2024-2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程学案含解析新人教A版选修2-1VIP

PAGE9-2.2.1椭圆及其标准方程[目标]1.驾驭椭圆的定义，标准方程的两种形式及推导过程.2.会依据条件确定椭圆的标准方程，驾驭用待定系数法求椭圆的标准方程．[重点]椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程．[难点]椭圆标准方程的推导．学问点一椭圆的定义[填一填]平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．[答一答]1．定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．学问点二椭圆的标准方程[填一填][答一答]2．如何理解“标准方程”中的“标准”的意义？提示：(1)两个焦点F1，F2在坐标轴上；(2)线段F1F2的中点是坐标原点．只有同时满意这两个条件时，所得到的方程才是标准方程．3．在椭圆标准方程的推导过程中，为什么令b2＝a2－c2，b>0?提示：令b2＝a2－c2可以使方程变得简洁整齐．今后探讨椭圆的几何性质时，b还有明确的几何意义，因此设b>0.4．对于一个椭圆的标准方程，怎样推断其焦点所在的坐标轴呢？提示：依据椭圆的标准方程推断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，只需看标准方程中的分母的大小，即椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．1．对椭圆定义的理解(1)椭圆的定义揭示了椭圆的本质，是推断动点轨迹是否为椭圆的重要依据．(2)设集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c均为大于0的常数．当2a>2c时，集合P为椭圆；当2a＝2c时，集合P为线段F1F2；当2a<2c时，集合P为空集，即动点M的轨迹不存在．2．对椭圆的标准方程的理解(1)椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴．(2)椭圆的标准方程右边是1，左边是关于x，y的平方和，并且分母不相等．椭圆的焦点在x轴上时，标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上时，标准方程中y2项的分母较大．(3)椭圆的标准方程有两种形式．若已知焦点在x轴或y轴上，则标准方程唯一；若无法确定焦点的位置，则须要考虑两种形式．其中a，b，c三个量满意a2＝b2＋c2.类型一椭圆的定义及其应用【例1】(1)已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a，其中a为大于0的常数；命题乙：点P的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2是它的焦点．AB是过F1的直线与椭圆交于A、B两点，则△ABF2的周长是________．【分析】数形结合，由椭圆定义即求得答案．【解析】(1)若点P的轨迹是椭圆，则肯定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)，当2a>|AB|时，点P的轨迹是椭圆；当2a＝|AB|时，点P的轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，点P的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综上可知，甲是乙的必要不充分条件．(2)如图，∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又∵△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，∴△ABF2的周长为4a.【答案】(1)B(2)4a一般地，关于椭圆的一些问题我们常常考虑利用其定义，这时候就要关注它的两个焦点，把问题转化为探讨椭圆上的点到两个焦点的距离之和的问题.椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为(A)A．5 B．6C．4 D．10解析：点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10,10－5＝5.类型二椭圆标准方程的识别【例2】当3<k<9时，指出方程eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1表示的曲线．【分析】比较9－k与k－3的大小，确定曲线类型．【解】∵3<k<9，∴9－k>0，k－3>0.(1)当9－k>k－3，即3<k<6时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；(2)当9－k＝k－3，即k＝6时，方程表示圆x2＋y2＝3；(3)当9－k<k－3，即6<k<9时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．依据椭圆标准方程的两种形式可知，焦点在哪一坐标轴上，哪一变量对应的分母大，即x2对应的分母大，焦点就在x轴上；y2对应的分母大，焦点就在y轴上.已知曲线C：eq\f(x2,k－5)＋eq\f(y2,3－k)＝－1，则“4≤k<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件．解析：将曲线C的方程化为：eq\f(x2,5－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则k－3>5－k>0，即4<k<5，故“4≤k<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件．类型三求椭圆的标准方程【例3】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a＝4，c＝3，焦点在y轴上；(2)a＋b＝8，c＝4；(3)经过点A(eq\r(3)，－2)和点B(－2eq\r(3)，1)．【分析】求椭圆的标准方程时，要先推断焦点位置，确定椭圆标准方程的形式，最终由条件确定a和b的值．【解】(1)焦点在y轴上，设标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，则a2＝16，b2＝a2－c2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程为eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,7)＝1.(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝8，,a2－b2＝16，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝8，,a＋ba－b＝16，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝8，,a－b＝2，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝3.))∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1.(3)解法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)2,a2)＋\f(－22,b2)＝1，,\f(－2\r(3)2,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝15，,b2＝5.))所以所求椭圆的方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－22,a2)＋\f(\r(3)2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(－2\r(3)2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝5，,b2＝15.))(舍去)．故所求椭圆的方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.解法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m＋4n＝1，,12m＋n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,15)，,n＝\f(1,5).))所以所求椭圆的方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面1“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以推断方程的形式；2“定量”是指确定a2，b2的详细数值，常依据条件列方程求解.求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)经过两点(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))；(2)过点(eq\r(3)，－eq\r(5))，且与椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同的焦点．解：(1)解法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＝\f(1,8)，,\f(1,b2)＝\f(1,4).))所以所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)＝\f(1,8)，,\f(1,a2)＝\f(1,4).))即a2＝4，b2＝8，则a2<b2，与题设中a>b>0冲突，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.解法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))所以所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又点(eq\r(3)，－eq\r(5))在椭圆上，所以eq\f(－\r(5)2,a2)＋eq\f(\r(3)2,b2)＝1，即eq\f(5,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.类型四素养提升椭圆中的焦点三角形问题【例4】如图所示，已知椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，若点P在其次象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．【思路分析】由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|和|PF2|的方程，解方程组求得|PF1|，再用面积公式求解．【精解详析】由已知a＝2，b＝eq\r(3)，得c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(4－3)＝1，|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cos120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|.②②代入①解得|PF1|＝eq\f(6,5).所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||F1F2|·sin120°＝eq\f(1,2)×eq\f(6,5)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),5)，即△PF1F2的面积是eq\f(3,5)eq\r(3).【解后反思】椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等学问．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝eq\f(1,2)absinC把|PF1|·|PF2|看成一个整体，利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，这样可以削减运算量．设M是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上一点，F1、F2为焦点，∠F1MF2＝eq\f(π,6)，则S△MF1F2＝(C)A.eq\f(16\r(3),3) B．16(2＋eq\r(3))C．16(2－eq\r(3)) D．16解析：设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r1＋r2＝10,r\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2)－\r(3)r1r2＝36))，∴r1r2＝64(2－eq\r(3))，∴S△MF1F2＝eq\f(1,2)r1r2sineq\f(π,6)＝16(2－eq\r(3)).1．设P是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(D)A．4 B．5C．8 D．10解析：|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.2．若方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8sinα)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是(C)A．(eq\f(π,3)，eq\f(π,2)) B．[eq\f(π,3)，eq\f(π,2))C．(eq\f(π,6)，eq\f(π,2)) D．[eq\f(π,6)，eq\f(π,2))解析：∵方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8sinα)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴8sinα>4，sinα>eq\f(1,2).∵α为锐角，∴eq\f(π,6)<α<eq\f(π,2).3．椭圆的两焦点坐标分别为(－2,0)和(2,0)，且椭圆过点(eq\f(5,2)，－eq\f(3,2))，则椭圆方程是(D)A.eq\f(y2,8)＋eq\f(x2,4)＝1 B.eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1