2024-2025学年高中数学第一章集合1.1.1集合的概念学案新人教B版必修1

PAGEPAGE11．1．1集合的概念1．了解集合的概念．2．理解元素与集合的关系．3．驾驭集合中元素的特性的应用．1．集合的概念(1)集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)．通常用英语大写字母A，B，C，…表示．(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母a，b，c，…表示．2．元素与集合的关系学问点关系概念记法读法元素与集合的关系属于假如a是集合A的元素，就说a属于Aa∈A“a属于A”不属于假如a不是集合A的元素，就说a不属于Aa∉A“a不属于A”3．集合元素的三个特性元素意义确定性元素与集合的关系是确定的，即给定元素a和集合A，a∈A与a∉A必居其一互异性集合中的元素互不相同，即a∈A且b∈A时，必有a≠b无序性集合中的元素可以随意排列依次4．集合的分类集合eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(空集：不含任何元素，记作∅,非空集合：\b\lc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(按含有元素的,个数分为)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(有限集：含有有限个元素,无限集：含有无限个元素))))))5．常用数集的意义及表示意义名称记法非负整数全体构成的集合自然数集N在自然数集内解除0的集合正整数集N＋或N*整数全体构成的集合整数集Z有理数全体构成的集合有理数集Q实数全体构成的集合实数集R1．下列各组对象不能构成集合的是()A．闻名的中国数学家B．全部的负数C．清华高校招收的2025届本科生D．满意3x－2＞x＋3的全体实数答案：A2．设M是全部偶数组成的集合，下列选项正确的是()A．3∈M B．1∈MC．2∈M D．2∉M答案：C3．方程x2－2x＋1＝0的解集中有________个元素．答案：14．指出下列集合是有限集还是无限集．(1)满意2011≤x≤2013的整数构成的集合；(2)平面α内全部直线构成的集合．答案：(1)有限集(2)无限集集合概念的理解推断下列各组对象能否构成一个集合：(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点．【解】(1)任给一个实数x，可以明确地推断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(2)类似于(1)，也能构成集合．(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．推断一组对象构成集合的依据推断一组对象能否构成集合的关键是看是否有明确的推断标准，给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的，eq\a\vs4\al()假如是“确定无疑”的，就可构成集合；假如是“模棱两可”的，就不能构成集合．下列各组对象能构成集合的有________(填序号)．①中国农业银行的全部员工；②我国的大河流；③不大于3的全部自然数；④在平面直角坐标系中，和原点距离等于1的点；⑤将来世界的高科技产品；⑥全部的好心人．解析：①能，①中的对象是确定的；②不能，“大”无明确标准；③能，不大于3的全部自然数有0、1、2、3，其对象是确定的；④能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地推断是不是“和原点的距离等于1”，故能组成一个集合；⑤不能，“高科技”的标准不能确定；⑥不能，没有一个确定的标准来推断某个人是否是“好心人”．答案：①③④元素与集合的关系(1)下列关系中，正确的有()①eq\f(1,2)∈R；②eq\r(2)∉Q；③|－3|∈N；④|－eq\r(3)|∈Q．A．1个 B．2个C．3个 D．4个(2)满意“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是()A．0 B．1C．2 D．3扫一扫进入91导学网(www．91daoxue．com)元素与集合的关系【解析】(1)eq\f(1,2)是实数，eq\r(2)是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－eq\r(3)|＝eq\r(3)是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)因为a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，则4－a＝4，此时A满意要求；若a＝1，则4－a＝3，此时A满意要求；若a＝2，则4－a＝2，此时A含1个元素不满意要求．故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C．【答案】(1)C(2)Ceq\a\vs4\al()推断元素和集合关系的两种方法(1)干脆法：假如集合中的元素是干脆给出的，只要推断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便干脆表示的集合，推断元素与集合的关系时，只要推断该元素是否满意集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满意哪些条件．已知集合A中元素满意2x＋a>0，a∈R，若1∉A，2∈A，则()A．a>－4 B．a≤－2C．－4＜a＜－2 D．－4＜a≤－2解析：选D．因为1∉A，2∈A，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×1＋a≤0，,2×2＋a>0))即－4<a≤－2．集合中元素的特性已知集合P中有三个元素a－3，2a－1，a2＋4，且－3∈P，求实数a的值．【解】因为－3∈P，a2＋4≥4，所以a－3＝－3或2a－1＝－3，解得a＝0或a＝－1．经检验a＝0时，P中三个元素为－3，－1，4，满意集合中元素的互异性；a＝－1时，P中三个元素为－4，－3，5，也满意集合中元素的互异性．综上可知，a的值为0或－1．eq\a\vs4\al()由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．解：若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1．当a＝1时，集合A有重复元素，不符合互异性，所以a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合互异性．所以a＝－1．1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三大特性．利用集合中元素的三个特性，一方面可以推断一些对象是否构成集合，另一方面可以解决与集合有关的问题．2．(1)符号“∈”“∉”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系；(2)a∈A与a∉A取决于a是不是集合A中的元素．