2024-2025学年新教材高中数学课时作业17第十一章立体几何11.3.1平行直线与异面直线含解析新人教B版必修第四册

PAGEPAGE1课时作业17平行直线与异面直线时间：45分钟eq\a\vs4\al(一、选择题每小题5分，共40分)1．设AA′是长方体的一条棱，这个长方体中与AA′平行的棱共有(C)A．1条B．2条C．3条D．4条解析：AA′∥BB′∥CC′∥DD′.2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(D)A．肯定平行B．肯定相交C．肯定异面D．相交或异面解析：可能相交也可能异面，但肯定不平行(否则与条件冲突)．3．两等角的一组对应边平行，则(D)A．另一组对应边平行B．另一组对应边不平行C．另一组对应边不行能垂直D．以上都不对解析：另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．留意和等角定理的区分．4．E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四条边的中点，则EG与FH的位置关系是(C)A．异面B．平行C．相交D．重合解析：如图所示，连接BD，EF，FG，GH，HE，EG，HF.由E，F，G，H是空间四边形ABCD四边中点，有EH綉eq\f(1,2)BD，FG綉eq\f(1,2)BD，所以EH綉FG，所以四边形EFGH是平行四边形，EG与FH是对角线，故选C.5．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有(C)A．2对B．3对C．6对D．12对解析：如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对，故选C.6．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是(C)A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.7．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则(A)A．1<MN<5 B．2<MN<10C．1≤MN≤5 D．2<MN<5解析：取AD的中点H，连接MH，NH，则MH∥BD，且MH＝eq\f(1,2)BD，NH∥AC，且NH＝eq\f(1,2)AC，且M，N，H三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH－NH<MN<MH＋NH，即1<MN<5.8．如图为正方体表面的一种绽开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为(C)A．1B．2C．3D．4解析：还原的正方体如图所示．是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.eq\a\vs4\al(二、填空题每小题6分，共18分)9．a，b，c是空间中三条直线，下面给出几个说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交；③若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不行能平行．则上述说法中正确的有①(仅填序号)．解析：由平行的传递性知①正确；若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行，也可能相交或异面，②错误；若平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥l，b∥l，则a∥b，③错误．10．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为③④.(填序号)解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误；③④正确．11．P是△ABC所在平面外一点，D、E分别是△PAB、△PBC的重心，AC＝a，则DE的长为eq\f(1,3)a.解析：如图，∵D、E分别为△PAB、△PBC的重心，连接PD、PE，并延长分别交AB、BC于M、N点，则M、N分别为AB、BC的中点，∴DE綉eq\f(2,3)MN，MN綉eq\f(1,2)AC，∴DE綉eq\f(1,3)AC，∴DE＝eq\f(1,3)a.三、解答题写出必要的计算步骤，只写最终结果不得分，12、13、15题各12分，14题6分，共42分12．在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.证明：因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′，所以四边形EBB′E′是平行四边形，所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.所以EE′∥FF′.13.如图所示，两个三角形△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且eq\f(AO,A′O)＝eq\f(BO,B′O)＝eq\f(CO,C′O)＝eq\f(2,3).(1)证明：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′；(2)求eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)的值．解：(1)证明：∵AA′与BB′相交于O点，且eq\f(AO,OA′)＝eq\f(BO,OB′)，∴AB∥A′B′.同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)∵AB∥A′B′，AC∥A′C′且AB和A′B′，AC和A′C′的方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.同理∠ABC＝∠A′B′C′，因此△ABC∽△A′B′C′，又eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AO,A′O)＝eq\f(2,3).∴eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(4,9).——素养提升——14．(多选)如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是(ABC)A．M、N、P、Q四点共面B．∠QME＝∠CBDC．△BCD∽△MEQD．四边形MNPQ为梯形解析：由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.对于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说法正确；对于B，依据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B说法正确；对于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正确；对于D，由三角形的中位线定理，知MQ綉eq\f(1,2)BD，NP綉eq\f(1,2)BD，所以MQ綉NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确．15．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綉eq\f(1,2)AD，BE綉eq\f(1,2)FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH綉eq\f(1,2