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文档简介
PAGE9-2.2.1椭圆及其标准方程[目标]1.驾驭椭圆的定义,标准方程的两种形式及推导过程.2.会依据条件确定椭圆的标准方程,驾驭用待定系数法求椭圆的标准方程.[重点]椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程.[难点]椭圆标准方程的推导.学问点一椭圆的定义[填一填]平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.[答一答]1.定义中,将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么?提示:当距离之和等于|F1F2|时,动点的轨迹就是线段F1F2;当距离之和小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.学问点二椭圆的标准方程[填一填][答一答]2.如何理解“标准方程”中的“标准”的意义?提示:(1)两个焦点F1,F2在坐标轴上;(2)线段F1F2的中点是坐标原点.只有同时满意这两个条件时,所得到的方程才是标准方程.3.在椭圆标准方程的推导过程中,为什么令b2=a2-c2,b>0?提示:令b2=a2-c2可以使方程变得简洁整齐.今后探讨椭圆的几何性质时,b还有明确的几何意义,因此设b>0.4.对于一个椭圆的标准方程,怎样推断其焦点所在的坐标轴呢?提示:依据椭圆的标准方程推断椭圆的焦点在哪条坐标轴上,只需看标准方程中的分母的大小,即椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大;椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大.1.对椭圆定义的理解(1)椭圆的定义揭示了椭圆的本质,是推断动点轨迹是否为椭圆的重要依据.(2)设集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a,c均为大于0的常数.当2a>2c时,集合P为椭圆;当2a=2c时,集合P为线段F1F2;当2a<2c时,集合P为空集,即动点M的轨迹不存在.2.对椭圆的标准方程的理解(1)椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点,对称轴为坐标轴.(2)椭圆的标准方程右边是1,左边是关于x,y的平方和,并且分母不相等.椭圆的焦点在x轴上时,标准方程中x2项的分母较大;椭圆的焦点在y轴上时,标准方程中y2项的分母较大.(3)椭圆的标准方程有两种形式.若已知焦点在x轴或y轴上,则标准方程唯一;若无法确定焦点的位置,则须要考虑两种形式.其中a,b,c三个量满意a2=b2+c2.类型一椭圆的定义及其应用【例1】(1)已知命题甲:动点P到两定点A,B的距离之和|PA|+|PB|=2a,其中a为大于0的常数;命题乙:点P的轨迹是椭圆,则命题甲是命题乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0),F1,F2是它的焦点.AB是过F1的直线与椭圆交于A、B两点,则△ABF2的周长是________.【分析】数形结合,由椭圆定义即求得答案.【解析】(1)若点P的轨迹是椭圆,则肯定有|PA|+|PB|=2a(a>0,为常数).所以甲是乙的必要条件.反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,为常数),当2a>|AB|时,点P的轨迹是椭圆;当2a=|AB|时,点P的轨迹是线段AB;当2a<|AB|时,点P的轨迹不存在,所以甲不是乙的充分条件.综上可知,甲是乙的必要不充分条件.(2)如图,∵|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,又∵△ABF2的周长=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a,∴△ABF2的周长为4a.【答案】(1)B(2)4a一般地,关于椭圆的一些问题我们常常考虑利用其定义,这时候就要关注它的两个焦点,把问题转化为探讨椭圆上的点到两个焦点的距离之和的问题.椭圆eq\f(x2,25)+eq\f(y2,9)=1上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为(A)A.5 B.6C.4 D.10解析:点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a=10,10-5=5.类型二椭圆标准方程的识别【例2】当3<k<9时,指出方程eq\f(x2,9-k)+eq\f(y2,k-3)=1表示的曲线.【分析】比较9-k与k-3的大小,确定曲线类型.【解】∵3<k<9,∴9-k>0,k-3>0.(1)当9-k>k-3,即3<k<6时,方程表示焦点在x轴上的椭圆;(2)当9-k=k-3,即k=6时,方程表示圆x2+y2=3;(3)当9-k<k-3,即6<k<9时,方程表示焦点在y轴上的椭圆.依据椭圆标准方程的两种形式可知,焦点在哪一坐标轴上,哪一变量对应的分母大,即x2对应的分母大,焦点就在x轴上;y2对应的分母大,焦点就在y轴上.已知曲线C:eq\f(x2,k-5)+eq\f(y2,3-k)=-1,则“4≤k<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件.解析:将曲线C的方程化为:eq\f(x2,5-k)+eq\f(y2,k-3)=1,若曲线C是焦点在y轴上的椭圆,则k-3>5-k>0,即4<k<5,故“4≤k<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件.类型三求椭圆的标准方程【例3】写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)a=4,c=3,焦点在y轴上;(2)a+b=8,c=4;(3)经过点A(eq\r(3),-2)和点B(-2eq\r(3),1).【分析】求椭圆的标准方程时,要先推断焦点位置,确定椭圆标准方程的形式,最终由条件确定a和b的值.【解】(1)焦点在y轴上,设标准方程为eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1(a>b>0),则a2=16,b2=a2-c2=16-9=7.∴椭圆的标准方程为eq\f(y2,16)+eq\f(x2,7)=1.(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a+b=8,,a2-b2=16,))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a+b=8,,a+ba-b=16,))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a+b=8,,a-b=2,))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=5,,b=3.))∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)+eq\f(y2,9)=1或eq\f(y2,25)+eq\f(x2,9)=1.(3)解法一:①当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0).依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)2,a2)+\f(-22,b2)=1,,\f(-2\r(3)2,a2)+\f(1,b2)=1,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2=15,,b2=5.))所以所求椭圆的方程为eq\f(x2,15)+eq\f(y2,5)=1.②当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1(a>b>0).依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(-22,a2)+\f(\r(3)2,b2)=1,,\f(1,a2)+\f(-2\r(3)2,b2)=1,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2=5,,b2=15.))(舍去).故所求椭圆的方程为eq\f(x2,15)+eq\f(y2,5)=1.