新高考数学二轮复习强化练习技巧03 填空题解法与技巧（讲）（解析版）

第二篇解题技巧篇技巧03填空题解法与技巧（讲）考向速览热点追踪众所周知，高考的核心功能是“立德树人，服务选才，引导教学”，特别是在发挥“立德树人”功能方面，更加注重“五育”并举，它不但在选择题中有所体现，而且，在填空题中也屡屡出现相关背景的题目，值得我们关注.1.弘扬传统文化，渗透爱国教育【典例1】（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是SKIPIF1<0，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边SKIPIF1<0，则该三角形的面积SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0.【分析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.【典例2】（2021·浙江·高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为SKIPIF1<0，小正方形的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.【答案】25【解析】【分析】分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可.【详解】由题意可得，大正方形的边长为：SKIPIF1<0，则其面积为：SKIPIF1<0，小正方形的面积：SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0.故答案为：25.【典例3】（2020·浙江·统考高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列SKIPIF1<0就是二阶等差数列，数列SKIPIF1<0SKIPIF1<0的前3项和是________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据通项公式可求出数列SKIPIF1<0的前三项，即可求出．【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.【综合分析】以我国古代数学家的研究成果为背景，设计相关计算问题，考查学生的发现问题解决问题的能力、数学运算能力，以及数学文化素养，同时，引导师生关注我国传统数学文化，将爱国主义教育融入其中，展示了数学之美，讴歌了中国古代劳动人民的勤劳与智慧，以及为人类文明作出的突出贡献．2.弘扬民间艺术，渗透劳美教育【典例4】（2021·全国·高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为SKIPIF1<0的长方形纸，对折1次共可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两种规格的图形，它们的面积之和SKIPIF1<0，对折2次共可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三种规格的图形，它们的面积之和SKIPIF1<0，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折SKIPIF1<0次，那么SKIPIF1<0______SKIPIF1<0.【答案】5SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得SKIPIF1<0，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）由对折2次共可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三种规格的图形，所以对着三次的结果有：SKIPIF1<0，共4种不同规格（单位SKIPIF1<0；故对折4次可得到如下规格：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为SKIPIF1<0的等比数列，首项为120SKIPIF1<0,第n次对折后的图形面积为SKIPIF1<0，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为SKIPIF1<0种（证明从略），故得猜想SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式作差得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【典例5】（2020·海南·高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】利用SKIPIF1<0求出圆弧SKIPIF1<0所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形SKIPIF1<0的面积，求出直角SKIPIF1<0的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.【详解】设SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0与圆弧SKIPIF1<0相切于SKIPIF1<0点，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为等腰直角三角形；在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；等腰直角SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0；扇形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，所以阴影部分的面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【综合分析】1.以学生研究民间剪纸艺术的折纸为背景设计试题，考查了数列的概念与数列的求和计算，突出了“德育为先，立德树人”的思想理念.考查学生的逻辑思维能力、数学建模及数学运算能力.又对学生进行了“美育”及劳动教育.2.以劳动教育为背景的考题，再现了学生到工厂劳动实践的场景，引导学生关注劳动、尊重劳动、参加劳动，体现了劳动教育的要求．在考查几何知识、三角知识的同时，培养学生的数学应用意识，较好地发挥高考试题在培养劳动观念中的引导作用.以劳动教育为背景的考题，多以社会实践、动手操作实验等为题材．3.关注赛事规则，渗透体育教育【典例6】（2019·全国·高考真题（理））甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18【解析】【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以SKIPIF1<0获胜的概率是SKIPIF1<0前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以SKIPIF1<0获胜的概率是SKIPIF1<0综上所述，甲队以SKIPIF1<0获胜的概率是SKIPIF1<0【综合分析】本题以学生喜欢的体育项目为背景设计试题，情境贴近实际，倡导学生关注体育赛事，积极参加体育锻炼，体现了数学抽象和数学运算等核心素养，凸显了“体育”教育功能．4.立足社区生活，增强实践意识【典例7】（2022·全国·统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】SKIPIF1<0##0.3【分析】根据古典概型计算即可【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为SKIPIF1<0甲、乙都入选的方法数为SKIPIF1<0，所以甲、乙都入选的概率SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【典例8】（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0的大小评价在SKIPIF1<0这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在SKIPIF1<0这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在SKIPIF1<0时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在SKIPIF1<0时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在SKIPIF1<0这三段时间中，在SKIPIF1<0的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】SKIPIF1<0表示区间端点连线斜率的负数，在SKIPIF1<0这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在SKIPIF1<0这三段时间中，甲企业在SKIPIF1<0这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在SKIPIF1<0的污水治理能力最强．④错误；在SKIPIF1<0时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在SKIPIF1<0时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【点评】以社区服务为背景，引导学生关注社会实践.以污水治理为背景，结合函数图象理解平均变化率、瞬时变化率即导数的几何意义，要求学生具备敏锐的观察力、分析问题的能力，启迪学生理解数学语言，用数学眼光认识世界，用数学的思维思考世界，体现了逻辑推理、数据分析等核心素养，有助于引导学生关注现实、增强环保意识．方法技巧典例分析01直接法【核心提示】直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.．