机械能守恒与能量守恒定律经典习题22

专题二机械能守恒与能量守恒

［高考要求］

内容要求

重力势能、做功与重力势能改变的关系II

弹性势能I

机械能守恒定律II

能量守恒定律II

本专题涉及的考点有：重力势能、弹性势能、机械能守恒定律、能量转化及守恒定律都是历年高考

的必考内容，考查的知识点覆盖面全，频率高，题型全。机械能守恒定律、能的转化和守恒定律是力学

中的重点和难点，用能量观点解题是解决动力学问题的三大途径之一。

《考纲》对本局部考点要求为II类有三个。考题的内容经常与牛顿运动定律、曲线运动、动量守恒

定律、电磁学等方面知识综合，物理过程复杂，综合分析的能力要求较高，这局部知识能密切联系生活

实际、联系现代科学技术，因此，每年高考的压轴题，高难度的综合题经常涉及本专题知识。它的特点：

•般过程复杂、难度大、能力要求高。还常考查考生将物理问题经过分析•、推理转化为数学M题，然后

运用数学知识解决物理问题的能力。所以复习时要重视对根本概念、规律的理解掌握，加强建立物理模

型、运用数学知识解决物理问题的能力。

由于新课程标准更注重联系生活、生产实际，更重视能源、环保、节能等问题，因此，能量的转化

及其守恒很有可能在新课程的第一年高考中有所表达，师生们应引起足够的重视。

［知识体系］

—天丁-----I-J弹性势能：

动能定理：吗。

1,12MM心」女尸

W产/加工一耳相彳「个过|2收功方面只涉及跟重力势能有关的重力做功和跟弹性势能

相关的弹力做功。在机械能方面只涉及初状态和木状态的动能和势能，而不涉及运动的笠个过程的详细

俏况;因此,用来分析某些过程的状态量十分简便。

机旅能中的势能是指重力势能和弹性势能，…不包括电势能和分子势能,这•点要注意。

思维误区警示：

对于一个系统，系统不受外力或合外力为零，并不能保证重力以外其他力不做功，所以系统外力之

和为零，机械能不一定守恒，而此时系统的动量却守恒（因为动审守恒的条件是系统的合外力为零）。

同样，只有重力做功，并不意味系统不受外力或合外力为零。

2、能量守恒定律

(1)内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从

一个物体转移互另一个物体，在转化和转移的过程中其总量保持不变。

(2)对能量守恒定律的理解：

①某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能的增加，且减少量和增加量一定相等。

②某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。

(3)能量转化和转移具有方向性

第二类永动机不可制成，它不违反能量守恒定律，只是违背了能量转化和转移的不可逆性。

3、各定理、定律比照

适用条件表达式研究对象备注

*动量守系统所受的合P/0=Pm一定是两个物体注意动量守恒和机

恒定律外力为零或两个以上物体械能守恒的条件的

组成的系统区别

机械能守只有重力或弹EI=E2一个或多个物体E为机械能

恒定律簧的弹力做功△EP«=AEkjfl组成的系统

时

能量守恒均适用E.5l=E^2一个或多个物体E为总能量；自然界

定律△E«-△E增组成的系统均遵从能量守恒。

4、求各变化量(AEk、AEP.AE机)的常用方法:

常用方法

AEk=E2-Ei

求^&KK

△Ek=We通过求合外力做功求动能的变化量(更常用)

△Ep=Ep2-Ep)

求小EPAEP=WG=mgAh通过求重力做功求AEP；当WG做正功时，EP减小；当WG做

负功时，EP增加(常用〕

△Em=E2-Ei

△E机二WG电通过求除重力以外的其它力做功求机械能的变化量［更常用)

5、重力做功的特点：

WG=EPI-Ep2=mgAh

重力做功与路径无关

重力做正功，重力势能减少，重做负功，重力势能增加

注意：AEP和重力做功与参考平面的选择无关(但重力势能与参考平面的选择有关)

