人教A版高一数学必修一第一学期第一章1.5全称量词与存在量词

人教A版高一数学必修1第一学期第一章章1.5全称量词与存在量词第一章集合与常用逻辑用语1.5.全称量词与存在量词核心素养目标1.数学抽象：通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.2.直观想象：掌握判断全称量词命题与存在量词命题.3.逻辑推理：能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定;能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.4.数学运算：借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算素养.教学目标教学重点：掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学难点：.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．情境导入请判断下列命题的真假？并说一说命题中红色的词有什么意思？对这些命题的真假判断起什么作用？(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)有些实数的绝对值是正数；(4)某些平行四边形是菱形．解析：首先要弄清楚命题是全称命题还是存在性命题，再针对不同的形式加以否定．提示：在(1)中，其否命题是“并非所有的矩形是平行四边形”，也就是“存在一个矩形不是平行四边形”，它与“所有的矩形都不是平行四边形”有区别，前者是指“存在一个矩形不是平行四边形”，并不排除有其他的矩形是平行四边形．(1)存在一个矩形不是平行四边形，假命题；(2)存在一个素数不是奇数，真命题；(3)所有实数的绝对值都不是正数，假命题；(4)每一个平行四边形都不是菱形，假命题．下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系?(1)x>3(2)2x+1是整数(3)对所有的xR，x>3(4)对任意一个xZ，2x+1是整数是是不是不是(3)在(1)的基础上，用量词“所有的”对变量

x进行限定;

关系:(4)在(2)的基础上，用短语”对任意一个”对变量x进行限定.情境导入知识讲解思考：下列语句是命题吗?比较(1)和(3),(2)和(4),他们之间有什么关系吗?(1)x＞3；(2)2x＋1＝3；(3)对所有的x∈R，x＞3；(4)存在一个x∈R，使2x＋1＝3．解析：我们知道，命题是可以判断真假的陈述句，语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x限定；(4)在(2)的基础上，用“存在一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题，并且(3)是全称命题，(4)是存在性命题．知识讲解预习课本，思考并完成以下问题1．全称量词、全称命题的定义是什么？2．存在量词、特称命题的定义是什么？3．全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？知识讲解全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号全称命题含有全称量词的命题形式"对M中任意一个，有成立"，可用符号简记为""1．全称量词与全称命题读作：对任意x属于M，有p(x)成立知识讲解

(1)假命题，

举反例：2;

知识讲解

真命题假命题假命题11知识讲解2．存在量词与特称命题

存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示“”特称命题含有存在量词的命题形式“存在中的元素，成立”可用符号简记为读作：“存在一个x属于M，使p(x)成立”12知识讲解3．含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：

；存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：

．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．常见正面词语的否定正面词语有是等于大于小于否定没有不是不等于不大于不小于正面词语或且都是至少有一个至多有一个否定且或不都是一个也没有至少有两个知识讲解原命题的否定：自习课上，2班有一个同学说话。原命题的否定：自习课上，2班所有同学都不说话。想一想：说出下列命题的否定：（1）自习课上，2班所有的同学都不说话；（2）自习课上，2班有的同学说话；（3）命题“每个人的指纹都不相同”的否定为（

）A.每个人的指纹都相同；B.所有人的指纹都相同；C.存在一个人的指纹相同；D.存在两个人的指纹相同

D

知识讲解通过对上述命题的否定，你发现什么规律？答：从形式看，全称命题的否定是特称性命题；特称性命题的否定是全称命题知识讲解

原命题：

全称量词命题命题的否定：存在量词命题

变量词，否结论真假假真真假原命题与命题的否定真假相反知识讲解

原命题：

存在量词命题命题的否定：全称量词命题变量词，否结论

知识讲解归纳总结新知

知识讲解命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)含有一个量词的命题的否定变量词，否结论知识讲解知识讲解知识讲解例如

1.命题“所有人都遵纪守法”的否定为（

）A.所有人都不遵纪守法；

B.有的人遵纪守法；C.有的人不遵纪守法；

D.至少有一人遵纪守法.2.命题“乌鸦都是黑色的”的否定为（

）

A.所有乌鸦都不是黑色的；

B.有的乌鸦是黑色的；

C.至少有一个乌鸦是黑色的；

D.至少有一个乌鸦不是黑色的.C

D

省了“所有的”知识讲解23知识讲解

全称量词命题与存在量词命题的辨析例1判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题.(1)有些素数的和仍是素数;(2)自然数的平方是正数.解:因为(1)含有存在量词,所以命题(1)为存在量词命题;又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”,所以(2)含有全称量词,故为全称量词命题.综上所述:(1)为存在量词命题,(2)为全称量词命题.24知识讲解判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路知识讲解

知识讲解

知识讲解

(1)不是命题;(2)全称量词命题;(3)存在量词命题.28知识讲解

全称量词存在量词量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给……存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某些、有的……符号命题含有全称量词的命题是全称量词命题含有存在量词的命题是存在量词命题命题形式“对中任意一个x∈M，p(x)成立”符号简记为“”“存在中的元素x∈M，p(x)成立”符号简记为“”1、全称量词与存在量词∀x∈M,p(x)∃x∈M,p(x)读作“任意”读作“存在”知识讲解全称量词与存在量词的真假判断

全称量词命题“

”

存在量词命题“

”判断为真需要对集合中的每个元素，证明成立；只需在集合中找到一个元素，使成立即可；（举例证明）判断为假只需在集合中找到一个元素，使不成立即可。（举反例）需要证明在集合中，使成立的元素不存在。∀x∈M,p(x)∃x∈M,p(x)知识讲解小结

判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法(1)要判断一个全称量词命题为真,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只需在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假.(2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假.32知识讲解

1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论,即得其否定.2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.知识讲解

全称量词命题与存在量词命题的否定例3写出下列各命题的否定.(1)p:对任意的正数x,>x-1;(2)q:三角形有且仅有一个外接圆;(3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180°;(4)s:有些质数是奇数.分析:先判断每个命题是全称量词命题还是存在量词命题,再写出相应的否定.知识讲解

求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M,a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题,实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值),即a>f(x)max(或a<f(x)min).(2)对于存在量词命题“∃x∈M,a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题,实质就是不等式能成立问题,通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值),即a>f(x)min(或a<f(x)max).知识讲解

根据命题的真假求参数的取值范围已知命题“∀x∈R,x2+ax+1≥0”是假命题,求实数a的取值范围.分析:若全称量词命题为假命题,通常转化为其否定形式——存在量词命题为真命题来解决;同理,若存在量词命题为假命题,通常转化为其否定形式——全称量词命题为真命题来解决.解:因为全称量词命题“∀x∈R,x2+ax+1≥0”的否定形式为:“∃x∈R,x2+ax+1<0”.由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题.由于函数f(x)=x2+ax+1是开口向上的抛物线,借助二次函数的图象易知:Δ=a2-4>0,解得a<-2或a>2.所以实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”x∈M,p(x)读作：对任意x属于M，有p(x)成立集合特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”符号简记为：读作：“存在一个x属于M，使p(x)成立”含有全称量词的命题，叫做全称命题含有存在量词的命题，叫做特称命题符号简记为：x∈R,p(x)知识讲解要判定全称命题“x∈M,p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成