简单的线性规划问题教案

高一数学集体备课学案与教学设计章节标题§3.3简单的线性规划问题计划学时3学案作者李旭红学案审核张丹三维目标1．知识与技能：了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；会利用图解法求线性目标函数的最优解。2．过程与方法：在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力；在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力以及运用数形结合思想解题的能力和化归能力。3．情感态度价值观：让学生体验数学来源于生活又服务于生活，品尝学习数学的乐趣。教学重点教学难点重点：画可行域；在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。难点：把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解第一课时简单的线性规划问题（截距型）复习：二元一次不等式（组）与平面区域画出不等式组所表示的平面区域新课：例1：设，式中变量x,y满足下列条件：求z的最大，最小值。答案：经过点Ｂ（１，１）的直线l1所对应的t最小．所以zmax=2×5+2=12zmin=2×1+1=3归纳基本概念：线性约束条件：约束条件——变量x,y满足的一组条件叫做变量x,y的约束条件线性约束条件——对变量x,y的约束条件都是关于x,y的一次不等式，则称约束条件为线性约束条件。线性目标函数目标函数——z=f(x,y)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析式，叫做目标函数；线性目标函数——z=f(x,y)是关于变量x,y的一次解析式时，则目标函数又称为线性目标函数。线性规划——求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。可行域——满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。最优解——分别使目标函数取得最大值和最小值的可行解，叫做最优解。例：A（5，2）B（1，1）即为最优解。线性规划问题的一般步骤：作出可行域；将线性目标函数化成斜截式作一组平行线；数形结合求最优解；求最值。变式：求最值（1）（2）（3）答案：（1）23，13（2）50，16（3）8，例2：x,y满足约束条件求使目标函数k=6x+8y取得最大值即相应点的坐标答案：最大值为40，点A（0，5）变式：（1）（2）的最大值（3）的最值（4）的最大值思考：第二课时非线性规划问题（距离型和斜率型）复习截距型：【2012高考真题新课标理14】设满足约束条件：；则的取值范围为【答案】新课：例1：变量x,y满足下列条件：，求下列最值：（1）（2）（3）（4）例2：变量x,y满足下列条件：，求下列最值：（1）（2）（3）（4）例3、设（），式中变量x,y满足下列条件：，求的最大值和最小值。第三课时、线性规划的实际应用类型一：给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小.类型二：受到一定数量的人力、物力资源的限制，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大？例1：营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元.为了满足营养学家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B各多少克？分析：将已知数据列成下表：食物/kg碳水化合物/kg蛋白质/kg脂肪/kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07解：若设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z由题设条件列出约束条件其目标函数z=28x+21y.二元一次不等式组①等价于作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域.考虑z=28x+21y,将它变形为,这是斜率为、随z变化的一族平行直线.是直线在y轴上的截距，当取得最小值时，z的值最小.当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y取得最小值.由图可见，当直线z=28x+21y经过可行域上的点M时，纵截距最小，即z最小.解方程组得点M(,)，因此，当,时，z=28x+21y取最小值，最小值为16.答：每天食用食物A约143克，食物B约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元例5、要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，根据题意可得：目标函数为z=x+y，作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域：作出在一组平行直线x+y=t（t为参数）中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线x+3y=37和直线2x+y=15的交点A（），直线方程为x+y=.由于都不是整数，而最优解（x，y）中，x、y必须满足x，y∈Z，所以，可行域内点()不是最优解.经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线是x+y=12,经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.答：要截得所需规格的三种钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张，两种方法都最少要截得两种钢板共12张.课堂小结1、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）画，首先要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域），画出目标函数的直线l0；（2）移，观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解；（3）求