2022年高考数学（浙江专用）总复习教师用书 8章

第八章立体几何与空间向量

第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图

最新考纲1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特

征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、

圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用

斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图

与直观图，了解空间图形的不同表示形式.

I基础诊配梳理自测，理解记忆

知识梳理

1.简单多面体的结构特征

(1)棱柱的侧棱都平行且相等,上、下底面是金笠且平行的多边形；

(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形:

(3)棱台可由隹于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.

2.旋转体的形成

几何体旋转图形旋转轴

圆柱矩形任一边所在的直线

圆锥直角三角形任一直角边所在的直线

圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线

球半圆直任所在的直线

3.三视图

(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的亚西方、亚

左方、亚上方观察几何体画出的轮廓线.

(2)三视图的画法

①基本要求：长对正，高平齐,宽相等.

②在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.

4.直观图

空间几何体的直观图常用斜耳测画法来画，其规则是：(1)原图形中X轴、y轴、Z

轴两两垂直，直观图中，V轴、U轴的夹角为45°(或135°),z，轴与V轴、y轴

所在平面垂直.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别必迁坐标轴.平行于x轴和z

轴的线段在直观图中保持原长度丕变，平行于)，轴的线段长度在直观图中变为原

来的一半.

诊断自测

1.判断正误(在括号内打“J”或“X”)

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()

(3)用斜二测画法画水平放置的NA时，若NA的两边分别平行于x轴和y轴，且

NA=90°,则在直观图中，/A=45°.()

(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.()

解析(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.

(2)反例：如图所示不是棱锥.

(3)用斜二测画法画水平放置的NA时，把X,)，轴画成相交成45°

或135。，平行于x轴的线还平行于x轴，平行于y轴的线还平幺二

行于y轴，所以NA也可能为135°.

(4)正方体和球的三视图均相同，而圆锥的正视图和侧视图相同，且为等腰三角形,

其俯视图为圆心和圆.

答案(1)X(2)X(3)x(4)X

2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()

A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱

解析由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形,

而圆柱的正视图不可能为三角形.

答案A

3.如图，长方体A3CO-AEC。中被截去一部分，其中方-7.C

四〃A,.剩下的几何体是()G

A.棱台B.四棱柱

A

C.五棱柱D.六棱柱

解析由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.

答案C

4.（2016・天津卷）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,

得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为

)

正视图

俯视图

A

解析先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图.曰几何体的正视图和

俯视图可知该几何体为图①，故其侧视图为图②.

答案B

5.正AAOB的边长为小建立如图所示的直角坐标系xOy,则它

的直观图的面积是.

解析画出坐标系voy,作出△04B的直观图。女夕（如图）.0

为O7V的中点.易知DE=3DB（D为04的中点），

：.S^0AB=9率3=乎乂(〃2=粗

答案将

6.（2017•浙江五校联考）如图，正方体ABCO-Ai跟GDi的棱长为

D,G

4,P为3c的中点，Q为线段CG上的动点（异于C点），过点A,

P,Q的平面截该正方体所得的截面记为M.

当CQ=时（用数值表示），M为等腰梯形；

当CQ=4时，M的面积为.

解析连接4尸交。。的延长线于点N,当点Q为CG的中点，即CQ=2时，连

接DiN,则DiN过点Q,PQ统ADi,显然AP=DQ,M为等腰梯形；当。。=4

时，NQ交棱。Di延长线上一点（设为G）,且GA=4,4G过的中点，此时

M为菱形，其对角线长分别为4/和4啦，故其面积为8#.

答案28^6

|考点突破分类讲练，以例求法

考点一空间几何体的结构特征

【例1】（1）给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.

其中正确命题的个数是（）

A.OB.lC.2D.3

（2）以下命题：

①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；

③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.

其中正确命题的个数为（）

A.OB.lC.2D.3

解析（1）①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②

不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所A41J

围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几

何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，"

各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.

（2）由圆台的定义可知①错误，②正确.对于命题③，只有平行亍圆锥底面的平面截

圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确.

答案（1）A（2）B

规律方法（1）关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概

念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一

个反例即可.

（2）圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中

各元素的关系.

（3）既然棱（圆）台是由棱（圆）锥定义的，所以在解决棱（圆）台问题时，要注意“还台

为锥”的解题策略.

【训练1】下列结论正确的是（）

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线

解析如图1知，A不正确.如图2,两个平行平面与底面不立行时，截得的几何

体不是旋转体，则B不正确.