［专题探究］

(一)利用机械能守恒定律求解抛体运动问题

案例1、从离水平地面高为H的4点以速度w斜向上抛出一个质量为的石块，物与水平方向的

夹角为0,不计空气阻力，求：

(I)石块所能到达的最大高度

(2)石块落地时的速度

命题解读：此题研究抛体运动中的机械能守恒定律。斜抛运动的水平分

运动是匀速直线运动，因此石块在最高点的速度是抛出初速度的水平分量。

石块只受重力的作用，机械能守恒。

分析与解：石块抛出后在空中运动过程中，只受重力作用，机械能守

图1

恒，作出石块的运动示意图

（1）设石块在运动的最高点B处与抛出点4的竖宜高度差为爪水平速度为\小

那么V,B=Vo,r=V0COS^

石块从A到B,根据机械能守恒定律△&xAEp增

得：nigh=­/??vo2--mvg1

联立得：〃;匕：一（%cos。）'二%sin®

2g2g

那么石块所能到达的（距地面）最大高度为：

2g

（2）取地面为参考平面，对石块从抛出点A至落地点C的整个运动过程应用机械能守恒定律得

1，12工4

—mv（r=­

22

解得石块落地时的速度大小为：yj%2+2g”

变式训练：

某同学利用如下图的实验装置验证机械能守恒定律。弧形轨道末端水平，离地面的高度为H。将钢

球从轨道的不同高度h处静止释放，钢球的落点距轨道末端的水平距离为s.

（1）假设轨道完全光滑，S?与h的理论关系应满足s2=（用H、h表示）。

（2）该同学经实验测量得到一组数据，如下表所示:

请在坐标纸上作出St-h关系图.。

13）比照实验结果与理论计算得到的sJh关系图线〔图中已画出），自同一高度静止释放的钢球，水

平抛出的速度（填“小于”或“大于”）理论值.

⑷从s2-h关系图线中分析得出钢球水平抛出的速率差十分显著，你认为造成上述偏差的可能原因是.

动能，或者是弧形轨道的摩擦力太大。

解析：（1）由钢球在弧形槽上运动，机械能守恒：

离开弧形槽后，钢球做平抛运动：

.工

水平方向：v=-,

t

竖直方向：H=gg/

联立解得：s^4Hh。「一$67.

（2）由实验数据作图，得到一条通过原点的斜率比理MXW'm论图线小

的直线.

（3）实验图和理论图比拟可以发现，小球从相同高度下落，对应的S实VS理，又S8V,说明自同一

高度静止释放的小球，水平抛出的速率小于理论值。

（4）实验中速率差十清楚显，可能是一局部重力势能转变成钢球的转动动能，或者是瓠形轨道的

摩擦力太大的原因。

（二）利用机械能守恒定律解决弹力做功与弹性势能问题

案例2、如下图，一个质量为m的物体自高h处自由下落，落在一个劲度系数

为女的轻质弹簧上。求：当物体速度到达最大值I，时，弹簧对物体做的功为多少？

命题解读：弹簧的弹力是变力，弹力做功是变力做功，此题由于形变量不清楚，不

能运用F—/图象求弹力做的功；只能根据机械能守恒定律先求解出弹性势能的变化,

再运用功能关系求解弹力做的功。同时要注意物体在平衡位置时动能最大，运动的速

图

联立解得已呼叫退

（三）利用机械能守恒定律求多个物体组成系统的运动速度问题

案例1、如下图，质量均为根的小球A、B、C,用两条长为/的细线相连，置于高为人的光滑水平

桌面上，l>h,A4球、B球相继下落着地后均不再反跳，那么C球离开©B月।桌边时

的速度大小是多少？帔7与477%才］

命题解读：此题考查系统机械能守恒定律。对每个小球而言，由于4无绳子的

拉力做功，每个小球的机械能不守恒。而且只能分段运用机械能守恒定图2句律求解。

运用动能定理也能求解，但拉力要做功解题就比拟麻烦。1

分析与解：当A小球刚要落地时，三小球速度相等设为的，三个小球机械能守恒。

3mgh=2mgh+；解得：V)={

当B球刚要落地时，B、C机械能守恒。B、C有共同速度，设也

图

11

2mgh+—2mv~9=mgh+—2m9解得：岭二

2〜

可见:。球离开桌边时的速度大小是匕=

变式训练:

