2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换一课时素养评价含解析新人教A版必修第一册

PAGE10-简洁的三角恒等变换(一)(15分钟35分)1.下列各式与tanα相等的是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.QUOTE=QUOTE=QUOTE=tanα.2.已知sinα=QUOTE，cosα=QUOTE，则tanQUOTE等于 ()A.2-QUOTE B.2+QUOTEC.QUOTE-2 D.±(QUOTE-2)【解析】选C.因为sinα=QUOTE>0，cosα=QUOTE>0，所以α的终边落在第一象限，QUOTE的终边落在第一、三象限，所以tanQUOTE>0，故tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-2.3.设a=QUOTEcos6°-QUOTEsin6°，b=2sin13°cos13°，c=QUOTE，则有()A.c<b<a B.a<b<cC.a<c<b D.b<c<a【解析】选C.a=sin30°cos6°-cos30°sin6°=sin(30°-6°)=sin24°，b=2sin13°cos13°=sin26°，c=sin25°，因为y=sinx在QUOTE上是单调递增的，所以a<c<b.4.设α是其次象限角，且cosQUOTE=-QUOTE，则QUOTE是第_______象限角.

【解析】2kπ+QUOTE<α<2kπ+π(k∈Z)，所以kπ+QUOTE<QUOTE<kπ+QUOTE(k∈Z)，所以QUOTE为第一、三象限角，又-QUOTE=-QUOTE=-QUOTE=cosQUOTE，所以cosQUOTE<0，即QUOTE为第三象限角.答案：三5.tan20°+4sin20°=_______.

【解析】tan20°+4sin20°=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE【补偿训练】sin220°+sin80°·sin40°的值为_______.

【解析】原式=sin220°+sin(60°+20°)·sin(60°-20°)=sin220°+(sin60°cos20°+cos60°sin20°)·(sin60°·cos20°-cos60°sin20°)=sin220°+sin260°cos220°-cos260°sin220°=sin220°+QUOTEcos220°-QUOTEsin220°=QUOTEsin220°+QUOTEcos220°=QUOTE.答案：QUOTE6.已知sinQUOTE-cosQUOTE=-QUOTE，450°<α<540°，求tanQUOTE的值.【解析】由题意得QUOTE=QUOTE，即1-sinα=QUOTE，得sinα=QUOTE.因为450°<α<540°，所以cosα=-QUOTE，所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=2.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.若sin(π-α)=-QUOTE且α∈QUOTE，则sinQUOTE+QUOTE等于 ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由题意知sinα=-QUOTE，α∈QUOTE，所以cosα=-QUOTE.因为QUOTE∈QUOTE，所以sinQUOTE=cosQUOTE=-QUOTE=-QUOTE.2.QUOTE+2QUOTE的化简结果是 ()A.2cos4-4sin4 B.2sin4C.2sin4-4cos4 D.-2sin4【解析】选A.原式=QUOTE+2QUOTE=QUOTE×QUOTE+2QUOTE=2|sin4|+2|sin4-cos4|.因为sin4<0，sin4<cos4，所以原式=-2sin4+2(cos4-sin4)=2cos4-4sin4.【补偿训练】若α∈QUOTE，则QUOTE-QUOTE等于 ()A.cosα-sinα B.cosα+sinαC.-cosα+sinα D.-cosα-sinα【解析】选B.因为α∈QUOTE，所以sinα<0，cosα>0，则QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=|cosα|-|sinα|=cosα-(-sinα)=cosα+sinα.3.已知sinQUOTE=QUOTE，cos2α=QUOTE，则tanQUOTE= ()A.3 B.-3 C.±3 D.±4【解析】选A.由sinQUOTE=QUOTE，可得sinα-cosα=QUOTE.①由cos2α=QUOTE，可得cos2α-sin2α=QUOTE，所以(cosα-sinα)(cosα+sinα)=QUOTE.②由①②可得cosα+sinα=-QUOTE③由①③得sinα=QUOTE，cosα=-QUOTE，所以角α为其次象限角，所以QUOTE为第一、三象限角，所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=3.4.已知关于x的方程x2+xcosAcosB-2sin2QUOTE=0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC肯定是 ()A.直角三角形 B.钝角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形【解析】选C.由一元二次方程根与系数的关系得-cosAcosB=QUOTE，即cosAcosB=sin2QUOTE=sin2QUOTE=cos2QUOTE=QUOTE.得cos(A-B)=1，所以A=B.【补偿训练】在△ABC中，若2sinQUOTEcosQUOTEsinC=cos2QUOTE，则△ABC是 ()A.等边三角形 B.等腰三角形C.非等腰三角形 D.直角三角形【解析】选B.在△ABC中，因为2sinQUOTEcosQUOTEsinC=cos2QUOTE，所以sinBsinC=cos2QUOTE，即sinBsinC=QUOTE，2sinBsinC=1-cos(B+C)，2sinBsinC=1-cosBcosC+sinBsinC，即cosBcosC+sinBsinC=1，所以cos(B-C)=1，B-C=0，B=C.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.已知2sinα=1+cosα，则tanQUOTE的可能取值为 ()A.QUOTE B.1 C.2 D.不存在【解析】选AD.由2sinα=1+cosα，得4sinQUOTEcosQUOTE=2cos2QUOTE，当cosQUOTE=0时，则tanQUOTE不存在；当cosQUOTE≠0时，则tanQUOTE=QUOTE.6.若cos2θ+cosθ=0，则sin2θ+sinθ的可能取值有 ()A.0 B.1 C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选ACD.由cos2θ+cosθ=0得2cos2θ-1+cosθ=0，所以cosθ=-1或QUOTE.当cosθ=-1时，有sinθ=0；当cosθ=QUOTE时，有sinθ=±QUOTE.于是sin2θ+sinθ=sinθ(2cosθ+1)=0或QUOTE或-QUOTE.三、填空题(每小题5分，共10分)7.设α为第四象限角，且QUOTE=QUOTE，则cos2α=_______，tan2α=_______.

