浙江省余姚市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

浙江省余姚市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．经过A−1,2A．30° B．60° C．120° D．150°2．已知圆C1：x2+y2A．内切 B．相交 C．外切 D．外离3．在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，A．−1,12,1 B．1,12,14．双曲线x2A．2 B．2 C．6 D．25．已知函数f(x)=cosx+sinA．-3 B．0 C．-2 D．26．把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E为AB的中点，F为CD的中点，O是原正方形ABCD的中心，则折纸后∠EOF的余弦值大小为（）A．−66 B．−32 C．7．数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列1，1，2，3，5，8⋯其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即a1=aA．a101=aC．a101=a8．设椭圆Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F−c,0，点A3c,0在椭圆外，PA．−12 B．−34 C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列说法中正确的是（）A．直线x+y+1=0在y轴上的截距是1B．直线mx+y+m+2=0m∈R恒过定点C．点0,0关于直线x−y−1=0对称的点为1,−1D．过点1,2且在x轴､y轴上的截距相等的直线方程为x+y−3=010．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题.现将1到500这500个数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，其前n项和为SA．a10=55 C．S10=280 D．数列11．已知抛物线C：y=−18x2的焦点为F，点PxA．抛物线C的准线方程为y=2B．PA+C．当x0=4时，则抛物线C在点PD．过AF的直线交抛物线C于M,N两点，则弦MN的长度为1612．已知x2A．lnx+y+1<0 C．x+y>−sinx−siny D．cosx−cosy>三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知a=1,1,1,b14．已知正项等比数列an，a1=1，且a2，a4，15．若直线l与单位圆和曲线x24−y216．已知函数fx=e2x+四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数fx=13x3−2ax2（1）求a的值；（2）求函数fx18．已知△ABC的三个顶点A−3,2，B2,1，（1）求BC边上中线AD所在直线的方程；（2）已知点Px,y满足S△PBC=4，且点P在线段AC19．已知数列an的首项a1=1（1）证明：数列1a（2）若1a1+20．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为2的正三角形，BC=1，AD=3，PE=λ（1）若CE∥平面PAB，求λ的值；（2）若λ=14，求平面ABE与平面21．已知函数f(x)=（1）讨论fx（2）当a<0，证明：f(x)≤−322．已知椭圆E：x2a2（1）求椭圆E的方程；（2）过点−3,2的直线l与椭圆E交于B,C两点，直线AB,AC分别与x轴交于M,N两点，求证：MN中点为定点．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为α，因为直线经过A−1,2所以经过A,B两点的直线的斜率为k=3−23又因为0∘≤α<180故答案为：D.【分析】由题意，根据两点斜率公式，结合倾斜角与斜率的关系求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：易知圆C1的圆心，半径分别为C圆C2的圆心，半径分别为C21,1因为r1故答案为：B.【分析】根据已知条件，先求两圆的圆心和半径，再计算圆心距，结合圆心距与半径和、差的大小关系判断即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：由题意，作出平行六面体ABCD-A则BE→即x,y,z=故答案为：A.【分析】由题意，作出图形，由空间向量的线性运算求解即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：双曲线x22-y2不妨取焦点6,0，渐近线2x-y=0，则焦点到渐近线的距离为故答案为：B.【分析】根据双曲线方程求出焦点坐标和渐近线方程，再根据点到直线的距离公式求解即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：函数f(x)=cosx+sin2x，求导可得故答案为：A.【分析】先求导，再代值求解即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：连接DO，则DO⊥AC，过点F作FH⊥AC，垂足为H，连接FH,EH，如图所示：因平面DAC⊥平面ABC，且平面DAC∩平面ABC=AC，FH⊂平面DAC，

所以FH⊥平面ABC，又EH⊂平面ABC，则FH⊥EH.设正方形ABCD的边长为4，

则AC=42,DO=2在△AEH中，由余弦定理可得：EH在Rt△EFH中，EF=EH2设∠EOF=θ，在△EOF中，由余弦定理：cosθ=故答案为：C.【分析】连接DO，则DO⊥AC，过点F作FH⊥AC，垂足为H，连接FH,EH，构造Rt△EFH，分别求FH,EH，易得FH，利用余弦定理求EH即可.7．【答案】D【解析】【解答】解：A、a101B、a=2=2aC、a=⋯=aD、a=2=2=⋯=2a故答案为：D.

