域为，，所以为偶函数，图象关于轴对称，排除C，D选项；，排除B选项.所以A选项正确.故选：A2．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通过函数的奇偶性可排除AC，通过时函数值的符号可排除D，进而可得结果.【详解】令，其定义域为关于原点对称，，所以函数为奇函数，即图像关于原点对称，故排除AC，当时，，，，即，故排除D，故选：B.二、多选题3．（2022春·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学阶段练习）函数在,上的大致图像可能为（）A． B．C．D．【答案】ABC【分析】根据的取值分类讨论，作出函数的大致图象，研究函数性质后判断图象.【详解】①当时，，，函数为奇函数，由时，时等性质可知A选项符合题意；②当时，令，作出两函数的大致图象，由图象可知在内必有一交点，记横坐标为，此时，故排除D选项；当时，，时，，若在内无交点，则在恒成立，则图象如C选项所示，故C选项符合题意；若在内有两交点，同理得B选项符合题意.故选：ABC.三、填空题4．（2022·全国·高三专题练习）函数的图象可能是下面的图象______（填序号）【答案】（3）【分析】先求出函数定义域为,由判断出函数的图象关于点(2,0)对称,排除（1），（2）；再由x<0时排除（4），即可得到正确答案.【详解】函数定义域为,因为,所以函数的图象关于点(2,0)对称,排除（1），（2）；当x<0时,>ln4>0,,所以函数的图象在轴下方,排除（4）.故答案为：（3）题型八：利用动点研究函数图像一、单选题1．（2022·上海松江·统考一模）已知函数，，若函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在平面直角坐标系中作出函数的图像，作出直线，由图像知只要直线与的图像在轴左右两侧各有两个交点，则的图像就经过四个象限（时，的函数值有正有负，时，的函数值有正有负），因此求得直线的斜率，再求得直线与相切的切线斜率（注意取舍）即可得结论．【详解】作出函数的图像，如图，作出直线，它过定点，由图可得，只要直线与的图像在轴左右两侧各有两个交点，则的图像就经过四个象限（时，的函数值有正有负，时，的函数值有正有负），时，与轴的公共点为，，时，，由得，，解得或，由图像知，切线的斜率为，所以时满足题意．故选：A．2．（2022·全国·高三专题练习）如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记.将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出分段函数的解析式，根据函数图像，利用排除法进行求解即可.【详解】由已知得,当点P在BC边上运动时,即时,；当点P在CD边上运动时,即时,,当时,；当点P在AD边上运动时,即时,.从点P的运动过程可以看出,轨边关于直线对称,且,且轨迹非线型，对照四个选项，排除A、C、D，只有B符合.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）设函数，，，则函数的图象与轴所围成图形中的封闭部分面积是（