【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=2cos2α+1=QUOTE，所以cos2α=QUOTE，又α是第四象限角，所以sin2α=-QUOTE，所以tan2α=-QUOTE.答案：QUOTE-QUOTE8.已知sinθ+cosθ=QUOTE，且QUOTE≤θ≤π，则sinQUOTE=_______.

【解析】因为QUOTE≤θ≤π，所以sinθ≥0，cosθ≤0，且QUOTE≤QUOTE≤QUOTE.又sinθ+cosθ=QUOTE，①所以(sinθ+cosθ)2=QUOTE，所以2sinθcosθ=-QUOTE，所以(cosθ-sinθ)2=1-2sinθcosθ=QUOTE，所以cosθ-sinθ=-QUOTE②联立①②，得QUOTE所以sinQUOTE=sinQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE【补偿训练】已知cosθ=-QUOTE，θ∈(π，2π)，则sinQUOTE+cosQUOTE=_______.

【解析】因为cosθ=-QUOTE，θ∈(π，2π)，所以θ为第三象限角，所以sinθ=-QUOTE=-QUOTE，所以QUOTE∈QUOTE，所以sinQUOTE+cosQUOTE>0.再依据QUOTE=1+sinθ=QUOTE可得sinQUOTE+cosQUOTE=QUOTE.答案：QUOTE四、解答题(每小题10分，共20分)9.求证：QUOTE=1-QUOTE.【证明】方法一：左边==QUOTE=1-QUOTE=1-QUOTE=右边，所以原等式成立.方法二：右边=1-QUOTE=QUOTE==QUOTE=左边，所以原等式成立.10.已知α为钝角，β为锐角，且sinα=QUOTE，sinβ=QUOTE，求cosQUOTE与tanQUOTE的值.【解析】因为α为钝角，β为锐角，sinα=QUOTE，sinβ=QUOTE，所以cosα=-QUOTE，cosβ=QUOTE.所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.因为QUOTE<α<π，且0<β<QUOTE，所以0<α-β<π，所以0<QUOTE<QUOTE，所以cosQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.由0<α-β<π，cos(α-β)=QUOTE，得sin(α-β)=QUOTE=QUOTE.所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.1.若cosα=QUOTE，sin(α-β)=QUOTE，0<β<α<QUOTE，则sinQUOTE=_______.

【解析】因为0<β<α<QUOTE，所以0<α-β<QUOTE，0<QUOTE<QUOTE，所以cos(α-β)=QUOTE，又cosα=QUOTE，所以sinα=QUOTE，所以cos2α=cos2α-sin2α=-QUOTE，sin