2025届高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5讲椭圆创新教学案含解析新人教版VIP

PAGE第5讲椭圆[考纲解读]1.驾驭两种求椭圆方程的方法：定义法、待定系数法，并能依据其标准方程及几何图形探讨椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(重点)2．驾驭直线与椭圆位置关系的推断，并能求解直线与椭圆相关的综合问题．(难点)[考向预料]从近三年高考状况来看，本讲为高考的必考内容．预料2024年将会考查：①椭圆标准方程的求解；②直线与椭圆位置关系的应用；③求解与椭圆性质相关的问题．试题以解答题的形式呈现，敏捷多变、技巧性强，具有肯定的区分度，试题中等偏难.1.椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的eq\o(□,\s\up1(01))和等于eq\o(□,\s\up1(02))常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做eq\o(□,\s\up1(03))焦距．(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝eq\o(□,\s\up1(04))2a，且2aeq\o(□,\s\up1(05))>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数．注：当2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当22．椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)；B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b,0)，B2(b,0)轴线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2a焦距|F1F2|＝离心率e＝eq\f(c,a)且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b23．直线与椭圆位置关系的推断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A肯定不为0)，设其判别式为Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆eq\o(□,\s\up1(01))相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆eq\o(□,\s\up1(02))相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆eq\o(□,\s\up1(03))相离．4．弦长公式(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\o(□,\s\up1(01))eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\o(□,\s\up1(02))eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长eq\o(□,\s\up1(03))eq\f(2b2,a)，最长为eq\o(□,\s\up1(04))2a.5．必记结论(1)设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上随意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．(2)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a1．概念辨析(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．()(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a(4)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相同．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．小题热身(1)椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的离心率是()A.eq\f(\r(13),3) B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,9)答案B解析由已知得a＝3，b＝2，所以c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(32－22)＝eq\r(5)，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).(2)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,32)＝1 B.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1 D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1答案B解析由题意，得eq\f(2c,2a)＝eq\f(1,3)，2a＝6，解得a＝3，c＝1，则b＝eq\r(32－12)＝eq\r(8)，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.故选B.(3)若方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示椭圆，则m的取值范围是________．答案2<m<6且m≠4解析方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示椭圆⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2>0，,6－m>0，,m－2≠6－m，))解得2<m<6且m≠4.(4)已知动点P(x，y)的坐标满意eq\r(x2＋y＋72)＋eq\r(x2＋y－72)＝16，则动点P的轨迹方程为________．答案eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,15)＝1解析由已知得点P到点A(0，－7)和B(0,7)的距离之和为16，且16>|AB|，所以点P的轨迹是以A(0，－7)，B(0,7)为焦点，长轴长为16的椭圆．明显a＝8，c＝7，故b2＝a2－c2＝15，所以动点P的轨迹方程为eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,15)＝1.题型一椭圆的定义及应用1．过椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为()A．8 B．4eq\r(2)C．4 D．2eq\r(2)答案A解析因为椭圆为eq\f(x2,4)＋y2＝1，所以椭圆的半长轴a＝2，由椭圆的定义可得AF1＋AF2＝2a＝4，且BF1＋BF2＝2a＝4，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝4a＝8.2．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为()A．5 B．4C．3 D．2答案A解析如图，∵椭圆eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1，∴焦点坐标为B(0，－1)和B′(0,1)，连接PB′，AB′，依据椭圆的定义，得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，可得|PB|＝4－|PB′|，因此|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋(|PA|－|PB′|)．