【典例分析】典例1.（2022·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）在平面直角坐标系中，已知直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0在第二象限交于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0.设点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】先根据题设条件可得SKIPIF1<0，再联立直线方程和椭圆方程，求出点SKIPIF1<0的横坐标后求出弦长SKIPIF1<0，再根据点点距可得SKIPIF1<0，从而得到关于SKIPIF1<0的方程，求出其解后可得SKIPIF1<0的值.【详解】设SKIPIF1<0，椭圆的上顶点为SKIPIF1<0，左焦点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因SKIPIF1<0在第二象限且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在第二象限且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0SKIPIF1<0.而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（负解舍去）.故答案为：SKIPIF1<0.典例2.（2022·天津·统考高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为____________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为____________【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率.【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,则SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.02特例法【核心提示】当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例.特殊化法是“小题小做”的重要策略.但要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．【典例分析】典例3.（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数SKIPIF1<0_______．①SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0是奇函数．【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一，SKIPIF1<0均满足）【分析】根据幂函数的性质可得所求的SKIPIF1<0.【详解】取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，满足①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时有SKIPIF1<0，满足②，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是奇函数，满足③.故答案为：SKIPIF1<0（答案不唯一，SKIPIF1<0均满足）典例4.（2021·浙江·统考高考真题）已知椭圆SKIPIF1<0，焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若过SKIPIF1<0的直线和圆SKIPIF1<0相切，与椭圆在第一象限交于点P，且SKIPIF1<0轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】不妨假设SKIPIF1<0，根据图形可知，SKIPIF1<0，再根据同角三角函数基本关系即可求出SKIPIF1<0；再根据椭圆的定义求出SKIPIF1<0，即可求得离心率．【详解】如图所示：不妨假设SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．03正反互推法【核心提示】多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论．这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论．【典例分析】典例5.（2022·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，给出下列命题：①若对任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0一定不是奇函数；②若对任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为奇函数或偶函数；③若对任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0必为偶函数；④若对任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上增函数，则SKIPIF1<0必为奇函数；其中为真命题的序号为__（请写出所有真命题的序号）．【答案】①③④【分析】根据函数奇偶性的定义一一判断求解.【详解】对于①，对任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，但奇函数中SKIPIF1<0，矛盾，所以SKIPIF1<0一定不是奇函数，①正确；对于②，SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0时满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时满足SKIPIF1<0，则函数在SKIPIF1<0上为非奇非偶函数，②错误；对于③，对任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数必为偶函数，③正确；对于④，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上增函数，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0必为奇函数，④正确，故答案为:①③④.典例6.（2022·北京·统考高考真题）已知数列SKIPIF1<0各项均为正数，其前n项和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．给出下列四个结论：①SKIPIF1<0的第2项小于3；

②SKIPIF1<0为等比数列；③SKIPIF1<0为递减数列；

④SKIPIF1<0中存在小于SKIPIF1<0的项．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④【分析】推导出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【详解】由题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，两式作差可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，①对；假设数列SKIPIF1<0为等比数列，设其公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不合乎题意，故数列SKIPIF1<0不是等比数列，②错；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，数列SKIPIF1<0为递减数列，③对；假设对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，与假设矛盾，假设不成立，④对.故答案为：①③④.04数形结合法【核心提示】一些含有几何背景的填空题，若能“数中思形”“以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.【典例分析】典例7.（2023春·浙江·高三校联考开学考试）三棱锥SKIPIF1<0内接于半径为SKIPIF1<0的球O，且SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为________．【答案】SKIPIF1<0【分析】设O到CD的距离为SKIPIF1<0，点M到直线CD的距离为d，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，利用函数导数求出面积最大值，从而根据锥体的体积公式即可求解．【详解】如图，取AB的中点为M，则SKIPIF1<0，设O到CD的距离为SKIPIF1<0，点M到直线CD的距离为d，A，B两点到平面MCD的距离分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面MCD时取等号．故答案为：SKIPIF1<0典例8.（2021·北京·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0，给出下列四个结论：①若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恰有2个零点；②存在负数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有1个零点；③存在负数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有3个零点；④存在正数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是_______．