2024-2025学年高中数学第三章函数的概念与性质第3节幂函数课时同步练习含解析新人教A版必修第一册

第三章函数的概念与性质第3节幂函数基础巩固1．（2024·陕西新城西安中学高二期末（文））以下命题正确的是（）①幂函数的图像都经过②幂函数的图像不行能出现在第四象限③当时，函数的图像是两条射线（不含端点）④是奇函数，且在定义域内为减函数A．①② B．②④ C．②③ D．①③【答案】C【解析】①幂函数不经过原点，所以①不正确；②形如，的函数是幂函数，当时，，所以函数的图象不行能出现在第四象限，所以②正确；③的定义域是，，所以时，的图象是两条射线（不含端点），所以③正确；④是奇函数，函数的定义域是，函数在是减函数，在也是减函数，但在定义域内不是减函数，所以④不正确.2．（2024·浙江越城�绍兴市阳明中学高二期中）函数的定义域为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】自变量满意，故，故函数的定义域为.故选：A.3．（2024·公主岭市第一中学校高一期中（理））已知幂函数的图象不过原点，则的值为（）A．0 B．-1 C．2 D．0或2【答案】A【解析】函数是幂函数，，解得：或，当时，，过原点，不满意条件；当时，，不过原点，满意条件，.4．（2024·广西北流市试验中学高三开学考试（理））若，则下列肯定成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，由，但并不清晰之间大小关系所以大小关系不明确，则A,B不对因为，由，所以有在单调递增，所以，故C正确，D错误5．（2024·天津市第五中学高二期中）已知函数f（x）=x2–m是定义在区间[–3–m，m2–m]上的奇函数，则A．f（m）<f（1） B．f（m）=f（1）C．f（m）>f（1） D．f（m）与f（1）大小不确定【答案】A【解析】因为幂函数f（x）是奇函数，奇函数的定义域必定关于原点对称，所以（–3–m）+（m2–m）=0，解得m=–1或m=3．当m=–1时，函数f（x）=x3，–2≤x≤2，所以f（m）=f（–1）<f（1）；当m=3时，函数f（x）=，在x=0时无意义，不满意题意，舍去,故选A．6．（2024·鞍山市第八中学高一期中）若幂函数没有零点，则的图象关于（）对称A．原点 B．x轴 C．y轴 D．没有【答案】A【解析】∵函数为幂函数，且与轴无交点∴，，解得或且，∴.∴是奇函数，∴关于原点对称.7．（2024·辽宁沈阳�高一期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则的值为（）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】由题意可得：且为偶数，，解得，且为偶数，，∴．8．（2024·开鲁县第一中学高一期末（文））下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】A选项，函数的定义域为，所以函数是非奇非偶函数，解除A；B选项，幂函数在上单调递减，解除B；C选项，函数的定义域为，，所以函数是奇函数，解除C；D选项，函数的定义域为，且，所以函数是偶函数；又由幂函数的性质可得，幂函数在上单调递增，故D正确；9．（2024·浙江高一课时练习）若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，联立得，因为，所以，由它们的图象可知的取值范围是.10．（2024·浙江高一课时练习）5个幂函数：①；②；③；④；⑤.其中定义域为的是（）A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤【答案】C【解析】①的定义域为，②的定义域为R，③的定义域为，④的定义域为R，⑤的定义域为，11．（2024·全国高一课时练习）以下结论正确的是（）A．当时，函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过、两点C．若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内随的增大而增大D．幂函数的图象不行能在第四象限，但可能在其次象限【答案】D【解析】对于A选项，当时，函数的定义域为，所以，函数的图象是两条射线，A选项错误；对于B选项，幂函数不经过原点，B选项错误；对于C选项，幂函数的图象关于原点对称，但函数在定义域内不单调，C选项错误；对于D选项，由于幂函数在第一象限必有图象，若幂函数在第四象限有图象，与函数的定义冲突，所以，幂函数的图象不行能在第四象限，若幂函数为偶函数，则幂函数在其次象限有图象，D选项正确.12．（2024·浙江高一课时练习）已知幂函数（且互质）的图象如图所示，则（）A．，均为奇数，且 B．为偶数，为奇数，且C．为奇数，为偶数，且 D．为奇数，为偶数，且【答案】D【解析】由幂函数的图象关于轴对称，可知该函数为偶函数，所以为偶数，则为奇数，因为图象在第一象限内向上凸起，且在单调递增，所以.13．（2024·浙江高一课时练习）下面4个图象都是幂函数的图象，函数的图象是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由幂函数的性质可知，函数的图象在上单调递减，则AC错误；令，因为，所以函数为偶函数，则D错误；14．