图1图2

若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六

边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误.由母线的概念知，选项D正确.

答案D

考点二空间几何体的三视图（多维探究）

命题角度一由空间几何体的直观图判断三视图

【例2一1】一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）

I俯视

mBBn

ABCD

解析该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且

五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影

距左右两边距离相等，因此选项B适合.

答案B

命题角度二由三视图判定几何体

【例2—2】（1）（2014・全国I豢）如图，网格纸的各小格都是正

方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是

（）

A.三棱锥B.三棱柱

C.四棱锥D.四棱柱

⑵（2015.北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）

A.lB.^2C币D.2

解析（1）由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该

几何体为三棱柱，故选B.

⑵由题中三视图知，此四棱隹的直观图如图所示，其中PC，平

®ABCD,PC=1,底面四边形ABCD为正方形且边长为1,最长'

棱长如=针+12+]2=小"C

答案(1)B(2)C

规律万法（1）由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“正侧一样高，正俯一

样长，俯侧一样宽”的特点确认.

（2）根据三视图还原几何体.

①对柱、锥、台、球的三视图要熟悉.

②明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图.

③根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关

系及相关数据.

提醒对于简单组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要

注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的

位置，区分好实线和虚线的不同.

【训练2]⑴将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，

则该几何体的侧视图为（）

（2）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视

图，则该锥体的正视图可能是（）

cD

解析（1）还原正方体后，将。I,D,4三点分别向正方体右侧面作垂线，AA的

射影为且为实线，被遮挡应为虚线.故选B.

（2）由俯视图和侧视图可知原几何体是四棱锥，底面是长方形，内侧的侧面垂直于

底面，所以正视图为A.

答案（1）B（2）A

考点三空间几何体的直观图

【例3】已知等腰梯形ABCQ,上底CD=1,腰4。=。5=啦，下底AB=3,以

下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图的面积为.

解析如图所示，作出等腰梯形ABCO的直观图：

因为OE=N（啦）2-1=1,

所以O'E=*E'/=乎，

则直观图夕的面积3=与乂乎=乎.

答案坐

规律方法（1）画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”（两坐

标轴成45°或135°）和“二测”（平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z

轴的线段长度不变）来掌握.对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观

图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量.

⑵按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S

一男

直风田―AD&困附.

【训练3】（2017•余姚一中检测）有一块多边形的菜地，它的水

平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），Z

ABC=45°,AB=AD=\tDCLBC,则这块菜地的面积为

解析如图1,在直观图中，过点A作AEJ_3C,垂足为E.

J2

在RtZkABE中，A8=l,NABE=45°,

又四边形AEC。为矩形，AD=EC=i.

・・・8C=BE+£C=^+1.

由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形46CO.

在梯形4BC。中，A'D'=1,B'C=坐+1,A'B'=2.

・••这块菜地的面积S=/vZ7+Be)・A5=：x(l+1+乎)X2=2+坐

答案2+乎

课堂总结

［思想方法］

1.画三视图的三个原则：

⑴画法规则：“长对正，宽相等，高平齐”.

⑵摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方.

(3)实虚线的画法规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见线和棱用虚线画出.

2.棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，

所以在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥”，体现了转化的数学思想.

［易错防范］

1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一

点.

2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同.

3.对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在

三视图中，易忽视实虚线的画法.

课时作业分层训练，提升能力

基础巩固题组

（建议用时：30分钟）

一、选择题

1.关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是（）

A.棱柱的侧棱长都相等

B.棱锥的侧棱长都相等

C.三棱台的上、下底面是相似三角形

D.有的棱台的侧棱长都相等

解析根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等.

答案B

2.如图所示的几何体是棱柱的有（）

①②③④⑤

A.②③⑤B.③④⑤

C.③⑤D.®®

解析由棱柱的定义知③⑤两个几何体是棱柱.

答案C

3.（2017,衡水中学月考）将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该

几何体的侧视图为（）

解析易知侧视图的投影面为矩形，又A尸的投影线为虚线，即为左下角到右上

角的对角线，，该几何体的侧视图为选项D.

答案D

4.如图是一儿何体的直观图、正视图和俯视图，该几何体的侧视图为（）

解析由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面以，且EC

投影在面以D上且为实线，点E的投影点为心的中点，故B正确.

答案B

5.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面

体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）

A.6^2B.4-V2

C.6D.4

解析如图，设辅助正方体的棱长为4,三视图对应的多面体为三

棱锥4—8CD,最长的棱为（4色）2+22=6.