变式1、半径为R的光滑圆柱体固定在地面上，两质量分别是M和m的小球用细线连接，正好处

于水平直径的两端，从此位置释放小球，当m运动到最高点时，对球的压力恰好为零，求此时M的速

度和两小球的质量之比。

解析：对系统运用机械能守恒定律

M在最高点时，"火=

联立解得：—=—

m3

变式2、如下图，一辆小车静止在光滑的水平导轨上，一个小球用细绳悬挂在

车上由图中位置释放（无初速度），那么小球在下摆过程中（

A.绳对小车的拉力不做功B.绳对小球的拉力做正功

C.小球的合外力不做功D.绳对小球的拉力做负功

解析：由于绳子的拉力对物体做功，每个物体的机械能不守恒。对系统没有机

械能的能量损失，因此系统的机械能是守恒的。小球由静止开始做变速曲线运动，

动能增加，合力做正功，C错误。小车在拉力作用下运动，绳子对小车的拉力做正功，绳子对小球的拉

力做负功，D正确，A、B错误.

正确答案：D

（四）利用机械能守恒定律求解质量分布均匀的绳子、链子问题

案例3如图3所示，在光滑水平桌面上，用手拉住长为L质量-fl.为M的

铁链，使其1/3垂在桌边。松手后，铁链从桌边滑下，求铁链末端II1经过桌

边时运动速度是过少？

命题解读：绳子、铁链子运动的问题，对于每一局部来讲都是变力，运

用动能定理难以解决过程中变力做的功。但运用机械能守恒定律只需要知

道绳子的两个运动的状态,不必考虑运动过程，因此解题就简单了。此类问题的重力势能要取每局部的

中心，要选好参考平面，尽量使解题简捷。

分析与解：松手后，铁链在运动过程中，受重力和桌面的支持力，支持力的方向与运动方向垂直，

对铁链不做功，即这•过程中，只是垂在桌外局部的重力做功。因此，从松手到铁链离开桌边，铁链的

机械能守恒。以桌面为重力势能参考面

松手时，桌外局部的质量为其重心在桌面下处

36

此时铁链的重力势能为：一,mg，L=—mgL

3618

铁链末端刚离桌面时，整条铁链都在空中，其重心在桌面下,L处

2

此时铁链的重力势能为：-LngL

2

设此时铁链的速度为由机械能守恒定律有：

解得一零

3

铁链的运动速度是v=22gL

故铁链末端经过臬边时,

3

变式训练：

变式1、如下图，均匀的铁链子搭在小定滑轮上，左端占总长的2/5,现将铁^^1链由静止释

放，当多少？小

解析：选取滑轮中心水平线为参考平面，设绳子总长为/

根据系统机械能守恒定律：

解得铁链子刚刚离开滑轮时，链子的运动速度是：

变式2、如图16所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L,圆形轨道半径为

R，（R远大十一节车厢的高度h和长度/,但L>2兀RJ.列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车

沿着圆周运动而不能脱轨。试问：列车在水平轨道上应

具有多大初速度小，才能使列车通过圆形轨道？

解析：列车开上圆轨道时速度开始减慢，当整个圆

轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度到达最小值

也此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨图16道，

然后列车开始加速。由于轨道光滑，列车机械能守恒，设单位长列车的质量为3那么有:

要使列车能通过圆形凯道，那么必有00

解得v0>

（五）利用机械能守恒定律求解连通器水流速问题

案例5、粗细均匀的U型管两端开口，左端用活塞压着液体，此时两液面的高

度差为h,液体的总长度为L,U型管的截面积为s,液体的密度为P。现在突然

抽去活塞，（I）不计阻力影响，当两端液面相平时，液体运动的速度是多少？（2）假

设最终液体静止不动，那么系统产生的内能是多少？

命题解读：流体的运动也是“变力”作用的运动，但在一定的位置流体的运动状态是一定的。研究

流体的运动速度，能量问题，最好运用机械能守恒定律和能量转化及守恒定律。研究的方法是把变质量

看作定质量,运用“补偿法”、“等效法”、“整体法”、“对称法”去解决问题。

分析与解：［1)假设不计阻力。如下图，当两端液面相平时，可以等效地认为

是把高度为人的液体对称地补偿到另一端，看成是定质量问题。系统重力

势能的

2

减少量等于动能的增加量。

解得两端液面相平时，液体运动的速度是u=

(2)根据能量转化及守恒定律，系统重力势能的减少量等于内能的增加量

所以增加的内能是：kE=pgsgg=3pgsh2

变式训练：

如下图，容器A、B各有一个可以自由移动的活塞，活塞截面积分别为SA、SB,

活塞下面是水，上面是空气,大气压恒为Po,A、B底部与带有阀门K的管道相连,

整个装置与外界绝热原先,A中水面比B中高h,翻开阀门，使A中水逐渐流向B

中，最后达平衡，在这个过程中，大气压对水做功为_______,水的内能增加为

(设水的密度为p)

解析：(I)设平衡时，左侧水面下降高度he右侧水面下降高度临，

两侧体积相等,即：hASA=hRSB

左侧大气压对水做正功：卬A=P{}hAsA

右侧大气压对水做负功：卬8=一4〃3%

大气压对水做的总功为W=WA+WH=O

(2)由能量转化及守恒定律得：

|QQ

2

水的内能增加庄=上/9gh4B

2SA+SB

(六)利用机械能守恒定律解决圆周运动的问题

当系统内的物体都在做圆周运动，假设机械能守恒，那么可利用机械能守恒定律列一个方程，但未

知数有多个，因此必须利用圆周运动的知识补充方程，才能解答相关问题。

案例6、如下图，半径为r,质量不计的圆盘与地面垂直，圆心处有一个垂直

盘面的光滑水平固定轴O,在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A,在O点的

正下方离O点172处固定一个质量也为m的小球B。放开盘让其自由转动，问：

(1)A球转到最低点时的线速度是多少？

(2)在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？

命题解读：这是一道机械能与圆周运动综合的问题，注意到两球任意时刻的

角速度相等。过程中系统的始态、末态的重力势能，因参考面的选取会有所不

同，但重力势能的变化是绝对的，不会因参考面的选取而异。机械能守恒的表达

方式可记为：EH+Epi=Ek2+EP2,也可写作：应增=。

分析与解：该系统在自由转动过程中，只有重力做

功，机械能守恒。设A球转到最低点时的线速度为VA，B

球的速度为vB.那么据机械能守恒定律可得:

据圆周运动的知识可知：l，A=2l，B

由上述二式可求得VA=J4叶/5/

设在转动过程中半径0A向左偏离竖直方向的最大角度是0[如图/17所示)，那

么据机械能守恒定律可得：•

3

解得。=sin-*7=37°

图17

变式训练：

小球A用不可伸长的细绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B,OB=d,初始时小球A与

0同水平面无初速度释放，绳长为L,为使小球能绕B点做完整

的圆周运动，如图15所示。试求d的取值范围。

解析：为使小球能绕B点做完整的圆周运动，那么

D对绳的拉力已应该大于或等于零，即有：

根据机械能守恒定律可得gm%；=〃zg[d—(L—d)]