∵|PA|－|PB′|≤|AB′|，∴|PA|＋|PB|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5.当且仅当点P在AB′的延长线上时，等号成立．综上所述，可得|PA|＋|PB|的最大值为5.3．(2024·九江模拟)F1，F2是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,7)＝1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为()A．7 B.eq\f(7,4)C.eq\f(7,2) D.eq\f(7\r(5),2)答案C解析由题意，得a＝3，b＝eq\r(7)，c＝eq\r(2)，|AF1|＋|AF2|＝6.∴|AF2|＝6－|AF1|.在△AF1F2中，|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|·cos45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8，解得|AF1|＝eq\f(7,2)，∴△AF1F2的面积S＝eq\f(1,2)×eq\f(7,2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7,2).利用定义解焦点三角形问题及求最值的方法解焦点三角形问题利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中|PF1|＋|PF2|＝2a求最值抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a1．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内肯定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．圆答案A解析由题意得|PF|＝|MP|，所以|PO|＋|PF|＝|PO|＋|MP|＝|MO|>|OF|，即点P到两定点O，F的距离之和为常数(圆的半径)，且此常数大于两定点的距离，所以点P的轨迹是椭圆．2．(2024·安徽皖江模拟)已知F1，F2是长轴长为4的椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆上一点，则△PF1F2面积的最大值为________．答案2解析解法一：∵△PF1F2的面积为eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sin∠F1PF2≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝eq\f(1,2)a2.又2a＝4，∴a2＝4，∴△PF1F2面积的最大值为2.解法二：由题意可知2a＝4，解得a＝2.当P点到F1F2距离最大时，S△PF1FS△PF1F2＝eq\f(1,2)·2c·b＝bc.又a2＝b2＋c2＝4，∴bc≤eq\f(b2＋c2,2)＝2，∴当b＝c＝eq\r(2)时，△PF1F2面积最大，为2.题型二椭圆的标准方程角度1定义法求椭圆的标准方程1．已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，B是圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为________．答案x2＋eq\f(y2,\f(3,4))＝1解析如图，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所以|PA|＋|PF|＝2且|PA|＋|PF|>|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a＝1，c＝eq\f(1,2)，b2＝eq\f(3,4).所以动点P的轨迹方程为x2＋eq\f(y2,\f(3,4))＝1.角度2待定系数法求椭圆的标准方程2．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq\r(3)，eq\r(5))，则椭圆方程为________．答案eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1解析设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)m＋\f(25,4)n＝1，,3m＋5n＝1，))解得m＝eq\f(1,6)，n＝eq\f(1,10)，所以椭圆方程为eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1.1．定义法求椭圆的标准方程依据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．见举例说明1.其中常用的关系有：(1)b2＝a2－c2；(2)椭圆上随意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a(3)椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长a.2．待定系数法求椭圆的标准方程的四步骤提示：当椭圆的焦点位置不明确时，可设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)可简记为“先定型，再定量”．见举例说明2.1．与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．答案eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1解析设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2所以点P的轨迹是以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，点P的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.2．(2024·武汉调研)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，eq\r(3))是椭圆上一点，且|PF1|，|F2F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为________．答案eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1解析∵椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，∴可设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵P(2，eq\r(3))是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(3,b2)＝1，,2a＝4c，))又a2＝b2＋c2，∴a＝2eq\r(2)，b＝eq\r(6)，c＝eq\r(2)，∴椭圆方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1.题型三椭圆的几何性质1．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A．(－3,0) B．(－4,0)C．(－10,0) D．(－5,0)答案D解析由已知得，椭圆的一个焦点坐标为(3,0)，故c＝3，又因为2b＝8，b＝4，所以a2＝b2＋c2＝16＋9＝25.故a＝5.所以椭圆的左顶点为(－5,0)．2．已知F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B上下两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是()A．