2024-2025学年高考数学考点第十二章坐标系与参数方程不等式选讲绝对值不等式理VIP

PAGEPAGE8肯定值不等式1.肯定值三角不等式(1)定理1：假如a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．几何说明：用向量a，b分别替换a，b.①当a与b不共线时，有|a＋b|＜|a|＋|b|，其几何意义为两边之和大于第三边；②若a，b共线，当a与b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b反向时，|a＋b|＜|a|＋|b|；由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为肯定值三角不等式．③定理1的推广：假如a，b是实数，那么||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(2)定理2：假如a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．几何说明：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.当点B不在点A，C之间时：①点B在A或C上时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；②点B不在A，C上时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.应用：利用该定理可以确定肯定值函数的值域和最值．2.两类含肯定值不等式的证明技巧一类是比较简洁的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉肯定值转化为常见的不等式证明，或利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明．另一类是综合性较强的函数型含肯定值的不等式，往往可考虑利用一般状况成立，则特别状况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．3.(1)利用肯定值不等式求函数最值时，要留意利用肯定值的性质进行转化，构造肯定值不等式的形式．(2)求最值时要留意等号成立的条件，它也是解题的关键．4.含肯定值的综合问题，综合性强，所用到的学问多，在解题时，要留意应用肯定值不等式的性质、推论及已知条件，还要留意配方等等价变形，同时在应用肯定值不等式放缩性质求最值时，还要留意等号成立的条件．5.肯定值不等式的解法(1)含肯定值的不等式|x|<a与|x|>a的解集：不等式a>0a＝0a<0|x|<a(－a，a)∅∅|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用肯定值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类探讨的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．6．含有肯定值的不等式的性质(1)假如a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)假如a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．1．（2024•上海）不等式的解集为__________．【答案】【解析】由得，即故答案为：．2．（2024•上海）不等式的解集为__________．【答案】或【解析】由，解得：或，故不等式的解集是或，故答案为：或．3．（2024•上海）不等式的解集为__________．【答案】【解析】，，，故不等式的解集是，故答案为：．4．（2024•江苏）设，解不等式．【解析】．，或或，或或，，不等式的解集为．5．（2024•新课标Ⅰ）已知函数．（1）画出的图象；（2）求不等式的解集．【解析】函数，图象如图所示（2）由于的图象是函数的图象向左平移了一个单位所得，（如图所示）直线向左平移一个单位后表示为，联立，解得横坐标为，不等式的解集为．6．（2024•新课标Ⅱ）已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【解析】（1）当时，，当时，不等式化为，即，；当时，不等式化为，此时；当时，不等式化为，即，．综上，当时，不等式的解集为或；（2）．又，，得或，解得：或．综上，若，则的取值范围是，，．7．（2024•江苏）设，解不等式．【解析】，，或或，或或，不等式的解集为或．8．（2024•新课标Ⅱ）已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，，求的取值范围．【解析】（1）当时，，，当时，，恒成立，；当时，恒成立，；综上，不等式的解集为；（2）当时，在上恒成立；当时，，，不满意题意，的取值范围为：，9．（2024•新课标Ⅰ）已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围．【解析】（1）当时，，由，或，解得，故不等式的解集为，，（2）当时不等式成立，，即，即，，，，，，，，故的取值范围为，．10．