）A．6 B．8 C．7 D．9【答案】C【分析】先画出的图象，再经过平移和翻折得到，进而得到的图象，再求解的图象与轴所围成图形中的封闭部分面积.【详解】图象，如图1，把的图象向下平移一个单位长度，再把x轴下方部分沿着x轴翻折，得到的图象，如图2，再把的图象向下平移2个单位长度，在把把x轴下方部分沿着x轴翻折，得到的图象，如图3，则与轴所围成图形中的封闭部分面积为故选：C二、填空题4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，其部分自变量与函数值的对应情况如表：x0245312.513的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论：①在区间上单调递增；②有2个极大值点；③的值域为；④如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4．其中，所有正确结论的序号是______．【答案】③④【分析】画出函数图象，数形结合作出判断.【详解】根据函数的导函数的图象与表格，整理出函数的大致图象，如图所示．对于①，在区间上单调递减，故①错误；对于②，有1个极大值点，2个极小值点，故②错误；对于③，根据函数的极值和端点值可知，的值域为，故③正确；对于④，如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4，故④正确．综上所述，所有正确结论的序号是③④．故答案为：③④三、解答题5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为D，若存在实数a，b，对任意的，有，且使得均成立，则函数的图像关于点对称，反之亦然，我们把这样的函数叫做“函数．(1)已知“函数”的图像关于点对称，且时，；求时，函数的解析式；(2)已知函数，问是否为“函数”？请说明理由；(3)对于不同的“函数”与，若、有且仅有一个对称中心，分别记为和，①求证：当时，仍为“函数”；②问：当时，是否仍一定为“函数”？若是，请说明理由；若不一定是，请举出具体的反例．【答案】(1)(2)是“函数”(3)仍为“函数”；时，不一定是“函数”.【分析】（1）根据函数图像的对称关系列关系式计算即可；（2）根据“函数”的定义，结合题给的具体函数解析式，计算出a,b的值即可得出结果；（3）根据定义验证即可；根据定义，举出具体函数验证结论，所举函数不唯一.（1）根据“函数”的概念，，时，，又时，时，即时，的解析式为.（2）根据题意，取，上式计算得，此时所以函数是“函数”.（3）根据题意，时，所以此时仍为“函数”；时，不一定是“函数”.设，易知函数图像关于对称，得;设，知函数图像关于对称，得此时，，其图像不关于某一点对称，即不是“函数”结论得证.题型九：利用函数图像解决不等式问题一、单选题1．（2021春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，根据题意，求得的单调性，再利用函数的对称性，即可求得答案．【详解】构造函数，则．因为满足，所以当时，．所以．此时函数单调递减；当时，．所以．此时函数单调递增；由已知，变形得，即，所以图像上的点关于的对称点也在函数图像上，即函数的图像关于直线对称，不等式，可变形为，即，由函数在上单调递减，在上单调递增，且，有，解得.故选：A．2．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．[0，1]【答案】D【分析】转化为的图象在图象的上方，画出的图象，数形结合得到，再求出在的切线的斜率，得到，从而得到实数的取值范围.【详解】在上恒成立在上恒成立的图象在图象的上方，其中，画出与y=ax的图象，如下：要想在上恒成立，则；令，则，，若为在的切线，则，故要想在恒成立，则，综上：.故选：D3．（2022春·福建福州·高三校考期中）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解出两个集合中的不等式，再求两个解集的交集.【详解】不等式解得，，，不等式解得，，。故选：D二、填空题4．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上函数满足且当时，，则使得在上恒成立的m的最小值是_______________．【答案】##【分析】首先根据条件求其他区间的解析式，并计算每一段的值域，从而确定对应的的值，结合函数的性质和图象，即可求解.【详解】设，，，函数的值域是，，，，函数的值域是，，，，函数的值域是，，，，函数的值域是，所以当后，当时，，解得：或，如图，根据规律，画出函数的图象，如图可知，使在上恒成立的m的最小值是.故答案为：三、解答题5．（2022·河北·模拟预测）已知函数，．(1)画出和的图象；(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)画图见解析(2)，，【分析】（1）由分段函数的图象画法可得；（2）考虑的图象经过，，结合图象平移可得结论．【详解】（1）当时，，当时，，当时，.当时，，当时，.故，，可得，的图象如图：（2）根据图象可知，可以看成经过左右平移得到的，当的图象左支经过点，则有恒成立，可得，解得或，当时，即右平移一个单位，不恒成立；当时，即右平移至少三个单位，恒成立，当的图象右支经过点，则有恒成立，可得，解得或2，当时，即不平移，不恒成立；当时，即左平移至少两个单位，恒成立，故的取值范围是.题型十：利用函数图像解决方程根与交点问题一、单选题1．（2021春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）函数，若互不相等，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角函数、对数函数的图像和性质，画出函数的图像，再利用图像数形结合即可发现、、间的关系和范围，最后求得所求范围.【详解】函数的图像如图所示：设，由函数图像数形结合可知：，，．故选：C．2．（2022·陕西汉中·统考一模）若函数的两个零点是，则（

）A． B．C． D．无法判断【答案】C【分析】首先将函数的零点转化为函数和的交点，再结合函数的单调性可知，，去绝对值后，即可求解.【详解】令，则，如图分别画出和，两个零点分别设为，且函数单调递减，如图可知，，，即，所以.故选：C二、多选题3．（2022·全国·高三专题练习）形如的函数，因其图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列说法中正确的选项为（

）A．B．函数的图像不关于直线对称C．当时，D．函数有四个不同的零点【答案】BCD【分析】根据函数解析式的结构分析函数的对称性，画出函数图像，再逐项分析.【详解】显然定义域为，由于，是偶函数，当时，，，，，函数图像如下：对于A，，错误；对于B，由图可知，正确；对于C，当时，，正确；对于D，原方程等价于有4个解，作函数的图像如图：显然正确；故选：BCD.4．（2022春·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）若实数满足，则下列说法正确的是（