(0，eq\r(2)－1) B．(eq\r(2)－1,1)C．(0，eq\r(3)－1) D．(eq\r(3)－1,1)答案B解析∵F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B上下两点，∴F1(－c,0)，F2(c,0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，－\f(b2,a)))，∵△ABF2是锐角三角形，∴∠AF2F1<45°，∴tan∠AF2F1<1，∴eq\f(\f(b2,a),2c)<1，整理，得b2<2ac，∴a2－c2<2ac，两边同时除以a2，并整理，得e2＋2e－1>0，解得e>eq\r(2)－1或e<－eq\r(2)－1(舍去)，∵0<e<1，∴椭圆的离心率e的取值范围是(eq\r(2)－1,1)．3．(2024·合肥质检)如图，焦点在x轴上的椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq\f(1,2)，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上随意一点，则eq\o(PF,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))的最大值为________．答案4解析由题意知a＝2，因为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.设P点坐标为(x0，y0)．所以－2≤x0≤2，－eq\r(3)≤y0≤eq\r(3).因为F(－1,0)，A(2,0)，eq\o(PF,\s\up6(→))＝(－1－x0，－y0)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－x0，－y0)，所以eq\o(PF,\s\up6(→))·Peq\o(A,\s\up6(→))＝xeq\o\al(2,0)－x0－2＋yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)－x0＋1＝eq\f(1,4)(x0－2)2.则当x0＝－2时，eq\o(PF,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))取得最大值4.1．利用椭圆几何性质的留意点及技巧(1)留意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，常常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．见举例说明3.(2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．见举例说明1.2．求椭圆离心率的方法(1)干脆求出a，c，利用离心率公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)由a，b，c之间的关系求离心率，可以利用变形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解．也可以利用b2＝a2－c2消去b，得到关于a，c的方程或不等式，进而转化为关于e的不等式再求解．如举例说明2.(3)由椭圆的定义求离心率．e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)，而2a是椭圆上随意一点到两焦点的距离之和，2c是焦距，从而与焦点三角形联系起来．1．椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为()A.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,\r(2))＝1 B.eq\f(x2,2)＋y2＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1答案C解析易知b＝c＝eq\r(2)，故a2＝b2＋c2＝4，从而椭圆E的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.2．(2024·衡水模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)和直线l：eq\f(x,4)＋eq\f(y,3)＝1，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,5)答案A解析直线l的斜率为－eq\f(3,4)，过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，所以eq\f(b,c)＝eq\f(3,4)，又b2＋c2＝a2⇒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)c))2＋c2＝a2⇒eq\f(25,16)c2＝a2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5).3．若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的随意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为()A．2 B．3C．6 D．8答案C解析由椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,4)))＝eq\f(1,4)x2＋x＋3＝eq\f(1,4)(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，当且仅当x＝2时，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))取得最大值6.题型四直线与椭圆的综合问题角度1直线与椭圆的位置关系1．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，②))将①代入②，整理，得9x2＋8mx＋2m2方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2(1)当Δ>0，即－3eq\r(2)<m<3eq\r(2)时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±3eq\r(2)时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个相互重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m<－3eq\r(2)或m>3eq\r(2)时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点．角度2点差法解中点弦问题2．焦点是F(0,5eq\r(2))，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是eq\f(2,7)的椭圆的标准方程为________．答案eq\f(y2,75)＋eq\f(x2,25)＝1解析设所求的椭圆方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意，可得弦AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，且eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2,7)，eq\f(y1＋y2,2)＝－eq\f(3,7).将A，B两点坐标代入椭圆方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),a2)＋\f(x\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(y\o\al(2,2),a2)＋\f(x\o\al(2,2),b2)＝1.))