广东省东莞市2023-2024学年高二（上）期末数学试卷

广东省东莞市2023-2024学年高二（上）期末数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在等比数列{an}中，a1=2A．4 B．8 C．10 D．122．若直线l的一个方向向量n=(1，−3)A．30° B．60° C．120° D．150°3．已知平面α的一个法向量为m=(2，3，−1)，平面β的一个法向量为n=(4，k，2)，若A．−2 B．2 C．6 D．−64．已知点P在抛物线y2=4x上，且点P与点A(3，0)的距离和点P到直线A．1 B．2 C．3 D．45．若{aA．{B．{C．{D．{6．东莞鸿福路大桥是一座系杆拱桥，其圆拱结构可近似看作圆的一部分，经查询资料知该拱桥(如图)的跨度AB约为126米，拱高OP约为9米，该拱桥每隔约7米用一根吊杆连接圆拱与系杆，则与OP相距35米的吊杆MN的高度约为（）

(参考数据：494≈22.23)

A．7.3米 B．6.3米 C．5.3米 D．4.3米7．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为FA．3 B．2 C．5 D．68．在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得新数列按照同样的方法进行构造，可以不断形成新的数列.现对数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…依次构造，记第n(n∈N∗)次得到的数列的所有项之和为TA．1095 B．3282 C．6294 D．9843二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9．已知数列{an}的前nA．Sn的最大值为814 B．C．{an}是递减数列10．已知圆C1：x2+y2A．若m=0，则圆C1和圆CB．若m=0，则圆C1和圆C2C．若圆C1和圆C2D．若圆C1和圆C211．已知曲线C：x|x|+4y|y|=4，则（）A．曲线C在第一象限为椭圆的一部分B．曲线C在第二象限为双曲线的一部分C．直线y=−12x+1D．直线y=−22x+112．在如图所示的试验装置中，ABCD和ABEF均为边长为1正方形框架，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在对角线AC，BF上移动，且CM=λCA，A．∃λ∈(0，1)B．∀λ∈(0，1)C．∀λ∈(0，1)，MN//D．∃λ∈(0，1)，平面MNB⊥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知空间两点A(1，2，3)，B(2，4，5)，则与14．数列{an}满足an=1n15．一条光线从点A(0，1)射出，经直线y=x反射后与圆C：(x−2)2+(y−416．在平面直角坐标系中有A(1，0)，B(−1，0)，C(0，3)三点，则同时满足条件：①△PAB的周长为6；②△PAC的面积为四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面是正方形，∠A1AD=∠（1）用a，b，c表示BD（2）求异面直线A1D与18．已知椭圆C：x2a2+y（1）求椭圆C的方程；（2）经过椭圆C的右焦点F2作倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求线段MN19．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是正项等比数列，且a1=1，a4=7，b1（1）求数列{an}（2）令cn=a2n+20．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=6，AD=3，E是PC的中点，PB=3PF．（1）证明AC//平面DEF；（2）求点A到平面DEF的距离．21．已知Sn为数列{an}（1）证明数列{S（2）求满足不等式1a1+22．已知圆心为C的动圆经过点(1，0)且与直线x=−1相切，设圆心C的轨迹为（1）求轨迹Γ的方程；（2）已知A(1，2)为定点，P，Q为Γ上的两动点，且AP⊥AQ，求点A到直线

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由题意a2a4=16=a故答案为：B.【分析】根据等比数列的性质求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，

