上海市闵行区2023-2024学年高一上学期1月学业质量调研（期末）数学试卷

上海市闵行区2023-2024学年高一上学期1月学业质量调研（期末）数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果.1．设集合A={0，1，22．用有理数指数幂的形式表示a2b3=3．若xy=1(x，y∈R)，则x24．已知log23=a，2b5．若函数y=ex，6．已知f(x)=2x−2，x≥2，17．如图为三个幂函数y=xa1，y=8．已知关于x的不等式|x+1|+|x−a|≤5有解，则实数a的取值范围为.9．已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，且它在区间(−∞，0]上是严格增函数，若不等式f(2a−3)+f(1−a)<0成立，则实数a的取值范围为10．在沪教版教材必修第一册第四章的章首语中有这样一段话：“通过固定等式ab=c中的三个量a､b､c中的一个量，研究另两个量的相互关系和变化规律，定义三种基本而应用广泛的函数——幂函数､指数函数和对数函数”.若令c=e（e是自然对数的底数），将a视为自变量x(x>0，x≠1)，则b为x的函数，记作b=f(x)，若不等式(x−2k)f(x)>011．已知f(x)=2x，若对任意的x1∈[m，n]，存在唯一的x212．将函数y=|x|的图像绕原点逆时针方向旋转角α(0∘<α<360∘)，在α的变化过程中，每一个旋转角二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．已知a，b∈R，则“a>1，b>1”是“A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件14．下列函数中既是偶函数，又在区间(0，A．y=x23 B．y=1x215．历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字､十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知lg2≈0.301，A．10805 B．10806 C．16．已知函数f(x)=log12(1−x)，−1≤x≤n，22−|x−2|−2，n<x≤m(n<m)的值域是[−1，A．0个 B．1个 C．2个 D．3个三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．设集合A={（1）若b=4，试用区间表示集合A､B，并求A∪B；（2）若B=[1，5]，求不等式18．已知f(x)=log（1）解不等式f(x)<1；（2）判断函数y=f(2x)在其定义域上的单调性，并严格证明.19．进口博览会是一个展示各国商品和服务的盛会，也是一个促进全球贸易和交流的重要平台.某汽车生产企业想利用2023年上海进口博览会这个平台，计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆），需投入流动成本C(x)（万元），且C(x)=10x2（1）写出年利润S(x)（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.（总利润=总销售收入-固定成本-流动成本)20．已知f(x)=ax，（1）判断函数y=|g(x)|的奇偶性，并说明理由；（2）当a=2时，若函数y=f(x)与y=|g(x)|的图像有且只有三个公共点，求b的取值范围；（3）记F(x)=f(x)+g(x)，若函数y=F(x)在区间(0，2)上有两个不同的零点，求21．已知函数y=f(x)与y=g(x)的定义域均为D，若对任意的x1，x2∈D(x1≠x2)（1）若f(x)=3x+1，g(x)=x，D=R，判断函数y=g(x)是否是函数y=f(x)在（2）若f(x)=x2+2，g(x)=x2+a，D=[0，（3）若f(x)=x，D=[0，2]，函数y=g(x)是函数y=f(x)在D上的“L函数”，且g(0)=g(2)，求证：对任意的

答案解析部分1．【答案】{0，【解析】【解答】因为集合A={0，1，2，3，42．【答案】a【解析】【解答】由题意可得：a2b3=a2×3．【答案】2【解析】【解答】根据基本不等式不等式有：x2+y2≥2x24．【答案】a+b【解析】【解答】log215=log23×5=5．【答案】e【解析】【解答】根据指数函数的单调性知道：y=ex，在1，e上为增函数，则当x=e时，函数有最小值e.

故答案为：e.

【分析】本题主要考查指数函数的单调性，根据指数函数y=ax6．【答案】2【解析】【解答】当x0≥2时，fx0=2x0-2=1，解得x0=2，当x0<2时，f7．【答案】a【解析】【解答】根据y=xa1的图像知道a1<-1，根据y=xa2的图像知道0<a2<1，根据y=x8．【答案】[−6【解析】【解答】根据不等式的性质可得：|x+1|+|x−a|≥x+1-x-a=1+a，当且仅当x+1x-a≤0，时取等号，

又因为关于x的不等式|x+1|+|x−a|≤5有解，则只需1+a≤5，即可，解得-6≤x≤4，即实数a的取值范围为-6，4

故答案为：9．【答案】(−∞【解析】【解答】因为y=f(x)是定义在R上的奇函数，且它在区间(−∞，0]上是严格增函数，所以y=f(x)在[0，+∞)单调递增，

即y=f(x)在R上单调递增，y=f(x)是定义在R上的奇函数，所以-f(1−a)=fa-1，

又f(2a−3)+f(1−a)<0可变形为f(2a−3)<-f(1−a)，即f(2a−3)<f(a-1)，又因为y=f(x)在R上单调递增，

所以2a-3<a-1，解得a<2，则实数a的取值范围为(-∞，2].

故答案为：(-∞，2].