两式相减并化简，得eq\f(a2,b2)＝－eq\f(y1－y2,x1－x2)×eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝－2×eq\f(－\f(6,7),\f(4,7))＝3，所以a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，故所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,75)＋eq\f(x2,25)＝1.角度3弦长问题3．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x2＋y2＝1，,y＝x＋m，))得5x2＋2mx＋m2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－eq\f(\r(5),2)≤m≤eq\f(\r(5),2).(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(2m,5)，x1x2＝eq\f(1,5)(m2－1)，所以|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(2x1－x22)＝eq\r(2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4m2,25)－\f(4,5)m2－1)))＝eq\f(2,5)eq\r(10－8m2).所以当m＝0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y＝x.角度4综合计算问题4．(2024·天津高考)设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为eq\f(\r(5),5).(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)，又a2＝b2＋c2，可得a＝eq\r(5)，b＝2，c＝1.所以椭圆的方程为eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM,0)．设直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，))整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，可得xP＝－eq\f(20k,4＋5k2)，代入y＝kx＋2得yP＝eq\f(8－10k2,4＋5k2)，进而直线OP的斜率为eq\f(yP,xP)＝eq\f(4－5k2,－10k).在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－eq\f(2,k).由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－eq\f(k,2).由OP⊥MN，得eq\f(4－5k2,－10k)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)))＝－1，化简得k2＝eq\f(24,5)，从而k＝±eq\f(2\r(30),5).所以直线PB的斜率为eq\f(2\r(30),5)或－eq\f(2\r(30),5).1．直线与椭圆位置关系的判定方法(1)代数法联立直线与椭圆方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．见举例说明1.(2)几何法画出直线与椭圆的图象，依据图象推断公共点个数．2．“点差法”的四步骤处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：3．中点弦的重要结论AB为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．(1)斜率：k＝－eq\f(b2x0,a2y0).见举例说明2.(2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值－eq\f(b2,a2).4．直线与椭圆相交的弦长公式(1)若直线y＝kx＋m与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.见举例说明3.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长eq\f(2b2,a)，最长为2a.1．若直线y＝kx＋1与椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．m>1 B．m>0C．0<m<5且m≠1 D．m≥1且m≠5答案D解析直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，若直线y＝kx＋1与椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，则点(0,1)在椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1内部或在椭圆上，所以eq\f(1,m)≤1，由方程eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1表示椭圆，则m>0且m≠5，综上知m的取值范围是m≥1且m≠5.2．直线y＝x＋m被椭圆2x2＋y2＝2截得的线段的中点的横坐标为eq\f(1,6)，则中点的纵坐标为________．答案－eq\f(1,3)解析解法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,2x2＋y2＝2，))消去y并整理得3x2＋2mx＋m2－2＝0，设线段的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(2m,3)，∴－eq\f(2m,3)＝eq\f(1,3)，解得m＝－eq\f(1,2).由截得的线段的中点在直线y＝x－eq\f(1,2)上，得中点的纵坐标y＝eq\f(1,6)－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,3).解法二：设线段的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝2,2xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)＝2.两式相减得2(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0.把eq\f(y1－y2,x1－x2)＝1，x1＋x2＝eq\f(1,3)代入上式，得eq\f(y1＋y2,2)＝－eq\f(1,3)，则中点的纵坐标为－eq\f(1,3).3．(2024·武威六中模拟)已知直线l：y＝kx＋2与椭圆C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1交于A，B两点，直线l1与直线l2：x＋2y－4＝0交于点M.(1)证明：直线l2与椭圆C相切；(2)设线段AB的中点为N，且|AB|＝|MN|，求直线l1的方程．解(1)证明：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，,x＋2y－4＝0，))消去x整理得y2－2y＋1＝0，∵Δ＝4－4＝0，∴l2与C相切．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x＋2y－4＝0，))得M的坐标为(0,2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，,y＝kx＋2，))消去y整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋8＝0，因为直线l1与椭圆交于A，B两点，所以Δ＝(16k)2－32(1＋4k2)＝128k2－32>0，解得k2>eq\f(1,4).