因为直线l的一个方向向量n=(1，−3)，所以直线的斜率为−31故答案为：C.【分析】根据直线的方向向量求得直线的斜率，再根据直线的倾斜角和斜率的关系求倾斜角即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：因为α⊥β，所以m→⊥n→，所以故答案为：A.【分析】由平面垂直得平面的法向量，利用向量的数量积为0，求解即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：如图：根据抛物线的定义，过P做PD垂直抛物线的准线x=−1，垂足为D，则|PF|=|PD|，又因为|PA|=|PD|，所以|PA|=|PF|，故P点横坐标为1+32=2，所以故答案为：C.【分析】数形结合，根据抛物线的定义，先确定P点横坐标，再根据抛物线定义求值即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：{a,bA、设a+b=m(故a+b,B、设a=mb+n(故a,b,C、设c=m(a+故a+b,D、设a−b=m(b−故a−b,故答案为：D.【分析】根据基底概念逐项计算判断即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：以O为原点，建立如图所示平面直角坐标系，设圆心坐标为(0,a)，则P(0,由题意可得(9−a)2=r所以所求圆的方程为x2将x=−35代入圆方程可得(−35)2因为y>0，所以y=10494故答案为：B.【分析】以O为原点，建立如图所示平面直角坐标系，设圆心坐标为(0,a)，利用待定系数法求出圆的方程，将7．【答案】C【解析】【解答】解：易知x2+y2=c2因为tan∠PF1F2由双曲线定义得|PF2|−|P再由勾股定理得|PF2|2+|PF故答案为：C.【分析】由题意推出PF1⊥PF2，再由正切值得到8．【答案】B【解析】【解答】解：设第n次构造后的数列为1,x1则第n+1次构造后的数列为1,Tn+1=6+3(显然Tn+1−3因此数列{Tn−32}是首项为所以T7故答案为：B.【分析】根据给定条件，先得到第n次构造后的数列与第n+1次构造后的数列以及数列和的关系，得到数列{Tn−9．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、Sn=−n2+9n=-n-9B、因为Snn=−n+9则{SC、当n≥2时，an又a1=S1=8D、a4故答案为：BC.【分析】利用二次函数图象和性质即可判断A；根据等差数列的定义即可判断B；利用Sn求得a10．【答案】B,D【解析】【解答】解：易知圆心C1(2,−m)，半径r1A、当m=0时，圆心距|C1CB、由A可知，当m=0时，两圆相交，公共弦所在直线方程为：(x2+C、因为两圆外切，所以4+(2+m)2=6D、因为两圆内切，所以4+(2+m)2=2故答案为：BD.【分析】先求两圆的圆心和半径，再借助两圆的位置关系进行判断即可.11．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A、当x≥0，y≥0时，由x2+4yB、当x<0，y≥0时，由−x2+4C、当x<0，y<0时，由−x当x≥0，y≤0时，由x2所以函数的图象如图所示：所以y=−12x+1D、直线y=−22x+1与曲线C：x2−4y2=4方程联立，消去y得：x2−42故答案为：ABC.【分析】根据已知条件，逐个象限分析函数的解析式，确定函数在各个象限的函数图象，数形结合讨论即可.12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：如图建立空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，B(0,0,0)所以CM→=λCA→=λ(1,0A、AC=(−1,0,1)解得λ=23.所以存在λ∈(0,B、由MN=(1−2λ,1−λ所以|MNC、CE=(0,1,−1)，CF则n⋅CF=0n⋅CE=0，即x+y−z=0y−z=0，令所以MN→⋅n→=(1−λ)×1+(λ−1)×1=0，所以对∀x∈(0D、BM=(λ,0,1−λ)，BN设平面MNB的一个法向量为n1=(x1,令x1=1，得y1=−1，设平面MAF的一个法向量为n2=(x2,令z2=1，得x2所以n1→⋅n2→=1+λλ−1故答案为：ACD.【分析】建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法逐项计算判断即可.13．【答案】(【解析】【解答】解：因为A(1，2，3)，B(2，4，5)，所以所以与AB方向相同的单位向量为AB|AB|故答案为：(1【分析】根据向量的坐标形式求出向量以及向量的模，再根据AB方向相同的单位向量为AB|14．【答案】5【解析】【解答】解：因为数列{an}所以数列{an}故答案为：512【分析】由题意可得an15．【答案】x=1或15x−8y−15=0【解析】【解答】解：设点A(0,1)关于直线y=x对称的点为B(a,b)，如图所示：