）A．的最小值是0B．的最大值是5C．若关于的方程有一解，则的取值范围为D．若关于的方程有两解，则的取值范围为【答案】AB【分析】根据特殊值可判断A项；设，则易知，原方程即为，将当成变量，设，，，原方程有解等价于的图象和的图象有公共点，即可利用数形结合解出．【详解】对于A项：由已知可得，，且当时，解得，符合题意，故A项正确；当时，令，则，又，则，即，则原方程可化为．设，，，整理得，，则的图象是斜率为的直线的一部分；整理可得，，的图象是以原点为圆心，半径为的四分之一圆.如图，作出函数与的图象，则问题等价于的图象和的图象有公共点，观察图形可知，当直线与圆相切时，直线的截距最大，此时有最大值，由，解得，故B项正确；当直线过点时，，解得或（舍去）；当直线过点时，，解得或（舍去）．因此，要使直线与圆有公共点，则有，综上，，故x的最大值为5，最小值为0．对于C、D项：综上并结合图象可知，当或或时，y有一解；当时，y有两解．故C、D项错误.故选：AB．三、填空题5．（2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）已知，，直线与函数的图象从左至右相交于点，直线与函数的图象从左至右相交于点、，记线段和在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值是_____．【答案】8【分析】根据题意分别表示出各个点的横坐标为进而表示出，，和，利用基本不等式求最小值.【详解】设各个点的横坐标为则所以所以所以，因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以，故答案为:8.6．（2022春·上海静安·高三校考阶段练习）已知为奇函数，当，，且关于直线对称.设方程的正数解为，且任意的，总存在实数，使得成立，则实数的最小值为______.【答案】【分析】根据题意可得函数是以4为周期的周期函数，作出函数的图像，结合图像可知的几何意义为函数两条渐近线之间的距离，从而可得到，进而求出的最小值.【详解】因为为奇函数，所以，且，又关于直线对称，所以，所以，则，所以函数是以4为周期的周期函数，作出函数和的图像如图所示：由的正数解依次为、、、、、，则的几何意义为函数两条渐近线之间的距离为2，所以.所以得任意的，，已知任意的，总存在实数，使得成立，可得，即的最小值为.故答案为：2.7．（2022·上海徐汇·统考一模）设，函数的图像与直线有四个交点，且这些交点的横坐标分别为，则的取值范围为___________.【答案】【分析】根据题意，利用韦达定理，求得，和的关系，以及的范围，将目标式转化为关于的函数，借助对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】根据题意，令，解得或，不妨设作图如下：又直线的斜率为，数形结合可知，要满足题意，；且为方程，即的两根，当时，，则，故；为方程，即的两根，当时，，则，故；则，令，由对勾函数单调性可知在上单调递减，又，故，即的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程；处理问题的关键是能够数形结合求得，和的关系，从而借助函数单调性求值域，属综合中档题.四、解答题8．（2022春·上海静安·高三上海市新中高级中学校考期中）已知函数和的定义域分别为和，若对任意的，都恰好存在个不同的实数，使得（其中，则称为的“重覆盖函数”，如，是，的“4重覆盖函数”．(1)试判断，是否为，的“2重覆盖函数”，并说明理由；(2)若为,的“3重覆盖函数”，求实数的取值范围；(3)若，为，的“9重覆盖函数”，求的最大值．【答案】(1)不是，理由见解析；(2)(3)61【分析】（1）当时，根据“重覆盖函数”的定义即可判断；（2）将问题转化为对于任意的，方程恰好有3个不同的根，然后分三种情况分别求解即可；（3）将问题转化成对于任意的，方程，在内有9个不同的根，利用数形结合的思想即可求解．【详解】（1）当时，，而,即只有唯一解，所以，的“2重覆盖函数”；（2）因为,为增函数，所以,的值域为，故对于任意的，方程在内都恰好有个不同的根，①当时，，若，由，得，若，则，此时方程在内最多只有个不同的根，不合题意；②当时，方程在内最多只有一个根，在内最多有两个根，所以在内有个不同的根，在内有两个根，因为，，所以，解得.③当时，在上单调递增，故方程需在内有2个不同根，在内有1个根，当时，，且，所以，解得，综上，实数的取值范围是；（3）因为函数，为单调递减函数，所以的值域为，对于任意的，方程，在内有9个不同的根，即与直线在轴右侧有9个不同的交点，由图可知，，即，由，得，解得，故的最大值为.【点睛】关键点点睛：根据函数的单调性结合函数图象是解题的关键．题型十一：指数相关的图像变换问题一、单选题1．（2021·陕西榆林·校考模拟预测）已知函数，则函数的图像不经过（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据函数的单调性和函数平移规则分析.【详解】是单调递增的函数，经过，渐近线为，当时，，，渐近线为，所以图像如下图：故选：B.2．（2022春·北京海淀·高三统考期中）已知函数．甲同学将的图象向上平移个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数平移和伸缩变换原则，依次验证选项中的函数变换后的解析式是否相同即可.【详解】对于A，，，A错误；对于B，，，B正确；对于C，，，C错误；对于D，，，D错误.故选：B.3．（2022春·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，下列结论中错误的是（