由以上两式可求得：-L<d<L

5

(七)用能量守恒。二47s相应解相对运动问题

案例7、如下图，小车的质量为例，后端放一质量为加的铁块，铁块与小车之间的动摩擦系数为〃，

它们一起以速度v沿光滑地面向右运动，小车与右侧的墙壁发生碰撞且无能量损失，设小车足够长，那

么小车被弹回向左运动多远与铁块停止相对滑动？铁块在小车上相

对于小车滑动多远的距离？

命题解读：此题考查动能定理、能量守恒定律、动量守恒定律。两

个物体相互摩擦而产生的热量Q(或说系统内能的增加量)等于物体

之间滑动摩擦力Ff与这两个物体间相对滑动的路程的乘积,即。=尸滑5相对。利用这结论可以简便地解

答高考试题中的“摩擦生热''问题。

分析与解：小车反弹后与物体组成一个系统满足动量守恒，规定小车反弹后的方向作向左为正方向,

设共同速度为嗫，那么：Mv-mv-(M4-/n)vr

.nZF,M-tn

解得：vv=------v

M+m

以车为对象，摩擦力始终做负功，设小车对地的位移为So

那么：一?=-Mv^--Mv2

即：S产2M2d,

4g(M+㈤〜

系统损耗机械能为：△E=Q=»相

s-2Mp2

川JA（M十m）g

变式训练:

变式1、如图4-4所示，质量为M,长为L的木板(端点为A、

B,中点为0)在光滑水平面上以w的水平速度向右运动，把质量

为〃?、长度可忽略的小木块置于8端(对地初速度为0),它与木

板间的动摩擦因数为〃，问如在什么范围内才能使小木块停在O、A

之间？

解析：木块与木板相互作用过程中合外力为零，动量守恒。设木块、木板相对静止时速度为v,

那么(M+m)v=MVQ

能量守恒定律得：=-Mv2+-mv2+Q

222'

滑动摩擦力做功转化为内能：Q=

相对位移的范围是：-<s<L

2

解得w的范围应是：

2u(M+m)^L

MM

变式2、在光滑水平面上停放着一辆质鼠为M的小车，质量为m的物体与劲度系数为k的轻弹簧

牢固连接，弹簧的另一端与小车左端连接。将弹簧压缩xo后用细线把物体与小车拴住，使物体静止于车

上A点，如图4所示。物体m与小车间的动摩擦因素为中O为弹簧原长时物体右端所在位置。然后将

细线烧断，物体和小车都要开始运动。求：

(1)当物体在车上运动到距O点多远处，小车获得的速度最大？

(2)假设小车的最大速度是VI,那么此过程中弹簧释放的弹性势能是多少？

解析：(1)物块m和小车M组成的系统动量守恒。当物块速度最大时，小车

的速度也最大。对物块m,速度最大时，加速度为零。

那么有kx=pmg,所以x=pmg/k0

(2J由系统动量守恒,得Mvi-mv2=0,V2=Mvi/m

由能量守恒定律可知，，弹簧释放的弹性势能转化为动能和内能，有

△Ep=EkM+Ekm+Q

而Q=fs«i»t=pmg(xo-|4mg/k),

△Ep=Mvi2(M+m)/2m+|img(xo-|img/k)

(八)用能量守恒解决传送带的运动问题衿

案例8、如图7所示，传送带与地面的倾角0=37。，从A片何"—口।端到B端的

长度为16m,传送带以vo=10m/s的速度沿逆时针方向转动。，在传送带上

端A处无初速地放置一个质量为的物体，它与传送带之间/////干的动摩擦因

数为，求(1)物体从A端运动到B端所需的时间是多少？图4(2)这个过

程中系统产生的内能。，cos37o=S8)