答案C

6.某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作

为该几何体的俯视图的是（）

①④

A.①③B.①④C.②④D.①②③④

解析由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体,

故①③正确.

答案A

7.（2015•全国II卷）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分

的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）

1

AIDD•7

l俯视图

C6D-5

解析由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”

后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥.设正方体的棱长为

1,则三棱锥的体积为Vi=；xJxiXlXl=：.剩余部分的体积V>=13

32o

一!=|.因此,V1=1

V2~5'

答案D

8.（2017・东阳调研）一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图

可能为（）

解析由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面AC。，平面BCD

所以该三棱锥的侧视图可能为选项D.

答案D

二、填空题

9.（2017・台州调研）直观图（如图）中，四边形0,49。为菱形且边/>'

长为2cm,则在xOy原坐标系中四边形为_______（填图形形

状）；面积为cm2.卜X一；

解析将直观图恢复到平面图形（如图），4段3

是OA=2cm,OC=4cm的矩形，SOABC=2X4=8（cm2）.

答案矩形8d―2^

10.（2017•兰州模拟）已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积|

为1的正方形，侧视图是一个面积为啦的矩形，则该正方体的正视图的面积等于

解析由题知此正方体的正视图与侧视图是一样的，正视图的面积与侧视图的面

积相等为也.

答案y[2

11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为

12->||-H

正视图忖视图

L十.

▽

俯视图

解析由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中

%J_平面ABC,M为AC的中点，且3M_LAC.故该二棱锥的

最长棱为PC.在RtABAC中，PC=N^2+AC2=72?+22=2Vl

答案2^2

12.如图，在正方体ABCD-AiBiCiDi中，点P是上底面

AiBiCiDi内一动点，则三棱锥P-ABC的正视图与侧视图的

面积的比值为.

解析三棱锥P-ABC的正视图与侧视图为底边和高均相等

的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.

答案1

13.(2017・金华调研)在三棱锥P—ABC中，PB=6,AC=3,G为的重心，

过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC.则截面的周长为

解析过点G作E尸〃AC交出,PC于点E,F,过E,尸分别

作EN//PB,分别交A5,BC于点、N,M,连接MN,，

EF2FM

四边形EFWN是平行四边形，・・・一丁=不，即EF=MN=2,万元=

53CD

EM1

二-=?即FM=EN=2,，截面的周长为2X4=8.

oJ

答案8

能力提升题组

(建议用时：15分钟)

14.在如图所示的空间直角坐标系O—X”中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,

2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出编号①②③©的四个图，则该四面体

的正视图和俯视图分别为()

A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②

解析如图，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的面图规则判断三棱锥

的正视图为④，俯视图为②.

答案D

15.如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是

()

A.4B.5C.3啦D.3小

解析由三视图知几何体的直观图如图所示，计算可知线段AF\―—P

最长，且AF=y/BF2+AB2=343\、

答案D5治・支・@

16.（2017•绍兴一中检测）已知AABC的平面直观图△从，夕C是边长c

为〃的正三角形，那么原△A3C的面积为.

CD=\[6a.

故S^ABC=2^B•CD=2次.

答案将

17.（2016.北京卷）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为

俯视图

解析由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体，—«

将该几何体还原到长方体中，如图所示，该几何体为四棱柱DX_；一k；

ABCD—A'B'CD'.i""R\/

13/2C'

故该四棱柱的体积V=S/z=zX(l+2)X1x1=5.

3

答案I

18.(2017・宁波检测)正六棱柱ABCDEF-A\B\C\D\E\F\的底面边长为啦，侧棱长为

1,则动点从A沿表面移动到Ei时的最短路程是；动点从A沿表面移动

到"时的最短路程为.

解析侧面展开图如图(1),(2),・••从A沿表面到Ei的最短路

程为AEi=\(AE)2+(EEI)?='(252+1=3.从A沿表面到Di的最短路

程为ADT=7(A。)2+(DDi)(3业2+1=梅

AFEABCD

(1)(2)

答案34历

第2讲空间几何体的表面积与体积

最新考纲了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

I基fit惨断I梳理自测，理解记忆

知识梳理

1.多面体的表(侧)面积

多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积

是侧面积与底面面积之和.