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，则x1＋x2＝－eq\f(16k,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(8,1＋4k2)，所以x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(8k,1＋4k2).∵|AB|＝|MN|，即eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)|x0－0|，∴eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝|x0|，即eq\f(8k,1＋4k2)＝eq\f(4\r(2)\r(4k2－1),1＋4k2)，解得k2＝eq\f(1,2)，满意k2>eq\f(1,4).∴k＝±eq\f(\r(2),2)，∴直线l1的方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x＋2.组基础关1．已知椭圆mx2＋3y2－6m＝0的一个焦点的坐标为(0,2)，则mA．1 B．3C．5 D．8答案C解析由mx2＋3y2－6m＝0，得eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2m)＝1.因为椭圆的一个焦点的坐标为(0,2)，所以2m＝6＋4，解得m＝5.2．(2024·邯郸模拟)如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，依据图中数据可知该椭圆的离心率为()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2\r(3),5) D.eq\f(2\r(5),5)答案B解析由题2b＝16.4,2a＝20.5，则eq\f(b,a)＝eq\f(4,5)，则离心率e＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝eq\f(3,5).3．假如方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()A．(－6，－2)B．(3，＋∞)C．(－6，－2)∪(3，＋∞)D．(－6，－3)∪(2，＋∞)答案C解析由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2>a＋6，,a＋6>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－2或a>3，,a>－6，))所以－6<a<－2或a>3.4．过椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,3)C.eq\f(5,4) D.eq\f(10,3)答案B解析由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，,y＝2x－2，))解得交点(0，－2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(4,3)))，∴S△OAB＝eq\f(1,2)·|OF|·|yA－yB|＝eq\f(1,2)×1×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2－\f(4,3)))＝eq\f(5,3).故选B.5．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2eq\r(5)，0)为C的左焦点，P为C上一点，满意|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的方程为()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2,30)＋eq\f(y2,10)＝1C.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,25)＝1答案C解析设F′为椭圆的右焦点，连接PF′，在△POF中，由余弦定理，得cos∠POF＝eq\f(|OP|2＋|OF|2－|PF|2,2|OP||OF|)＝eq\f(3,5)，则|PF′|＝eq\r(|OP|2＋|OF′|2－2|OP||OF′|cosπ－∠POF)＝8，由椭圆定义，知2a＝4＋8＝12，所以a＝6，又c＝2eq\r(5)，所以b2＝16.故椭圆C的方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1.6．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(5),5)答案C解析设直线x－y＋5＝0与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝1.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))两式相减得，eq\f(x1＋x2x1－x2,a2)＋eq\f(y1＋y2y1－y2,b2)＝0，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，于是椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(3),2).故选C.7．(2024·成都一诊)已知点M(－1,0)和N(1,0)，若某直线上存在点P，使得|PM|＋|PN|＝4，则称该直线为“椭型直线”，现有下列直线：①x－2y＋6＝0；②x－y＝0；③2x－y＋1＝0；④x＋y－3＝0.其中是“椭型直线”的是()A．①③ B．①②C．②③ D．③④答案C解析由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.对于①，把x－2y＋6＝0代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，整理得2y2－9y＋12＝0，由Δ＝(－9)2－4×2×12＝－15<0，知x－2y＋6＝0不是“椭型直线”；对于②，把y＝x代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，整理得x2＝eq\f(12,7)，所以x－y＝0是“椭型直线”；对于③，把2x－y＋1＝0代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，整理得19x2＋16x－8＝0，由Δ＝162－4×19×(－8)>0，知2x－y＋1＝0是“椭型直线”；对于④，把x＋y－3＝0代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，整理得7x2－24x＋24＝0，由Δ＝(－24)2－4×7×24<0，知x＋y－3＝0不是“椭型直线”．故②③是“椭型直线”．8．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为eq\f(\r(5),5)，且过点P(－5,4)，则椭圆的标准方程为________．答案eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1解析由题意设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由离心率e＝eq\f(\r(5),5)可得a2＝5c2，所以b2＝4c2，故椭圆的方程为eq\f(x2,5c2)＋eq\f(y2,4c2)＝1，将P(－5,4)代入可得c2＝9，故椭圆的方程为eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1.9．已知椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦点为F，若过点F且倾斜角为eq\f(π,4)的直线l与椭圆相交于A，B两点，则|AB|的值为________．