命题解读：该题目的关键就是要分析好各阶段物体所受摩擦力的大小和方

向，假设u>0.75,第二阶段物体将和传送带相对静止一起向下匀速与运动；假设

L<5m,物体将一直加速运动。因此，在解答此类题目的过程中，对这些可能出

现两种结果的特殊过程都要进行判断。一卤7一

分析与解：物体放在传送带上后，开始阶段，传送带的速度大于物体的速

度，传送带施加给物体一沿斜面向下的滑动摩擦力，物体由静止开始加速下滑，受力分析如图(a)所

示；当物体加速至与传送带速度相等时，由于R<tan0,物体在重力作用下将继续加速，此后物体的速

度大于传送带的速度，传送带给物体沿传送带向上的滑动摩擦力，但合力沿传送带向下，物体继续加速

下滑，受力分析如图（b）所示。综上可知,滑动摩擦力的方向在获得共同速度的瞬间发生了“突变”。

开始阶段由牛顿第二定律

mgsinOH-pmgcos9=mai

解得ai=gsinO+pgcosO=1OnVs2

物体加速至与传送带速度相等时需要的时间ti=v/a)

1s

发生的位移为s=—aitr=5m<16m

2

可知物体加速到lOm/s时仍未到达B点、图8

第二阶段的受力分析如图⑹所示，应用牛顿第二定律

有mgsinO—pmgcosO=ma2

所以a2=2m/s2

设第二阶段物体滑动到B端的时间为t2

那么LAB—S=vt2+—a2t22

2

解得t2=lst2，=-llS（舍去）

故物体经历的总时间t=ti4-t2=2s

(2)Wi=fsi=^mgcos〃•si=l()J

W2=-fs2=-4mgcos°•S2=-22J

所以，W=WI+W2=10-22=-I2J

故知系统发热产生的内能是12J

变式训练：

如图12所示，绷紧的传送带与水平面的夹角。=30。，皮带在电动机的带动下，始终保持vo=2m/s的

速率运行。现把一质量m=10kg的工件（可看为质点）轻轻放在皮带的底端，经时间t=L9s,工件被传

送到h=1.5m的高处，取g=10m/s2。求（1）工件与皮带间的动摩擦因数。（2）电动机由于传送工件多消

耗的电能.

解析：由题意可知皮带长s=h/sin3O°=3m.