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

尸------；,八

侧面展开图孱翻，

侧面积公式Sia柱侧=2/HS31rlS13台侧=旦（上1±

3.柱、锥、台和球的表面积和体积

表面积体积

柱体（棱柱和圆柱）S发面积=S侧+2s联V=Sh

锥体（棱锥和圆锥）S表面枳=S他+底

SV=-3S-h

V=/（Si.+5下+y/S上S下）h

台体（棱台和圆台）S表面枳=S侧+S上+SF

球S=4nR2V号-R3

诊断自测

1.判断正误（在括号内打“J”或“X”）

⑴锥体的体积等于底面面积与高之积.（）

⑵球的体积之比等于半径比的平方.（）

（3）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.（）

（4）已知球。的半径为H,其内接正方体的边长为小则/?=格.（）

4

解析（1）锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.

（2）球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.

答案（1）X（2）X（3）V（4）V

2.已知圆锥的表面积等于12兀cm2,其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径

为（）

3

A.lcmB.2cmC.3cmD.gcm

解析S表=n产+冗H=n户+nr•2r=3五产=12冗，.*.r2=4,/.r=2（cm）.

答案B

3.（2017.绍兴一中月考）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

）

□正视图侧□觇图

俯视图

A.3兀B.4nC.2n+4D.3n+4

解析由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示.

表面积为2X2+2X^XnXl2+JiXlX2=4+3n.

答案D

4.（201)6•全国H卷）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

「

A.12n32

C.8兀D.4n

解析设正方体的棱长为m则〃=8,解得。=2.设球的半径为R,贝U2R=W。,

即/?=小.所以球的表面积S=4nR2=i2n.

答案A

5.（2016・天津卷）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所

示（单位：m）,则该四棱锥的体积为n?.

俯视图

解析根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2m,高为1m的平行四边形,

四棱锥的高为3m.

故该四棱锥的体积V=|x2XlX3=2（m3）.

答案2

6.（2016•浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,贝！Jt十t十

该几何体的表面积是_______cm2,体积是________cm3.r—APCL

]2

解析由三视图可知，该几何体为两个相同长方体组合，长Fib

方体的长、宽、高分别为4cm、2cm、2cm,其直观图如下：

其体积V=2X2X2X4=32（cm3）,由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正

方形，所以表面积为S=2(2X2X2+2X4X4)—2X2X2=2X(8+32)—8=

72(cm2).

答案7232

|考点突破分类讲练，以例求法

考点一空间几何体的表面积

【例1】（1）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）

正视图侧视图

俯视图

A.8+2吸B.11+2^2

014+272D.15

（2）（2016•全国I卷）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆

2gn

及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是了,则它

的表面积是（）

A.17nB.18n

C.20nD.28n

解析(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面

为直角梯形，如图所示.

直角梯形斜腰长为炳甲=、伍所以底面周长为4+也，侧面

积为2X(4+也)=8+2啦，两底面的面积和为2X；X1*(1+

2)=3.

所以该几何体的表面积为8+2啦+3=11+2啦.

(2)由三视图知该几何体为球去掉了看球所剩的几何体(如图).

O

设球的半径为H,

28

74五

-X-

83R=2.

73

故几何体的表面积S=dX4兀R2+]JIR2=17Ji.

o4

答案(1)B(2)A

规律方法空间几何体表面积的求法.

(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元

素之间的位置关系及数量.

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.

(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.

【训练1】(2016•全国III卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画

出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()

A.18+36V5B.54+18小

C.90D.81

解析由几何体的三视图可知，该几何体是底面为正方形的斜平行六面体.

由题意可知该几何体底面边长为3,高为6,所以侧棱长为严由=34.故该几

何体的表面积S=32X2+（3X6）X2+（3X3小）X2=54+18小.

答案B

考点二空间几何体的体积

【例2】（1）（2016・山东卷）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.

则该几何体的体积为（）

1,2-1।小

A.g+钎B3+371

段+乎11D.l+平兀

joo

（2）（2016•浙江卷）如图，在△ABC中，A8=8C=2,NA8C=12（T.

若平面ABC外的点尸和线段AC上的点O,满足尸O=ZM,PB

=BA,则四面体258的体积的最大值是.八

解析（1）由三视图知该四棱锥是底面边长为1,高为1的正四棱锥，结合三视图

可得半球半径为坐，从而该几何体的体积为卜12乂1+卜芸X圉="坐

(2)设PD=DA=x,

在△ABC中，AB=BC=2,ZABC=120°,

：.AC=yjAB2-hBC2-2ABBCcosZABC

=44+4—2X2X2Xcos120°=2小,

：.CD=2yl3-x,且NACB=/180°-120°)=30°,

/.SABCD=^BC•OCXsinNACB=/x2X(2小一彳)乂^=/2小一x).