【分析】根据“斐波那契数列”的定义以及数列求和逐项判断即可.8．【答案】B【解析】【解答】解：记椭圆的右焦点为E，连接PE，QF，如图所示：由题意可知，点F−c,0为椭圆Γ因为点A3c,0、Ec,0，易知点E为线段AF的中点，又因为P为AQ的中点，所以取线段PQ的中点M，连接OM，则APPM所以OM//PE，则OM//QF，所以kOM设点Px1,y1所以x12a2+所以kOM因为椭圆Γ的离心率为e=ca=所以kOMkPQ故答案为：B.【分析】记线段PQ的中点M，连接OM，取右焦点E，连接PE，推导出OM//QF，可得出kOMkPQ=k9．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、直线x+y+1=0，令x=0，求得y=−1，则直线x+y+1=0在y轴上的截距是-1，故A错误；B、由mx+y+m+2=0，可得m(x+1)+y+2=0，因为m∈R，所以x+1=0y+2=0，

解得x=-1y=-2，故直线mx+y+m+2=0m∈RC、设A(0,0),B(1,−1)，易知kAB=-1-01-0=-1，直线l:x−y−1=0的斜率为1，则AB⊥l，又因为A,B的中点12，-12D、过点1,2且在x轴､y轴上的截距相等的直线为y=2x或x+y−3=0，故D错误.故答案为：BC.【分析】由题意，令x=0，解y，即可判断A；把直线方程化成关于参数m的方程，依题得到x+1=0y+2=010．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：1到500这500个数中能被2除余1的数有：1，3，5，7……499，1到500这500个数中能被3除余1的数有：1，4，7……499，由题意现将1到500这500个数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成首项为1，末项为499，公差为6的等差数列，所以an所以a10=55，a8−a故答案为：ACD.

【分析】由题意得现将1到500这500个数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，则它们构成首项为1，末项为499，公差为6的等差数列，由此即可逐一判断每一个选项.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、易知抛物线标准方程为C：x2=−8y，则准线方程为B、过点P向准线作垂线，设垂足为点B，过点A向准线作垂线，设垂足为点C，如图所示：则PA+PF=PA+PB≥AC=5C、切点为4,−2，且切线斜率存在，所以设切线方程为y+2=kx−4联立抛物线方程得x2+8kx−32k−16=0，所以Δ=64所以当x0=4时，则抛物线C在点P处的切线方程为D、由题意A1,−3,F0,−2所以直线AF:y+2=−x，即AF:x+y+2=0，联立抛物线方程得x2由韦达定理可得xM+x故答案为：ABD.【分析】化抛物线方程为标准方程即可判断A；由抛物线定义结合三角形三边关系即可判断B；设出切线方程（斜率为参数），联立抛物线方程由判别式为0即可验算判断C；联立AF方程和抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦公式即可判断D.12．【答案】B,C【解析】【解答】解：因为x2−y2<ex−e−y，即x2−ex<−y2−e−y．令fx=x2−ex，则有fx<f−y，

则f'x=2x−ex，令gx=2x−ex，则g'x=2−ex，

令g'x=2−ex=0，可得x=ln2，

当x∈−∞，ln2时，g'x>0，函数gx单调递增，

当x∈ln2，+∞时，g'x<0，函数gx单调递减，

故gxmax=gln2=2ln2−2<0，

所以总有f'x<0，故fx单调递减；所以x>−y，即x+y>0；

A、lnx+y+1>ln1=0，故A错误；

B、设hx=ex−x2−1x>0，则h'x=ex−2x=−f'x>0，

故hx在0，故答案为：BC.【分析】由题意，构造函数fx13．【答案】3,0,1【解析】【解答】解：因为a=1,1,1,故答案为：3,0,1.【分析】由题意，根据空间向量线性运算的坐标表示计算即可.14．【答案】1【解析】【解答】解：设正项等比数列an的公比为q因为a2，a4，-a3成等差数，所以2a所以数列an的通项公式为an=故答案为：12【分析】设正项等比数列an的公比为qq>0，由a2，a4，-a3成等差数列可得2a15．【答案】y=±2【解析】【解答】解：由题意，可知直线的斜率存在，设直线方程为：y=kx+b，联立y=kx+bx2+因为直线与单位圆相切，所以Δ1=4k联立y=kx+bx24因为直线与曲线相切，所以Δ2=64k由b2=1+k2b2=4k2−3，解得b2=73,k2=16．【答案】1,+∞【解析】【解答】解：函数fx=e2x+1−2ae当a≤0时，f'(x)>0，fx在R当a>0时，由f'x<0，解得：x<lna，由f'x>0，解得：x>ln所以当x=lna时，fx令ha=1−a−lna，a∈0,+∞，则h'又h1=0，所以要使fxmin<0又因为f−1所以fx在−又f令gx=x−1−lnx，x∈3,+∞，则g'因为a>1，所以3a>3，所以g3a=3a−1−ln所以fx在ln综上所述，a的取值范围是1,+∞．

