2024-2025学年高中数学第二章概率2.6正态分布学案含解析北师大版选修2-3

PAGE§6正态分布学问点一连续型随机变量[填一填]在频率分布直方图中，为了了解得更多，图中的区间会分得更细，假如将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线，这条曲线对应的函数称为X的分布密度函数，记为f(x)．正态分布的密度函数为f(x)＝－∞<x<＋∞.它有两个重要的参数：均值μ和方差σ2(σ>0)，通常用X～N(μ，σ2)表示X听从参数为μ和σ2的正态分布．[答一答]1．正态分布的密度函数曲线，当μ肯定时，σ改变与曲线的影响怎样？提示：曲线的形态由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．学问点二正态分布密度函数的性质[填一填](1)函数图像关于直线x＝μ对称；(2)σ(σ>0)的大小确定函数图像的“胖”“瘦”；(3)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.[答一答]2．若X～N(μ，σ2)，则P(μ－a<X<μ＋a)的几何意义是什么？提示：表示X取值的概率等于正态曲线与X＝μ－a，X＝μ＋a以及X轴所围成的图形的面积．1．对正态分布的理解(1)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计．它在正态曲线中的作用是确定了其对称轴的位置，并且正态曲线在x＝μ处达到峰值(即最大值)．(2)参数σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．它在正态曲线中的作用是当μ肯定时，曲线的形态由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．2．如何理解正态曲线？正态曲线指的是一个函数的图像，这个函数就是总体的概率密度函数，其解析式是，对于这个函数解析式，要留意以下几点：(1)函数的自变量是x，定义域是R；(2)解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数，其中π是圆周率，e是自然对数；(3)解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取随意实数，σ>0，在不同的正态分布中，μ，σ的取值是不同的，这是正态分布的两个特征数．(4)解析式中前面有一个系数eq\f(1,σ\r(2π))，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为－eq\f(x－μ2,2σ2)，其中σ这个参数在解析式中的两个位置上出现，留意两者的一样性．3．求一个听从正态分布的随机变量在某个区间的概率应考虑的内容(1)曲线位于x轴上方，且与x轴之间的面积为1；(2)曲线关于直线x＝μ对称；(3)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.题型一正态分布密度曲线及其性质[例1]关于正态曲线性质有下列叙述：(1)曲线关于直线x＝μ对称，这条曲线在x轴的上方；(2)曲线关于直线x＝0对称，这条曲线只有当x∈(－3σ，3σ)时，才在x轴的上方；(3)曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；(4)曲线在x＝μ时位于最高点，由这一点向左、右两边延长时，曲线渐渐降低；(5)曲线的对称轴由μ确定，曲线的形态由σ确定；(6)当μ肯定时，σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．上述说法正确的是()A．只有(1)(4)(5)(6)B．只有(2)(4)(5)C．只有(3)(4)(5)(6)D．只有(1)(5)(6)[思路探究]正态曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ时处于最高点并由该点向左、右两边无限延长时，渐渐降低的曲线，该曲线总是位于x轴的上方，曲线的形态由σ确定，而且当μ肯定时，比较若干不同的σ对应的正态曲线，可以发觉σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．[答案]A右图是一个正态曲线．试依据该图像写出其正态分布的密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．解：从给出的正态分布密度曲线可知，该曲线关于直线x＝20对称，最大值是eq\f(1,2\r(π))，∴μ＝20，eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2\r(π))，得σ＝eq\r(2).∴正态分布的分布密度函数的解析式为均值μ＝20，方差σ2＝(eq\r(2))2＝2.题型二正态变量在三个常用区间上的概率的应用[例2]在某次数学考试中，考生的成果X听从一个正态分布，即X～N(90,100)．(1)试求考试成果X位于区间(70,110)内的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成果在(80,100)之间的考生大约有多少人？[思路探究]eq\x(正态分布)→eq\x(\a\al(确定μ，σ,的值))→eq\x(\a\al(正态分布在三个特,殊区间上的概率))→eq\x(\a\al(求,解))[解]∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝eq\r(100)＝10.