2024-2025学年高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例课时作业含解析新人教A版必修1VIP

PAGEPAGE6课时作业26函数模型的应用实例时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．据调查，某地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆/次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，一般车存车费是每辆一次0.2元，若一般车存车量为x辆/次，存车处总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(D)A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4000)B．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4000)D．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)解析：依据题意可知总收入分为两部分：一般车存车费用0.2x元和变速车存车费用(4000－x)×0.3元，所以y＝0.2x＋1200－0.3x＝－0.1x＋1200.只有D符合．2．据报道，青海湖的湖水在最近50年内削减了10%，假如按此规律，设2000年的湖水量为m，从2000年起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为(C)3．以每秒am的速度从地面垂直向上放射子弹，ts后的高度xm可由x＝at－4.9t2确定，已知5s后子弹高245m，子弹保持在245m以上(含245m)高度的时间为(B)A．4s B．5sC．6s D．7s解析：已知x＝at－4.9t2，由条件t＝5时，x＝245，得a＝73.5，所以x＝73.5t－4.9t2，子弹保持在245m以上(含245m)，即x≥245，所以73.5t－4.9t2≥245，解得5≤t≤10.因此，子弹保持在245m以上高度的时间为5s.4．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的状况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2024年5月1日12350002024年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂起先累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为(B)A．6升 B．8升C．10升 D．12升解析：因为第一次(即5月1日)把油加满，而其次次把油加满加了48升，即汽车行驶35600－35000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，选B.5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，其次年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(D)A.eq\f(p＋q,2) B.eq\f(p＋1q＋1－1,2)C.eq\r(pq) D.eq\r(p＋1q＋1)－1解析：设年平均增长率为x，原生产总值为a，则(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)2，解得x＝eq\r(1＋p1＋q)－1，故选D.6．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满意函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次试验的数据．依据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为(B)A．3.50分钟 B．3.75分钟C．4.00分钟 D．4.25分钟解析：由试验数据和函数模型知，二次函数p＝at2＋bt＋c的图象过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分别代入解析式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2，))所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.8125，所以当t＝3.75分钟时，可食用率p最大．故选B.二、填空题7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为20m.解析：如图，过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点F，易知eq\f(DE,BC)＝eq\f(x,40)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(AF,AH)，又AH＝BC＝40，则DE＝AF＝x，FH＝40－x，则S＝x(40－x)＝－(x－20)2＋400，当x＝20时，S取得最大值．故填20.8．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与贮存温度x(单位：℃)满意函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是24小时．解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eb＝192，,e22k＋b＝48，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eb＝192，,e11k＝\f(1,2)，))所以该食品在33℃的保鲜时间是y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×192＝24(小时)．9．某品牌手机销售商今年1,2,3月份的销售量分别是1万部，1.2万部，1.3万部，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售为依据，用一个函数模拟该品牌手机的销售量y(单位：万部)与月份x之间的关系，现从二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)或函数y＝abx＋c(b>0，b≠1)中选用一个效果好的函数进行模拟，假如4月份的销售量为1.37万部，则5月份的销售量为1.375万部．解析：由题意可知，当选用函数f(x)＝ax2＋bx＋c时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,4a＋2b＋c＝1.2，,9a＋3b＋c＝1.3))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.05，,b＝0.35，,c＝0.7，))∴f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，∴f(4)＝1.3；当选用函数g(x)＝abx＋c时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝1，,ab2＋c＝1.2，,ab3＋c＝1.3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.8，,b＝0.5，,c＝1.4，))∴g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4，∴g(4)＝1.35.∵g(4)比f(4)更接近于1.37，∴选用函数g(x)＝abx＋c模拟效果较好，∴g(5)＝－0.8×0.55＋1.4＝1.375，即5月份的销售量为1.375万部．三、解答题10．某市“网约车”的现行计价标准是：路程在2km以内(含2km)按起步价8元收取，超过2km后的路程按1.9元/km收取，但超过10km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85元/km)．(1)将某乘客搭乘一次“网约车”的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0<x≤60，单位：km)的分段函数；(2)某乘客的行程为16km，他打算先乘一辆“网约车”行驶8km后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程，请问他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由．解：(1)由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8，0<x≤2，,8＋1.9x－2，2<x≤10，,8＋1.9×8＋2.85x－10，10<x≤60))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8，0<x≤2，,4.2＋1.9x，2<x≤10，,2.85x－5.3，10<x≤60.))(2)只乘一辆车的车费为：f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)，换乘两辆车的车费为：2f(8)＝2(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)，因为40.3>38.8，所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．——实力提升类——11．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同，已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份(A)A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相同D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得，m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝eq\r(mm＋8a)，因为yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．12．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足6分钟按1千米计价)．陈先生坐了一趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是(B)A．[5,6) B．(5,6]C．[6,7) D．(6,7]解析：若按x千米(x∈Z)计价，则6＋(x－2)×3＋2×3＝24，得x＝6，故实际行程应属于区间(5,6]．故选B.13．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系改变．我们常把它的剩余质量变为原来一半所经验的时间称为它的半衰期，记为Teq\s\do8(\f(1,2))，现测得某种放射性物质的剩余质量A随时间t改变的6次数据如下表：t(单位时间)0246810A(t)3202261601158057从以上记录可知，这种元素的半衰期约为4个单位时间，剩余质量随时间改变的衰变公式为A(t)＝320×2eq\s\up15(－eq\f(t,4))(t≥0)．解析：从表中易知，半衰期为4个单位时间，初始质量A0＝320，则经过时间t的剩余质量为A(t)＝A0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(t,4))＝320×2eq\s\up15(－eq\f(t,4))(t≥0)．14．入秋以后，某市多有雾霾天气，空气污染较为严峻．市环保探讨所对近期每天的空气污染状况进行调查探讨后发觉，每一天中空气污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0,24]，其中a为空气治理调整参数，且a∈(0,1)．(1)若a＝eq\f(1,2)，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调整参数a应限制在什么范围内？解：(1)当a＝eq\f(1,2)，f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(log25x＋1－\f(1,2)))＋2，x∈[0,24]，令eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(log25x＋1－\f(1,2)))＝0，解得x＝4，因此一天中第4个时刻该市的空气污染指数最低．(2)令t＝log25(x＋1)，则当0≤x≤24时，0≤t≤1.设g(t)＝|t－a|＋2a＋1，t∈[0,1]，则g(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t＋3a＋1，0≤t≤a