则b−1a当反射光线斜率存在时，设其所在直线的方程为y=k(x−1)即kx−y−k=0，因为反射光线与圆C：(x−2)2所以圆心C(2,4)到反射光线的距离d=|2k−4−k|k2+1=r，即|2k−4−k|当反射光线斜率不存在时，设其所在直线的方程为x=1，满足反射光线与圆相切，故反射光线所在直线的方程为x=1或15x−8y−15=0.故答案为：x=1或15x−8y−15=0.【分析】设点A(0,1)关于直线y=x对称的点为B(a,16．【答案】4【解析】【解答】解：已知如图所示：

因为A(1，0)，B(−1，0)，所以AB=2，又因为△PAB的周长为6，所以|PA|+|PB|=4，

故点因为|AC|=10，S△PAC=32，所以△PAC又直线AC方程为：x设P(x,y)，则|3x+y−3|32+1与x轴的交点分别为(3+33因为0<3−33<3+所以满足条件的P点有4个.故答案为：4【分析】根据题意，求得点P的轨迹方程，再分析点P满足的条件，根据数形结合，即可确定满足条件的点的个数.17．【答案】（1）根据题意，可得BD1=BC+CD+DD1，（2）a⋅c=b⋅c=2×2×cos60°=2，a⋅b=2×2×cos90°=0，c2=b2=4，

因为A1D=AD−AA1【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算求解即可；（2）根据空间向量数量积公式，结合向量夹角公式计算即可.18．【答案】（1）因为椭圆C的短轴长为23，

所以2b=23，

解得b=3，①

因为椭圆C的离心率e=ca=12，

即c=12a，②

又a2−b2=（2）由(1)知椭圆C的右焦点F2(1，0)，

因为直线l的倾斜角为45°，

所以直线l的斜率为1，

则直线l的方程为y=x−1，

联立y=x−1x24+y23=1，消去y并整理得7x2−8x−8=0，

不妨设M(x1，y【解析】【分析】（1）轨迹题意，确定a,b,（2）由(1)知椭圆C的右焦点F2(1，0)，根据直线的斜率求出直线l的方程，联立直线19．【答案】（1）设等差数列{an}的公差为d，正项等比数列{bn}的公比为q(q>0)，

由题意得a4=a1+3d，即7=1+3d，则d=2，

故数列{an}的通项公式为an=a1+(n−1)d=1+2(n−1)=2n−1．

由题意b1是a1和a3的等差中项，a5是b1和b3的等比中项，得2（2）由题意得a2，a4，…，a2n构成了首项为a2=3，公差为4的等差数列，

b1，b3，…，b2n−1构成了首项为b1=3，公比为9【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质求数列{an}（2）根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法求解即可.20．【答案】（1）证明：∵侧棱PD⊥底面ABCD，DA，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DA，PD⊥DC，

又底面ABCD是矩形，∴DA，DC，PD两两垂直，

故以D为原点，分别以DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则D(0，0，0)，A(3，0，0)，C(0，6，0)，B(3，6，0)，P(0，0，6)，

∵E是PC的中点，则E(0，3，3)，

由PB=3PF，得F(1，2，4)，

∴DF=(1，2，4)，DE=(0，3，3)，AC=(−3，6，0)，

（2）解：∵DA=(3，0，0)，

∴DA⋅n=3×2+0+0=6，|n|=【解析】【分析】（1）以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用直线方向向量与平面法向量垂直即可证明；（2）利用点到平面距离的公式计算即可.21．【答案】（1）证明：当n=1时，a1=S1=2S1−1，得S1=1，

由na1+(n−1)a2+⋯+an=2Sn−n(n∈N∗)①，

得(n+1)a1+n（2）由(1)知Sn+1=2n，故Sn=2n−1，

当n≥2，an=Sn−Sn−1=2n−1，显然a1=1也适合上式，

故an=2n−1(n∈N∗)，

设Tn=1a1+2a2+⋯+nan，

则Tn=120+221+3【解析】【分析】（1）由已知可得Sn+1（2）由（1）可得Sn=2n−1，从而求出an=2n−122．【答案】（1）由题可知，圆心C到定点(1，0)的距离与到直线x=−1的距离相等，

则点C的轨迹为以(1，0)为焦点，x=−1为准线的