要使四面体体积最大，当且仅当点尸到平面8CO的距离最大，而尸到平面8CO

的最大距离为X.

则联体皿=卜，(2S一切=/一(工一小)2+3],由于04〈2S,故当产木时,

丫四面体P5CD的最大值为\x3=,

答案(1)C(24

规律方法空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公

式进行求解.

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补

形法等方法进行求解.

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后

根据条件求解.

【训练2】(1)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在

的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()

A.B.C.2啦nD.4啦兀

(2)(2015•浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的体积

是cm3.

俯视图

解析（1）绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面

围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥的组合体，如图所示.

每一个圆锥的底面半径和高都为啦，故所求几何体的体积V=2x|

I

「4啦n

X2n义取=弋—.

⑵由三视图可知该几何体是由棱长为2cm的正方体与底面边长为2cm正方形、

高为2cm的正四棱锥组成.

又正方体的体积Vi=23=8（cm3）,

1Q

正四棱锥的体积V2=QX22X2=?（cm3）.

32

所以该几何体的体积V=V\+

32

答案（1）B⑵4

考点三多面体与球的切、接问题（典例迁移）

【例3】（经典母题）（2016•全国HI卷）在封闭的直三棱柱ABC—48C内有一个体

积为V的球.若AB_L8C,AB=6fBC=8,A4i=3,则V的最大值是（）

9n32n

A.4nB.^-C.6nD.~

解析由AB_L8C,AB=6,BC=8,得AC=10.

要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设

底面△ABC的内切圆的半径为r.

则3乂6义8=3乂（6+8+10>/，所以/=2.

2r=4>3,不合题意.

球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径H最大.

3

即R=-

由2R=3,2

4Q

故球的最大体积R3=]n.

答案B

【迁移探究1】若本例中的条件变为“直三棱柱48C-4BG的6个顶点都在球

。的球面上"，若AB=3,AC=4,ABA.AC,A4=12,求球。的表面积.

解将直三棱柱补形为长方体ABEC—

则球0是长方体ABEC-A\BiEiC\的外接球.

・,•体对角线BCi的长为球0的直径.

因此29=^32+42+122=13.

故S球=4几片=］69冗.

【迁移探究2】若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球。的球面上”，若

该棱锥的高为4,底面边长为2,求该球的体积.

解如图，设球心为0,半径为八

E

则在RtZXA。尸中，（4一厂产+（爪）2=户，

解得T，

44243n

则球0的体积V球/=］冗=［6.

规律方法空间几何体与球接、切问题的求解方法.

（1）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作

它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切

点”、“按点”作出截面图，.把空间问题化归为平面问题.

（2）若球面上四点P,4,B,。中附，PB,PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两

垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.

课堂总结

［思想方法］

1.转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将

侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开

图的形状及平面图形面积的求法.

2.求体积的两种方法：（1）割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转

化成已知体积公式的几何体进行解决.（2）等积法：等积法包括等面积法和等体积法.

等体积法的前提是几何图形（或几何体）的面积（或体积）通过已知条件可以得到，利

用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高.

［易错防范］

1.求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错.

2.由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的

结构特征认识不准易导致失误.

3.底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防

出错.

课时作业分层训练，提升能力

基础巩固题组

（建议用时：40分钟）

一、选择题

1.（2015•全国I卷）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学令

名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五I

尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如

图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米

堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62

立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）

A.14斛B.22斛

C.36斛D.66斛

解析设米堆的底面半径为厂尺，则gv=8,所以〃=¥.

ZJI

（、2

所以米堆的体积为V=1X|JT•3・5=今（差）・5屋式立方尺）.

故堆放的米约有甲+1.62-22（斛）.

答案B

2.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是

（）

9

2民-

A.2

解析由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，ES底=/（l+2）X2=

3.，丫=gx・3=3,解得x=3.

答案D

3.（2017.宁波十校联考）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是

A.1+SB.2+S01+2^2D.2^/2

解析四面体的直观图如图所示.

侧面S4C_L底面ABC,且△SAC与△ABC均为腰长是也的等

腰直角三角形，SA=SC=AB=BC=®AC=2.

设AC的中点为。，连接S。，B0,则S0J_AC,又SOu平面

SAC,平面SACA平面A8C=AC,

・・・SO_L平面A8C,又80u平面ABC,：.SO±BO.

又OS=OB=1,：.SB=也

故△SAB与△SBC均是边长为6的正三角形，故该四面体的表面积为2xg义啦X

啦+2X^X（啦）2=2+小.