答案eq\f(16\r(5),9)解析由题意知，F(1,0)．∵直线l的倾斜角为eq\f(π,4)，∴斜率k＝1.∴直线l的方程为y＝x－1.代入椭圆方程，得9x2－10x－15＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(10,9)，x1x2＝－eq\f(5,3).∴|AB|＝eq\r(2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,9)))2＋4×\f(5,3))＝eq\f(16\r(5),9).10．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF2垂直于x轴，若直线PF1的斜率为eq\f(\r(3),3)，则该椭圆的离心率为________．答案eq\f(\r(3),3)解析因为点P在椭圆上，且PF2垂直于x轴，所以点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a))).又因为直线PF1的斜率为eq\f(\r(3),3)，所以在Rt△PF1F2中，eq\f(PF2,F1F2)＝eq\f(\r(3),3)，即eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(\r(3),3).所以eq\r(3)b2＝2ac.eq\r(3)(a2－c2)＝2ac，eq\r(3)(1－e2)＝2e，整理得eq\r(3)e2＋2e－eq\r(3)＝0，又0<e<1，解得e＝eq\f(\r(3),3).组实力关1．过椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的中心随意作一条直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是()A．14 B．16C．18 D．20答案C解析如图，设F1为椭圆的左焦点，右焦点为F2，依据椭圆的对称性可知|F1Q|＝|PF2|，|OP|＝|OQ|，所以△PQF1的周长为|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＋2|PO|＝2a＋2|PO|＝10＋2|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上、下顶点时，△PQF1(或△PQF2)的周长即△PQF周长的最小值，为10＋2×2．已知离心率为eq\f(\r(2),2)的椭圆C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的下、上焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx＋1过椭圆C的焦点F2，与椭圆交于A，B两点，若点A到y轴的距离是点B到y轴距离的2倍，则k2＝________.答案eq\f(2,7)解析直线l过定点(0,1)，即F2为(0,1)，由于eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，a2＝b2＋c2，故a＝eq\r(2)，b＝1，则椭圆C的方程为eq\f(y2,2)＋x2＝1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y2,2)＋x2＝1，,y＝kx＋1，))得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(－2k,k2＋2)，x1x2＝－eq\f(1,k2＋2)，由点A到y轴的距离是点B到y轴距离的2倍，得x1＝－2x2，代入x1＋x2＝eq\f(－2k,k2＋2)，解得x2＝eq\f(2k,k2＋2)，x1＝－eq\f(4k,k2＋2)，代入x1x2＝－eq\f(1,k2＋2)，解得k2＝eq\f(2,7).3．(2024·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案(3，eq\r(15))解析设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1上，所以联立方程可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋42＋y2＝64，,\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝±\r(15).))又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，eq\r(15))．4．(2024·厦门摸底)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点为(eq\r(3)，0)，A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆与直线y＝eq\f(b,a)x相交于P，Q两点，且Aeq\o(P,\s\up6(→))·Aeq\o(Q,\s\up6(→))＝0，Oeq\o(P,\s\up6(→))＝3Oeq\o(Q,\s\up6(→))，则椭圆C的标准方程为________，圆A的标准方程为________．答案eq\f(x2,4)＋y2＝1(x－2)2＋y2＝eq\f(8,5)解析如图，设T为线段PQ的中点，连接AT，则AT⊥PQ.∵Aeq\o(P,\s\up6(→))·Aeq\o(Q,\s\up6(→))＝0，即AP⊥AQ，∴|AT|＝eq\f(1,2)|PQ|.又Oeq\o(P,\s\up6(→))＝3Oeq\o(Q,\s\up6(→))，∴|OT|＝|PQ|.∴eq\f(|AT|,|OT|)＝eq\f(1,2)，即eq\f(b,a)＝eq\f(1,2).由已知得焦半距c＝eq\r(3)，∴a2＝4，b2＝1，故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.又|AT|2＋|OT|2＝4，∴|AT|2＋4|AT|2＝4，∴|AT|＝eq\f(2\r(5),5)，r＝|AP|＝eq\f(2\r(10),5).∴圆A的方程为(x－2)2＋y2＝eq\f(8,5).5．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，e＝eq\f(1,2)，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB中点的横坐标为eq\f(1,4)，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))(其中λ>1)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求实数λ的值．解(1)由椭圆的焦距为2，知c＝1，又e＝eq\f(1,2)，∴a＝2，故b2＝a2－c2＝3，∴椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))，可知A，B，F三点共线，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝1，不符合题意；当AB所在直线l的斜率k存在时，设l的方程为y＝k(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.①①的判别式Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0.∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(8k2,4k2＋3)，,x1x2＝\f(4k2－12,4k2＋3)，))∴x1＋x2＝eq\f(8k2,4k2＋3)＝2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，∴k2＝eq\f(1,4).将k2＝eq\f(1,4)代入方程①，得4x2－2x－11＝0，解得x＝eq\f(1±3\r(5),4).又eq\o(AF,\s\up6(→))＝(1－x1，－y1)，eq\