（2024•新课标Ⅱ）设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【解析】（1）当时，．当时，，解得，当时，恒成立，即，当时，，解得，综上所述不等式的解集为，，（2），，，，，解得或，故的取值范围，，．11．（2024•新课标Ⅰ）已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，，求的取值范围．【解析】（1）当时，，是开口向下，对称轴为的二次函数，，当时，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，此时的解集为，；当，时，，．当时，单调递减，单调递增，且．综上所述，的解集为，；（2）依题意得：在，恒成立，即在，恒成立，则只需，解得，故的取值范围是，．12．（2024•新课标Ⅲ）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．【解析】（1），，当时，，解得；当时，恒成立，故；综上，不等式的解集为．（2）原式等价于存在使得成立，即，设．由（1）知，，当时，，其开口向下，对称轴方程为，；当时，，其开口向下，对称轴方程为，；当时，，其开口向下，对称轴方程为，（2）；综上，，的取值范围为，．强化训练强化训练1．（2024•安庆模拟）已知函数，则不等式的解集为A． B． C．，， D．【答案】C【解析】由，得，作出函数与的图象如图，当时，由，得，再令，当时，该函数为增函数，而（1），时，函数与的图象的交点的横坐标为1，由对称性可得，时，函数与的图象的交点的横坐标为，由图可知，不等式的解集为，，．故选．2．（2024•内江三模）已知函数，函数的定义域为．（1）求实数的取值范围；（2）求解不等式．【解析】（1），，的定义域为，恒成立，，的取值范围为，．（2）．，或或，或或，，不等式的解集为，．3．（2024•运城模拟）已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若的解集包含，，求的取值范围．【解析】（1）时，当时，等价于，解得，当时，等价于，该不等式不成立，当时，等价于，解得所以不等式的解集为．（2）的解集包含，，即，时恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，所以，解得或所以的取值范围是．4．（2024•东湖区校级模拟）已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，若的图象与轴围成的三角形面积等于6，求的值．【解析】（1）当时，．，或或，或或，，不等式的解集为．（2）当时，，当时，令，则或，又由，得，的图象与轴围成的三角形面积等于6，，解得或（舍．5．（2024•安徽模拟）已知函数，．（1）当时，求不等式；（2）对随意．关于的不等式总有解，求实数的取值范围．【解析】（1）由已知，不等式即为，则或或解得或或，故不等式的解集为，．（2）对随意．关于的不等式总有解，而，当且仅当，即时取得最小值．又（当且仅当时取等号），故只需，解得，即实数的取值范围为．6．（2024•碑林区校级模拟）已知，．（1）当时，求不等式的解集；（2）求（2）（3）的最小值．【解析】（1）当时，．，或，或，，不等式的解集为．（2）（2）（3），关于的函数（2）（3）在上单的递减，在上单的递增，当时，（2）（3）的最小值为．7．（2024•松原模拟）已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若对随意成立，求实数的取值范围．【解析】（1）当时，．，或或，，不等式的解集为．（2），，又对随意成立，，，，实数的取值范围是，．8．（2024•来宾模拟）设函数．（1）求不等式的解集；（2）若的解集不为空集，求实数的取值范围．【解析】（1），，或或，或或，不等式的解集为或或．（2）的解集不为空集等价于恒成立，即恒成立，，，或，或，的取值范围为，，．9．（2024•鼓楼区校级模拟）已知．（1）若，求的最小值；（2）若，求实数的取值范围．【解析】（1）若，则，故（2）；（2）令得，此时，所以，．10．（2024•青羊区校级模拟）已知函数．（1）解不等式；（2）已知，若成立，求实数的取值范围．【解析】（1）由题知，当时，，解得，当时，即，解得，当时，即，无解，综上可得．（2）（当且仅当时取等号），令，时，，要使不等式恒成立，只需，即．11．（2024•东湖区校级模拟）已知函数．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）当时，若的图象与轴围成的三角形面积等于6，求的值．【解析】（Ⅰ）当时，，因为，所以①当时，则，解得，即；②当时，则，无解；③当时，则，解得，综上，，即解集为：．（Ⅱ）当时，当时，，当时，，当时，，综上，，画出函数的图象如图所示：则与轴围成的三个顶点分别为：，由题设可得：，化简得，解得或不合题意，舍去故的值是．12．（2024•让胡路区校级三模）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．【解析】（1）由题意得．①当时，不等式可化为，解得，所以．②当时，不等式可化为，解得，所以．③当时，不等式可化为，解得，所以．综上可得不等式的解集为．（2）由（1）知，对于