答案B

4.（2015•全国11卷）已知4,8是球。的球面上两点，ZAOB=90°,C为该球面上

的动点.若三棱锥O—ABC体积的最大值为36,则球。的表面积为（）

A.36nB.64nC.144nD.256兀

解析因为aAOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥。一

ABC的体积取得最大值.由（X；R2XR=36,得R=6.从而球0的表面积S=4nR2

=144兀.

答案C

5.（2017•青岛模拟）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四

边形，NB=2PN,则三棱锥N—与三棱锥。一出C的体积比

为（）

A.1：2B.1：8

C.1：6D.1：3

解析设点P,N在平面A8CD内的投影分别为点P,N',则PP_L平面48CD,

NN'2

NN'_L平面ABCQ,所以PP〃NN,则在ABP产中，由BN=2PN得正一=%

LX。

V^^N-PAC-V三校注P-A8C-V三检粒-PP'~

|SA4BC♦NN'=GS/SRC•（PP-NN»=gs八ABC•

此史P,噎辙点。=嗅”小=露46中尸'，又・・・四边形四。。

是平行四边形，•••SAABC=S"CD,・・..-c=］故选D.

V^^D-PAC3

答案D

二、填空题

6.（2016•浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的表面积是

cm2,体积是cm3.

俯视图

解析由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而

成，上面正方体的边长为2cm,下面长方体是底面边长为4cm,

高为2cm,其直观图如右图：其表面积5=6X22+2X42+4X2X4

-2X22=80(cm2).体积V=2X2X2+4X4X2=40(cm3).

答案8040

7.已知底面边长为1,侧棱长为戏的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该

球的体积为.

解析依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R,则

2/?=业2+12+(色)2=2,

解得R=l,所以旷=4亍n/?3_=亍4n.

答案上

8.(2017・沏州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

表面积为.

禽视图

解析由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1,高为2

的圆柱和底面半径为1,高为1的半圆锥拼成的组合体.・•.体积

V=nX12X2+TX^nX12XI=^-n；半圆锥母线/=啦,S

表=Xl2+2JiX1X2+3JiX12+2HX1X也+；X2X1=Ji+1.

K"，也

答案畀

三、解答题

9.已知一个几何体的三视图如图所示.

便视图

⑴求此几何体的表面积;

（2）如果点P,。在正视图中所示位置，尸为所在线段中点，。为顶点，求在几何

体表面上，从P点到Q点的最短路径的长.

解（1）由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是

圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.

S网籍产；（2Ji。）•（啦。）=啦n

SEsitfli—（2兀。＞（2。）=4n

S圆柱底=na，

所以S衣=爽口。2+4H。2+冗*=（6+5）na2.

（2）沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图.

----------iC

A1-----

22

则PQ—y/AP-hAQ—4/+（JI〃）2—周i+n2,

所以从P点到。点在侧面上的最短路径的长为小衣.

10.（2015•全国II卷）如图，长方体5BC国一4BC1D1中，AB=16,

BC=10,A4=8,点E,尸分别在AiS,DiCi±,A\E=D\F

=4.过点E,尸的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正

方形.

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

⑵求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值.

解（1）交线围成的正方形尸如图所示.

（2）如图，作垂足为M,则AM=4E=4,EBi=12,EM=AAi=S.

因为四边形EHG尸为正方形，所以£//=七/=3。=1（）.

于是MH=7EH2-EM2=6,AH=WfHB=6.

故S四边形（4+10）X8=56,

S四边形EBi8”=gx（12+6）X8=72.

因为长方体被平面a分成两个高为10的直棱柱，

所以其体积的比值为翡也正确）

能力提升题组

（建议用时：25分钟）

11.若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为多则该

几何体的俯视图可以是（）

解析若俯视图为A,则该几何体为正方体，其体积为1,不满足条件.若俯视图

为B,则该几何体为圆柱，其体积为兀（，2乂1=亍，不满足条件.若俯视图为C,

则该几何体为三棱柱，其体积为gxiXlXl=£,满足条件.若俯视图为D,则该

几何体为圆柱的"，体积为"nXl=:",不满足条件.

答案c

12.（2017・丽水调研）在三棱锥尸一48c中，附，平面ABC,AC1BC,。为侧棱PC

上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是（）

B.BO_L平面B4C且三棱锥D-ABC的体积为§

C.AO_L平面PBC且三棱锥D-ABC的体积为号

D.BO_L平面%C且三棱锥D-A