（2024·浙江高一课时练习）函数（，）与的图象如图，则下列不等式肯定成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由图可知，单调递增，则；单调递减，则，A：0不肯定成立，如；B：不肯定成立，如；C：不成立，的；D：，成立．15．（2024·浙江高三月考）在同始终角坐标系中，函数与在上的图象可能是（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】为幂函数，为指数函数A.过定点，可知，，的图象符合，故可能.B.过定点，可知，，的图象不符合，故不行能.C.过定点，可知，，的图象不符合，故不行能.D.图象中无幂函数图象，故不行能.16．（2024·湖北武汉�高三其他（理））若0＜a＜b＜1，x＝ab，y＝ba，z＝bb，则x、y、z的大小关系为（A．x＜z＜y B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x【答案】A【解析】因为，故单调递减；故，幂函数单调递增；故，则、、的大小关系为：；17．（多选题）（2024·新泰市其次中学高二月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A．函数为增函数 B．函数为偶函数C．若，则 D．若，则.【答案】ACD【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.所以，明显在定义域上为增函数，所以A正确.的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.当时，，即，所以C正确.当若时，=.=.==.即成立，所以D正确.18．（多选题）（2024·福建湖里�厦门双十中学高一期中）黄同学在探讨幂函数时，发觉有的具有以下三特性质：①奇函数；②值域是；③在上是减函数.则以下幂函数符合这三特性质的有（）A． B． C． D．E.【答案】CD【解析】A.，为偶函数，解除；B.，值域为，解除；C.，为奇函数，值域为，在上是减函数，满意；D.，为奇函数，值域为，在上是减函数，满意；E.，为偶函数，解除；19．（多选题）（2024·全国高一课时练习）已知实数a，b满意等式，则下列五个关系式中可能成立的是（）A． B．C． D．E.【答案】ACE【解析】画出与的图象（如图），设，作直线.从图象知，若或1，则；若，则；若；则.故其中可能成立的是ACE.20．（多选题）（2024·全国高一课时练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（）A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数D．时，幂函数在上是减函数E.m，n是奇数时，幂函数的定义域为【答案】ACE【解析】，当m，n是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数，幂函数/在时无意义，故B中的结论错误当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数，故C中的结论正确；时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；当m，n是奇数时，幂函数在上恒有意义，故E中的结论正确.拓展提升1．（2024·福建泉州�高一期中）已知幂函数的图象经过点．（1）求函数的解析式；（2）设函数，试推断函数在区间上的单调性，并求函数在区间上的值域．【解析】（1）设，则，则，所以．（2）因为，所以函数在区间上为增函数，所以时，有最大值；时，有最小值．所以函数在上的值域为．2．（2024·铜梁一中高三月考（文））已知幂函数,且在上单调递增.(1)求实数的值,并写出相应的函数的解析式;(2)若在区间上不单调,求实数的取值范围;(3)试推断是否存在正数,使函数在区间上的值域为若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意知,解得:.2分又∴或,3分分别代入原函数,得.4分(2)由已知得.5分要使函数不单调，则，则.8分(3)由已知,.9分法一:假设存在这样的正数符合题意,则函数的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为,因而,函数在上的最小值只能在或处取得,又,从而必有,解得.此时,,其对称轴,∴在上的最大值为,符合题意.∴存在,使函数在区间上的值域为14分法二:假设存在这样的正数符合题意,由(1)知,则函数的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为,3．（2024·浙江高一课时练习）已知在区间上，函数与都是减函数，试求的取值范围.【解析】解：因为幂函数时，函数在上单调递减，二次函数开口向下，在单调递减，所以有，解得.故实数的取值范围是：4．（2024·郁南县连滩中学高一期中）已知函数，且.（1）求的值；（2）证明的奇偶性；（3）推断在上的单调性，并赐予证明.【解析】（1），解得；（2）因为，定义域为，关于原点对称，又，因此，函数为奇函数；（3）设，则，因为，所以，所以，因此，函数在上为单调增函数.5．（2024·浙江高一课时练习）已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数.（1）求p的值，并写出相应的函数的解析式.（2）对于（1）中求得的函数，设函