【分析】本题主要考查函数的奇偶性及单调性，因为函数为奇函数，且它在区间(−∞，0]上是严格增函数，所以10．【答案】1【解析】【解答】根据题意可得：xb=e，两边同时取对数可得：b=logxe=lnelnx=1lnx，所以fx=1lnx且(x>0，x≠1)，

又因为当x∈0，1时，fx<0，则根据(x−2k)f(x)>0可得：x-2k<0，对x∈0，1恒成立，即k>x2对x∈0，1恒成立，

所以k≥12，又当x∈1，+∞11．【答案】0【解析】【解答】因为f(x)=2x，底数2>1，所以函数f(x)=2x为R上的增函数，

又f(x1)⋅f(x2)=2x1×2x2=2x1+x2=1，则x1+x2=0，

所以x212．【答案】45∘【解析】【解答】画出函数y=|x|的图像，如下图所示，当该函数的图象绕原点逆时针旋转时，根据函数的定义知道，当函数图象旋转到二、三象限或者一、四象限时，其图像均不是函数图象，则旋转的角度α满足的条件是：45∘≤α≤135∘或225∘≤α≤315∘.则则α13．【答案】A【解析】【解答】充分性：当a>1，b>1时，能推出ab>1，即充分性成立，必要性：ab>1时不能推出a>1，b>1，

故必要性不成立，所以“a>1，b>1”是“14．【答案】B【解析】【解答】对于A选项：函数y=x23在区间(0，+∞)上是严格增函数，故不符合题意；

对于B选项：y=fx=1x2+1，f-x=1-x2+1=1x15．【答案】A【解析】【解答】令x=2.52023，两边同时以10为底取对数得：lgx=lg2.52023=2023lg2.5，即lgx=2023lg5216．【答案】D【解析】【解答】f(x)=log12(1−x)，−1≤x≤n，22−|x−2|−2，n<x≤m(n<m)设hx=22−|x−2|−2，当x>2时，hx=24-x−2，

根据复合函数的单调性知道其在2，+∞上单调递减，当-1≤x<2时，hx=2x−2，函数在[-1，2）上单调递增，

所以hx在[-1，2）上单调递增，在2，+∞上单调递减，则当x=2时取得最大值：h2=22-2=2.同理根据复合函数的单调性知道y=log12(1−x)，为单调递增函数，

综上可得函数fx的图像如下图所示：

令22−|x−2|−2=-1，解得：x=0或x=4，对于①当n=017．【答案】（1）解：由题意可得：−3<2x−1<3，解得：-1<x<2，得A=(−1，因为b=4，所以x2−5x+4≤0，即x-1x-4≤0，解得1≤x≤4，所以A∪B=(−1，（2）解：由题意得x2−(b+1)x+b=0有两个根为1和5，由韦达定理定理可得：1×5=b，所以则5x+1x−5>0的解集为【解析】【分析】本题主要考查含绝对值不等式，一元二次不等式的解法、并集的运算、一元二次方程与一元二次不等式的联系，（1）根据含绝对值不等式的解法得到：−3<2x−1<3，从而结合A集合在将b=4，代入B集合的一元二次不等式解得B集合，在根据并集的运算即可求解；

（2）根据题意可得x2−(b+1)x+b=0有两个根为1和5，由韦达定理定理可得：1×5=b，所以18．【答案】（1）解：不等式f(x)<1等价于log因为y=log2x所以x+1>0x+1<2，解得−1<x<1因此不等式f(x)<1的解集为(−1，（2）解：f(2x)=log2(2x+1)证明：设x1，x2是定义域则0<2x因为y=log2x所以log即f(2x即证函数y=f(2x)在其定义域上是严格增函数.另解f(2x)=log2(2x+1)证明：令h(x)=f(2x)=log设x1，x2是定义域h(x因为0<2x1+1<2x2所以h(x即证函数y=f(2x)在其定义域上是严格增函数.【解析】【分析】本题考查对数函数的单调性、单调性的证明，不等式f(x)<1等价于log2(x+1)<log22，然后利用y=log2x在(0，+∞)上是严格增函数，去掉对应法则f，变为一元一次不等式，再结合定义域即可求解；

（2）设x119．【答案】（1）解：当0<x<28时，S(x)=2500x−(10x当x≥28时，S(x)=2500x−(2504x+3600综上S(x)=（2）解：当0<x<28时，S(x)=−10x当x=25时，S(当x≥28时，S(x)=−4x−当且仅当x=30时，S(综上，当年产量为25百辆时，企业所获利润最大，最大利润为3250万元.【解析】【分析】本题主要考查分段函数的实际应用，（1）利用总利润=单件利润×数量结合题干中的流动成本分段写出S(x)的解析式即可；

（2）当0<x<28时，利用二次函数配成的顶点式求得利润的最值，当x≥28时，利用基本不等式即可求得最值.20．【答案】（1）解：定义域为R，关于原点对称，记h(x)=|g(x)|=|x+b|当b=0，h(−x)=h(x)，故函数当b≠0，h(−b)≠h(b)，（2）解：结合函数图象，只需考虑与y=−x−b(得到2x即x2+bx+2=0只有一个解，由Δ=b结合图像，有−b>22，所以b<−2[另解]若y=f(x)与y=|g(x)|的图像只有三个公共点，即f(x)=|g(x)|有三个根.即2x即方程b=2x−x将函数y=b分别与函数y=2x−xb<−22.（3）解：由在区间(0，2)上有两个不同的零点，得方程(0，2)上有两个不同的实根x1由韦达定理得x1于是b2因为x1∈(0，【解析】【分析】本题主要考查函数奇偶性的判断、函数零点的运用，（1）利用函数的奇偶性定义，并对b的值是否为0进行讨论即可求解；

（2）将a=2代入函数后，将原问题转化为y=2x=x+bx>0由三个根，结合对勾函数的图象性质即可求解；

（3）由在区间(0，2)上有两个不同的零点，得方程x221．【答案】（1）解：对任意的x1､x|g(x显然有|g(所以函数y=g(x)是函数y=f(x)在D上的“L函数”（2）解：因为函数y=g(x)是函数y=f(x)在D上的“L函数”，所以g(x1)−