）A．与是“同形”函数B．与是“同形”函数C．与是“同形“函数D．与是“同形”函数【答案】B【分析】对A利用三角函数诱导公式得，对B利用诱导公式得则可判断它不是同形函数，对C化即可，对D化即可.【详解】，所以与是“同形函数”，故A正确；，所以与不是“同形函数”，故B错误；，所以与是“同形”函数，故C正确；因为，所以与是“同形”函数，故D正确.故选：B.二、填空题4．（2022·上海徐汇·统考一模）已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是_______【答案】【分析】由函数奇偶性可得函数在上的解析式，做出图像即可求得值域.【详解】因为是定义域为的奇函数，当时，，则时，，所以，作出函数图像如下图所示：由图像可知：函数值域为.故答案为：三、解答题5．（2022春·甘肃白银·高三校考阶段练习）作出下列函数图象(1)(2)【答案】(1)答案见详解(2)答案见详解【分析】（1）利用函数奇偶性和指数函数的图像即可画出函数图像；（2）根据函数图像的平移和翻折结合对数函数图像即可得解.【详解】（1）因为，所以，所以函数为偶函数，关于轴对称，因此只需要画时的函数图形即可，，再利用对称性即可得解.（2）将函数的图象向左平移1个单位,再将轴下方的部分沿轴翻折上去,即可得到函数的图象,如图所示.题型十二：指对函数图像结合问题一、单选题1．（2022·上海长宁·统考一模）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的单调性和与轴的交点结合指数函数的性质可求解.【详解】若，为增函数，且，与图象不符，若，为减函数，且，与图象相符，所以，当时，，结合图象可知，此时，所，则，所以，故选:C.2．（2022春·河北廊坊·高三校考阶段练习）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由对称性知，A项正确；由基本不等式与可得B项正确；由不等式性质和基本不等式可得C项正确；方法1：由排除法可知D项错误；方法2：由零点存在性定理进一步缩小与的范围，可知D项错误.【详解】如图所示，∵与互为反函数，∴与的图象关于对称，∴与垂直，且交点为，则为、的中点，∴，故A项正确；B项：∵∴，故B项正确；C项：由图知：，，，故C项正确；D项：方法1：由排除法可知D项错误.方法2：设，，∵当时，，又∵，∴，∴

①∵当时，，又∵，∴，∴

②∴由①②知：∵当时，，由上式知，∴，∴，③∵当时，，由上式知，∴，

④∴由③④知：∴，故D项错误.故选：D.3．（2022·海南·模拟预测）已知函数，，的图象如图所示，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函数图象可确定大小关系，结合指数函数单调性可得结果.【详解】由图象可知：，.故选：C.4．（2023春·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）设方程和方程的根分别为p和q，设函数，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据，关于直线对称，而与，的交点的横坐标即为，根据对称性可得，再由图象开口向上，对称轴方程为，即可求解.【详解】由得，由得，所以令，和，这三个函数的图象情况如下图所示，与相交于点，与相交于点，由于与的图象关于对称，而与的交点为，所以，即，又因为的对称轴为：，根据二次函数的性质得在单调递减，在上单调递增，所以，故选：A.5．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数的图像如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数奇偶性可排除A，根据时的函数值的正负可排除B，利用定义域可排除C，进而即得.【详解】由题可得函数的图像关于原点对称，定义域为，对于A，，函数关于轴对称，故A错误；对于B，当时，，所以B错误；对于C，因为的定义域为，故C错误.故选：D.二、多选题6．（2022春·江苏泰州·高三江苏省泰兴中学校联考阶段练习）下列说法正确的是(

)A．命题“，”的否定是“，”B．已知，则“”是“”的必要不充分条件C．函数的单调增区间是D．，【答案】AB【分析】对于，根据存在性命题否定的方法可以判定；对于，先求解不等式，再进行判断；对于，求出函数的定义域，在定义域内利用对数函数的二次函数的单调性即可判断；对于，结合图象可以进行判断．【详解】对于，命题“，”的否定是“，”，故A正确；对于，由得，∴“”是“”的必要不充分条件，故B正确；对于C，由得函数的定义域为，由在时单调递增及在时单调递增可知，的增区间为，故C错误；对于，作出函数和的图象，∵，故在上，恒成立，∴，不成立，不正确；故选：AB．7．（2022·全国·高三专题练习）已知实数满足等式，则下列可能成立的关系式为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】在同一坐标系内分别画出函数和的图像，结合图像即可判断.【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数和的图像，如图所示，由图像知，当时，，故选项A正确；做出直线，当时，若，则，故选项B正确；当时，若，则，故选项C正确；当时，易得，则，故选项D错误.故选：ABC.三、填空题8．（2022春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知，则a，b，c从小到大的关系是___________.【答案】【分析】由题可得，，，且，分别作出函数，，和的图象，数形结合可得结果