工件速度到达vo前，做匀加速运动的位移为5,

2

到达V0后做匀速运动的位移S-S|=VO（t-ti）

加速运动的加速度为a=vo/ti2

工件受的支持力FN=mgcosO,

对工件据牛顿第：定律得：pmgcosO-mgsinO=ma

解出动摩擦因数为〃二彳

在时间ti内，皮带运动位移s2=v（>ti

工件相对皮带的位移△s=s2-si=0.8m

在时间t,内，摩擦生热Q=gmgcos0As=60J

2

工件获得的动能Ek=mvo/2=2OJ

工件增加的势能Ep=mgh=l50J

电动机多消耗的电能W=Q+Ek+Ep=230J

（九）用能量守恒解决热力学问题

案例9、如图6所示的A、B是两个管状容器，除了管较粗的局部上下

不同之外,其他一切全同。将此两容器抽成直空，再同时分别插入两个水银池中，当水银柱停止运动时,

问二管中水银的温度是否相同？为什么？设水银与外界没有热交换。

命题解读：此题主要研究液体内部能量的转化与守恒问题。液体中的能量问题除了重力势能，还有内

能，要结合功能关系，搞清能量的守恒关系。

分析与解：不同。A管中水银的温度略高于B管中水银的温度。两管插入水银池时，大气压强均为

P。，进入管中的水银的体积均为V,所以大气压力对两池中水银所做的功相同，但两装置中水银重力势

能的增量不同，所以两者内能改变量也不同。由图可知，A管中水银的重力势能较小，所以A管中水银

的内能增量较多，其温度应略高。

变式训练：

有人设计了这样一台“永动机”；如图，距地面一定高度架设一个水槽，水从槽底的管中流出，冲

击一个水轮机，水轮机的轴上安装一个抽水机和一个砂轮.他指望抽水机把地面水槽里的水抽上去，这

样循环不己，机器不停地转动，就可以永久地用砂轮磨制工件做功了。

请你分析一下，高处水槽中水的重力势能共转变成哪几种形式的能，说明这个机器是否能够永远运

动下去。

解析：高处水槽中水的重力势能转变成了水的动能、砂轮磨制工件产生的内能，水轮机与轴摩擦产

生的内能。

这个机器不可能够永远运动下去。一方面摩擦产生内能，损失机械能；另一方面抽水机向上抽水，

消耗电能。

（十）用能量守恒解决电学问题

案例10、有一台内阻和损耗均不计的直流发电机，其定子的

磁场恒定。先把它的电枢（转子）线圈与一个电阻R连接,再在电

枢的转子轴上缠绕上足够长的轻绳绳端悬挂一质量为m的重物，如

图9所示，重物最后以速率力匀速下降。现将一电动势为E,内阻

不计的电源，如图10所示，接入电路中，使发电机作为电动机用。

悬挂重物不变，最后重物匀速上升。求重物上升的速率V2。

命题解读：此题涉及发电机与电动机的能量转化及守恒问题。

图9图10

一个是机械能转化为电能：另一个电源工作将其他形式的能转化

电能输入电路，电流通过电机将电能转化为机械能输出。搞清能最守恒关系就能顺利解题。

分析与解：在图9的物理过程中，重物以速率VI匀速下降，带动发电机线圈匀速转动，切割磁感线

产生感应电动势，将机械能转化为电能，在电路中消耗。由能量守恒定律可得：

mgV|t=Ii2Rt

在图10的物理过程中，电源工作将其他形式的能转化电能输入电路，电流通过电机将电能转化为

机械能输出。

由能量守恒定律可得：Eht=l22Rt+mgv2t

在两次工作过程中电机的线圈都匀速转动。作用在转轴上力矩都平衡，而两次重力矩相等，从而两

次作用在线圈上的磁力矩相等，所以有：I尸L

联立解得：V2=E

变式训练：

某一用直流电动机提升重物的装置，如图11所示，重物的质

量m=50kg,电源电动势E=IIOV,不计电源电阻及各处摩擦，当电

」中的电流强

动机以v=0.90m/s的恒定速度向上提升重物时，电路

度I=5A,由此可知，电动机线圈的电阻R是多少?

（g=1Om/s2）oI

解析：在图11的物理过程中，电源工作将其他形।图11

式的能转化

电能输入电路,电流通过电机将电能转化为机械能输出

由能量守恒定律“J得：

EIt=I?Rt+mgvt

解得电动机线圈的电阻R=4Q

(十一)用能量守恒解决电磁感应中的能量问题

案例11、(FlOm/s上滑，直至上升到最高点的过程中，通过上端------少-的电量

Aq=0.1C(g=10m/s2,sin370=0.6),求上端电阻R上产生的焦耳热热Q。

命题解读：此题涉及到外尢、重力、安培力、滑动摩擦力做功及R动能、

势能、内能的关系，重点考查电磁感应的受力分析与能量关系。图16(a)

分析与解；金属棒以初速度vo向上滑行的过程中克服重力、安培力和摩

擦力做功，动能分别转化为重力势能、电能和内能。从电路构成可知导轨上、下

端电阻发出的热量相等，由焦耳定律可求出金属棒发热是R发热的四倍。由电

磁感应定律可得4q=A(p/R,可求出金属棒扫过的面积和沿导轨上滑的距离。由

电流定义式和并联电路规律，比合电路欧姆定律和电磁感应定律，可得

2Aq=lAt=EAt/R=A(p/R§

所以△(p=2AqR.6b

2

图16(b)