【答案】①②④【分析】由SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0，考查直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，①正确；对于②，考查直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，对函数SKIPIF1<0求导得SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0只有一个零点，②正确；对于③，当直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有两个交点，若函数SKIPIF1<0有三个零点，则直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有两个交点，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有一个交点，所以，SKIPIF1<0，此不等式无解，因此，不存在SKIPIF1<0，使得函数SKIPIF1<0有三个零点，③错误；对于④，考查直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，对函数SKIPIF1<0求导得SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0有三个零点，④正确.故答案为：①②④.典例9.（2022·天津·统考高考真题）设SKIPIF1<0，对任意实数x，记SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0至少有3个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围为______.【答案】SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分析可知函数SKIPIF1<0至少有一个零点，可得出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的取值范围，然后对实数SKIPIF1<0的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数SKIPIF1<0的不等式，综合可求得实数SKIPIF1<0的取值范围.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.要使得函数SKIPIF1<0至少有SKIPIF1<0个零点，则函数SKIPIF1<0至少有一个零点，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，作出函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的图象如下图所示：此时函数SKIPIF1<0只有两个零点，不合乎题意；②当SKIPIF1<0时，设函数SKIPIF1<0的两个零点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，要使得函数SKIPIF1<0至少有SKIPIF1<0个零点，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，作出函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的图象如下图所示：由图可知，函数SKIPIF1<0的零点个数为SKIPIF1<0，合乎题意；④当SKIPIF1<0时，设函数SKIPIF1<0的两个零点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，要使得函数SKIPIF1<0至少有SKIPIF1<0个零点，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.综上所述，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.05构造法【核心提示】构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程，构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、不等式、数列、向量等具体的数学模型，从而转化为自己熟悉的问题，达到快速解题的目的.利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等.【典例分析】典例10.（2022·全国·统考高考真题）已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别是函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的极小值点和极大值点．若SKIPIF1<0，则a的取值范围是____________．【答案】SKIPIF1<0【分析】法一：依题可知，方程SKIPIF1<0的两个根为SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象有两个不同的交点，构造函数SKIPIF1<0，利用指数函数的图象和图象变换得到SKIPIF1<0的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为SKIPIF1<0，所以方程SKIPIF1<0的两个根为SKIPIF1<0，即方程SKIPIF1<0的两个根为SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象有两个不同的交点，因为SKIPIF1<0分别是函数SKIPIF1<0的极小值点和极大值点，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，所以当时SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0图象在SKIPIF1<0上方当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0图象在SKIPIF1<0下方SKIPIF1<0，图象显然不符合题意，所以SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设过原点且与函数SKIPIF1<0的图象相切的直线的切点为SKIPIF1<0，则切线的斜率为SKIPIF1<0，故切线方程为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则切线的斜率为SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象有两个不同的交点，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导SKIPIF1<0=0的两个根为SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0分别是函数SKIPIF1<0的极小值点和极大值点，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，此时若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，此时若有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别是函数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的极小值点和极大值点，则SKIPIF1<0，不符合题意；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，此时若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时若有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别是函数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的极小值点和极大值点，且SKIPIF1<0，则需满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．典例11.（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆SKIPIF1<0在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且SKIPIF1<0，则l的方程为___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】令SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用点差法得到SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐标，再根据SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即可得解；【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法令SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用点差法得到SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐标，再根据SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即可得解；解：令SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以直线SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法解：由题意知，点SKIPIF1<0既为线段SKIPIF1<0的中点又是线段MN的中点，设SK