解法二:设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n).依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m+4n=1,,12m+n=1,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m=\f(1,15),,n=\f(1,5).))所以所求椭圆的方程为eq\f(x2,15)+eq\f(y2,5)=1.确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面1“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在中心为原点的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以推断方程的形式;2“定量”是指确定a2,b2的详细数值,常依据条件列方程求解.求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)经过两点(2,-eq\r(2)),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,\f(\r(14),2)));(2)过点(eq\r(3),-eq\r(5)),且与椭圆eq\f(y2,25)+eq\f(x2,9)=1有相同的焦点.解:(1)解法一:若焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0).由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)+\f(2,b2)=1,,\f(1,a2)+\f(14,4b2)=1,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)=\f(1,8),,\f(1,b2)=\f(1,4).))所以所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)+eq\f(y2,4)=1.若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1(a>b>0).由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,b2)+\f(2,a2)=1,,\f(1,b2)+\f(14,4a2)=1,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)=\f(1,8),,\f(1,a2)=\f(1,4).))即a2=4,b2=8,则a2<b2,与题设中a>b>0冲突,舍去.综上,所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)+eq\f(y2,4)=1.解法二:设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).将两点(2,-eq\r(2)),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,\f(\r(14),2)))代入,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4A+2B=1,,A+\f(14,4)B=1,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A=\f(1,8),,B=\f(1,4),))所以所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)+eq\f(y2,4)=1.(2)因为所求椭圆与椭圆eq\f(y2,25)+eq\f(x2,9)=1的焦点相同,所以其焦点在y轴上,且c2=25-9=16.设它的标准方程为eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1(a>b>0).因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=16.①又点(eq\r(3),-eq\r(5))在椭圆上,所以eq\f(-\r(5)2,a2)+eq\f(\r(3)2,b2)=1,即eq\f(5,a2)+eq\f(3,b2)=1.②由①②得b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)+eq\f(x2,4)=1.类型四素养提升椭圆中的焦点三角形问题【例4】如图所示,已知椭圆的方程为eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1,若点P在其次象限,且∠PF1F2=120°,求△PF1F2的面积.【思路分析】由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|和|PF2|的方程,解方程组求得|PF1|,再用面积公式求解.【精解详析】由已知a=2,b=eq\r(3),得c=eq\r(a2-b2)=eq\r(4-3)=1,|F1F2|=2c=2,在△PF1F2中,由余弦定理,得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|·cos120°,即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.①由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4,即|PF2|=4-|PF1|.②②代入①解得|PF1|=eq\f(6,5).所以S△PF1F2=eq\f(1,2)|PF1||F1F2|·sin120°=eq\f(1,2)×eq\f(6,5)×2×eq\f(\r(3),2)=eq\f(3\r(3),5),即△PF1F2的面积是eq\f(3,5)eq\r(3).【解后反思】椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形,解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等学问.对于求焦点三角形的面积,若已知∠F1PF2,可利用S=eq\f(1,2)absinC把|PF1|·|PF2|看成一个整体,利用定义|PF1|+|PF2|=2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|,这样可以削减运算量.设M是椭圆eq\f(x2,25)+eq\f(y2,16)=1上一点,F1、F2为焦点,∠F1MF2=eq\f(π,6),则S△MF1F2=(C)A.eq\f(16\r(3),3) B.16(2+eq\r(3))C.16(2-eq\r(3)) D.16解析:设|MF1|=r1,|MF2|=r2,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r1+r2=10,r\o\al(2,1)+r\o\al(2,2)-\r(3)r1r2=36)),∴r1r2=64(2-eq\r(3)),∴S△MF1F2=eq\f(1,2)r1r2sineq\f(π,6)=16(2-eq\r(3)).1.设P是椭圆eq\f(x2,25)+eq\f(y2,16)=1上的点.若F1、F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于(D)A.4 B.5C.8 D.10解析:|PF1|+|PF2|=2a=10.2.若方程eq\f(x2,4)+eq\f(y2,8sinα)=1表示焦点在y轴上的椭圆,则锐角α的取值范围是(C)A.(eq\f(π,3),eq\f(π,2)) B.[eq\f(π,3),eq\f(π,2))C.(eq\f(π,6),eq\f(π,2)) D.[eq\f(π,6),eq\f(π,2))解析:∵方程eq\f(x2,4)+eq\f(y2,8sinα)=1表示焦点在y轴上的椭圆,∴8sinα>4,sinα>eq\f(1,2).∵α为锐角,∴eq\f(π,6)<α<eq\f(π,2).3.椭圆的两焦点坐标分别为(-2,0)和(2,0),且椭圆过点(eq\f(5,2),-eq\f(3,2)),则椭圆方程是(D)A.eq\f(y2,8)+eq\f(x2,4)=1 B.eq\f(y2,10)+eq\f(x2,6)=1
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