金属棒沿导轨上滑的距离L)为S/L=2m

金属棒沿导轨上滑的受力如图16(b)所示。金属棒所受各力中安培力是变力，其做负功使机械能

转化为电能，进而变为内能。由能量守恒定律可得

Q^=nivo2/2-mgLsin9-pmgLcos0=3OJ。

那么上端电阻发热量Q=Q.M6=5J

变式训练：

如图17所示间距为L的光滑平行金属导轨，水平地放置在XXX宗X干X竖直方

向的磁感强度为B的匀强磁场中，一-端接阻值是R的电阻。一一XXx[XXX八X电阻是

R),质量为m的导体棒放置在导轨上，在外力F作用下从日)『『\xxxUx的时刻

开始运动，其速度随时间的变化规律xvmsincot,不计导轨电阻。[,求：

(U从t=0到t=2/co时间内电阻R产生的热量。

(2)从t=0到t=-/2(o时间内外力F所做的功。

解析：(1)导体棒产生的感应电动势e=BLvmsinst是正弦交流电,

_E”_BL%“

其有效值:一美一亚

在△t=27T/co=T的时间内，电阻R上产生的热量为：

2222

Q=IRT=7tRBLvnA)(R+R())

(2)t=0到t=R2co时间是1/4,在这段时间内对导体棒运用能量守恒定律有:

W外二口Z#〃+Q\Q，是这段时间内电阻R和Ro产生的热量

Q,=E2/(R+Ro)-7r/2(o=7cB2L2Vn2/4(D(R+Ro)

所示这段时间内外力所做的功是：

2222

WM.=mvin/2+nBLvin/4(i)(R+R())

[误区分析]

误区一、误认为弹力对物体所做的功等于系统机械能的变化，无视功能关系的概念。

典型案例1、如下图，质量m=2kg的物体，从光滑斜面的

顶端A点以vo=5m/s的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧

压缩到B点时的速度为零,从A到R的竖直高度h=5m.求弹簧的弹力对物体所做的功。

错误解法：W=mgh+J/〃M；

应对方法：如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。如果

求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律先求解势能的变化，再根据弹力做功与弹性势能的关系求

解弹力做的功。

走出误区：解法一由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧

的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。

取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D点为弹性势能的零参考点，那么：

系统机械守恒：mgh+—mv]=Ep+O

弹力做功：W弹力二()-EP

1,

解得：W邦普=・(mgh+—/nv~)=-125J

解法二根据动能定理：n^h-^-W=O--mv-

1,

解得：W弹,二-(mgh+—)=-125J

误区二：误认为“杆的弹力方向”与“绳的弹力方向,•都与杆或绳子

垂直，都不做功，每个物体的机械能都守恒，无视弹力做功的特点。

典型案例2、如下图，在长为/的轻杆中点A和端点B各固定一

质量均为m的小球，杆可绕无摩擦的轴0转动，使杆从水平位置无

初速释放摆下。求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了

多少功？

错误解法：由于杆的弹力总垂直于小球的运动方向，所以轻杆对

A、B两球均不做功。WA=WH=0

应对方法：绳的弹力是一定沿绳的方向的，而杆的弹力小一定沿杆的万向。所以当物体的速度与杆

垂直时，杆的弹力对一个物体做正功，对另一个物体做负功，这一对作用力与反作用力做功的代数和为

零，系统的机械能守恒。

走出误区：设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为公和血。如果把轻杆、地球、两个

小球构成的系统作为研究对象，那么由于杆和小球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。

假设取B的最低点为零重力势能参考平面，可得：

2mg/=—mv\+—inv1+—mgL

又因A球对B球在各个时刻对应的角速度相同，故VB=2VA

由以上二式得：匕=

根据动能定理，可解出杆对A、B做的功。时于A有

I12

W\+mg---m-0

22

所以VVA=_0.2mgl

对于B有WB+m^=^mvi-0,所以WB=0.2?^/

误区三、误认为始末状态机械能守恒成立，无视物体做圆周运动的过程特点。

典型案例3、如下图，一细绳的上端固定在天花板上靠近墙壁的O点，下端拴一小球，L点是小球

下垂时的平衡位置,Q点代表一固定在墙上的细长钉子，位于0L直线.匕N点在Q点、正上方，且QN二QL,

M点与Q点等高。现将小球从竖直位置（保持绳绷直）拉开到与N等高的P点，释放后任其向L摆动,

运动过程中空气阻力可忽略不计，小球到达L后。因细绳被长钉挡住,