(1)P(70<X<110)＝P(90－2×10<X<90＋2×10)＝0.954，即成果X位于区间(70,110)内的概率为0.954.(2)P(80<X<100)＝P(90－10<X<90＋10)＝0.683，∴2000×0.683＝1366(人)．即考试成果在(80,100)之间的考生大约有1366人．规律方法解答此类问题的关键有两个：(1)熟记随机变量的取值位于区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率值；(2)依据已知条件确定问题所在的区间，并结合三个特别区间上的概率值求解．某年级的一次信息技术测验成果近似听从正态分布N(70,102)，假如规定低于60分为不及格，求：(1)成果不及格的学生占多少？(2)成果在80～90之间的学生占多少？解：(1)设学生的得分为随机变量X，X～N(70,102)，如图所示，则μ＝70，σ＝10，P(70－10<X<70＋10)＝0.683，∴不及格的学生的比为eq\f(1,2)×(1－0.683)＝0.1585，即成果不及格的学生占15.85%.(2)成果在80～90之间的学生的比为eq\f(1,2)[P(50<X<90)－P(60<X<80)]＝eq\f(1,2)×(0.954－0.683)＝0.1355，即成果在80～90之间的学生占13.55%.题型三正态分布的实际应用[例3]设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知满分是150分，这个班的学生共54人．求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数．[思路探究]要求及格的人数，需求出P(90≤X≤150)，而求此概率需将问题化为正态变量几种特别值的概率形式，然后利用对称性求解．[解]因为X～N(110,202)，所以μ＝110，σ＝20，P(110－20≤X≤110＋20)＝0.6826.于是X>130的概率为eq\f(1,2)×(1－0.6826)＝0.1587，X≥90的概率为0.6826＋0.1587＝0.8413.故及格的人数为54×0.8413≈45(人)，130分以上的人数为54×0.1587≈9(人)．规律方法本题是利用正态曲线的对称性结合三个特别概率的值求概率，要体会应用方法．一个工厂制造的某机械零件尺寸X听从正态分布N(4，eq\f(1,9))，问在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？解：∵X～N(4，eq\f(1,9))，∴μ＝4，σ＝eq\f(1,3).∴不属于区间(3,5)的概率为P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3<X<5)＝1－P(4－1<X<4＋1)＝1－P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝1－0.997＝0.003，∴1000×0.003＝3(个)，即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个．——误区警示系列——错用正态曲线的对称性[例4]若随机变量X听从正态分布N(0,1)，且P(X≤1)＝0.8413，求P(－1<X≤0)．[解]因为P(X≤1)＝0.8413，所以P(X>1)＝1－0.8413＝0.1587，所以P(X≤－1)＝0.1587，所以P(－1<X≤0)＝0.5－0.1587＝0.3413.[易错警示](1)求解时，错解为P(－1<X≤0)＝1－P(X≤1)＝0.1587.(2)针对μ＝0的正态分布，求某区间上的取值概率时常利用如下两个公式：①P(X<－x0)＝1－P(X≤x0)；②P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3时的三种正态曲线N(0，σ2)的图像，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是(D)A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3解析：当μ＝0，σ＝1时，正态分布密度函数f(x)＝在x＝0时取最大值eq\f(1,\r(2π))，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ肯定时，曲线的形态由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之曲线越“矮胖”，故选D.1．对于正态分布N(0,1)的分布密度函数f(x)＝，下列说法不正确的是(D)A．f(x)为偶函数B．f(x)的最大值是eq\f(1,\r(2π))C．f(x)在x>0时是减函数，在x<0时是增函数D．f(x)是关于x＝1对称的解析：f(x)的对称轴是x＝μ＝0，不是x＝1.2．正态分布密度函数f(x)＝，x∈R，其中μ<0的图像是(A)解析：直线x＝μ是函数图像的对称轴，又图像总在x轴上方，∴选A.3．设随机变量ξ听从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，则c等于(B)A．1 B．2C．3 D．4解析：由正态分布密度曲线的对称性，知2＝eq\f(c＋1＋c－1,2)，∴c＝2.4．已知随机变量ξ听从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ<3)＝1,2.解析：由正态分布图像知，μ＝3为该图像的对称轴，P(ξ<3)＝P(ξ>3)＝eq\f(1,2).5．若随机变量ξ听从正态分布N(μ，σ2)，则下列命题正确的是①③(写出全部正确命题的序号)．①正态分布密度曲线关于直