依据集合中元素的确定性，对任何a与A，在a∈A与a∉A这两种状况中必有一种且只有一种成立．初学者由于对集合中元素的特性把握不准，而简单忽视集合中元素的互异性致错．1．下列各组对象，能构成集合的是()A．平面直角坐标系内x轴上方的y轴旁边的点B．平面内两边之和小于第三边的三角形C．新华书店中有意义的小说D．π(π＝3．141…)的近似值的全体解析：选B．选项A，C，D中的对象不具有确定性，故不能构成集合；而选项B为∅，故能构成集合．2．所给下列关系正确的个数是()①－eq\f(1,2)∈R；②eq\r(2)∉∅；③0∈N＋；④－3∉N．A．1 B．2C．3 D．4解析：选C．①②④正确，③错误，故选C．3．由“book中的字母”构成的集合中元素个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C．“book中的字母”构成的集合中有b，o，k共3个元素．4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________．解析：由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3，阅历证，当m＝0或m＝2时，不满意集合中元素的互异性，当m＝3时，满意题意，故m＝3．答案：3[A基础达标]1．下列各组对象中能构成集合的是()A．2024年中心电视台春节联欢晚会中好看的节目B．某学校高一年级高个子的学生C．eq\r(2)的近似值D．2024年全国经济百强县解析：选D．由于集合中的元素是确定的，所以D中对象可构成集合．2．给出下列关系：(1)eq\f(1,3)∈R；(2)eq\r(5)∈Q；(3)－3∉Z；(4)－eq\r(3)∉N，其中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B．eq\f(1,3)是实数，(1)正确；eq\r(5)是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－eq\r(3)是无理数，(4)正确．故选B．3．若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是()A．矩形 B．平行四边形C．菱形 D．梯形解析：选D．因为a，b，c，d为集合A中的四个元素，故a，b，c，d均不相同，故选D．4．已知A中元素满意x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是()A．－1∉A B．－11∈AC．3k2－1∈A D．－34∉A解析：选C．因为－1＝3×0－1∈A，故A错；－11＝3×(－4)＋1＝3×(－3)－2∉A，故B错；－34＝3×(－11)－1∈A，故D错；因为k∈Z，所以k2∈Z，所以3k2－1∈A，故C正确．5．由实数x，－x，|x|，eq\r(x2)，－eq\r(3,x3)所组成的集合，最多含有()A．2个元素 B．3个元素C．4个元素 D．5个元素解析：选A．eq\r(x2)＝|x|，－eq\r(3,x3)＝－x．当x＝0时，它们均为0；当x>0时，它们分别为x，－x，x，x，－x；当x<0时，它们分别为x，－x，－x，－x，－x．通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故集合中元素最多含有2个．6．下列说法中①集合N与集合N＋是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________．解析：因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A含有三个元素3，4，6，且当a∈A，有8－a∈A，那么a＝________．解析：若a＝3，则8－a＝5∉A，故a≠3；若a＝4，则8－4＝4∈A，故a＝4合适；若a＝6，则8－6＝2∉A，故a≠6．答案：48．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a>0且b>0时，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝2；当a·b<0时，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝0；当a<0且b<0时，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝－2．所以集合中的元素为2，0，－2．即元素的个数为3．答案：39．由三个数a，eq\f(b,a)，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合是同一个集合，求a2017＋b2017的值．解：由a，eq\f(b,a)，1组成一个集合，可知a≠0，且a≠1．由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,a＝a＋b，,\f(b,a)＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝a，,a＋b＝1，,\f(b,a)＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0))(舍去)，所以a2017＋b2017＝(－1)2017＋0＝－1．10．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R．(1)若－3∈A，试求实数a的值；(2)若a∈A，试求实数a的值．解：(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1．若－3＝a－3，则a＝0．此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1．此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满意题意的实数a的值为0或－1．(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1．当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意．综上知a＝1．[B实力提升]11．集合A的元素y满意y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满意y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是()A．2∈A，且2∈BB．(1，2)∈A，且(1，2)∈BC．2∈A，且(3，10)∈BD．(3，10)∈A，且2∈B解析：选C．集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满意y＝x2＋1，阅历证，(3，10)∈B，故选C．12．已知集合A中的元素满意ax2－bx＋1＝0，又集合A中只有唯一的一个元素1，则实数a＋b的值为________．解析：当a≠0时，由题意可知方程ax2－bx＋1＝0有两个相等的实数根，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋1＝－\f(－b,