故答案为：【分析】先求函数的定义域，再求导，对导函数中的参数a进行分类讨论，在a>0时，通过判断函数fx的单调性求得其最小值，依题需使fxmin<0推得a>1；接着分段说明函数fx17．【答案】（1）解：函数fx=13x3−2ax2+3x定义域为R，f'x=x2（2）解：由（1）可得f'x=x2−4x+3=x−1x−3，

令f'x>0，解得x>3或x<1，令fx−11,333,+f+0−0+f↗极大值↘极小值↗故x=1时函数取极大值，极大值为f1=43，【解析】【分析】（1）求导，由题意可得f'（2）由（1）可得f'（1）f'∵在点A−1,f−1处的切线平行于直线∴f'−1=4a+4=8，（2）由（1）可得f'令f'x>0得x>3x−11,333,+f+0−0+f↗极大值↘极小值↗∴极大值为f1=418．【答案】（1）解：由题意BC中点D0,−1所以AD所在直线的斜率k=2−所以AD所在直线的方程为y+1=−x，即BC边中线AD所在直线的方程x+y+1=0；（2）解：因为B2,1，C−2,−3，所以kBC=−3−1−2−2=1，所以直线BC设点P到直线BC的距离d，则由题意S△PBC所以点P到直线BC的距离d=x−y−1则点P所在直线方程为x−y+1=0或x−y−3=0，因为A−3,2，C所以kAC=−3−2−2−−3所以线段AC的中垂线为y+12=所以联立x−y+1=0y=15所以点P的坐标为：−54,−【解析】【分析】（1）先求B，C的中点坐标，根据两点斜率公式求AD所在直线的斜率，结合点斜式化简求解即可；（2）由两点间距离公式求BC=42，直线BC的方程为x−y−1=0，结合S△PBC=4以及点到直线的距离公式得点P所在直线方程为x−y+1=0或（1）由题意BC中点D0,−1所以AD所在直线的斜率k=2−所以AD所在直线的方程为y+1=−x，即BC边中线AD所在直线的方程x+y+1=0；（2）因为B2,1，C−2,−3，所以kBC=−3−1−2−2=1，所以直线BC设点P到直线BC的距离d，则由题意S△PBC所以点P到直线BC的距离d=x−y−1则点P所在直线方程为x−y+1=0或x−y−3=0，因为A−3,2，C所以kAC=−3−2−2−−3所以线段AC的中垂线为y+12=所以联立x−y+1=0y=15所以点P的坐标为：−54,−19．【答案】（1）证明：易知an各项均为正，对an+1=因为1a1−12=1（2）解：由（1）知1a所以fn显然fn且f(4046)=2024−1所以n的最大值为4046.【解析】【分析】（1）对an+1（2）由分组求和以及等比数列求和公式得前n项和，结合其单调性求解即可.（1）易知an各项均为正，对a即1a因为1a所以数列1an−12（2）由（1）知1a所以fn显然fn且f(4046)=2024−1所以n的最大值为4046.20．【答案】（1）解：分别取AB,CD中点O,F，连接PO,OF，

由已知底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，PA=PB，

易得OF⊥AB,PO⊥AB，

因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO⊂面PAB，

所以PO⊥平面ABCD，

又因为OF⊂平面ABCD，所以PO⊥OF，

以O为中心，以OB,OF,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则P0,0,3,A−1,0,0,B1,0,0,C1,1,0,D−1,3,0,F0,2,0，

因为PE=λPD0<λ<1，

所以CE=CP+（2）解：若λ=14，则由（1）CE=CP+所以AB=设m=a,b,c,n=所以m→·AB令c=−1,x=1，解得a=0,b=3则m=设平面ABE与平面PCD的夹角为α，故cosα=即平面ABE与平面PCD的夹角的余弦值为1020【解析】【分析】（1）以O为中心，以OB,OF,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，由向量的线性运算得CE=CP+PE=−1−λ,3λ−1,3（2）由（1）的结论，求出两平面的法向量，利用空间向量，利用夹角余弦公式求解即可.（1）分别取AB,CD中点O,F，连接PO,OF，由已知底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，PA=PB，易得OF⊥AB,PO⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO⊂面PAB，∴PO⊥平面ABCD，又因为OF⊂平面ABCD，所以PO⊥OF，以O为中心，以OB,OF,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则P0,0,∵PE=λ∴CE=显然OF=0,2,0是平面若CE∥平面PAB，则CE⋅OF=2（2）若λ=14，则由（1）CE=所以E−所以AB=设m=a,b,c,n=所以2a=034a+令c=−1,x=1，解得a=0,b=3则m=设平面ABE与平面PCD的夹角为α，故cosα=即平面ABE与平面PCD的夹角的余弦值为102021．【答案】（1）解：函数f(x)=lnx+a求导可得f'①当a≥0时，f'x>0，f②当a<0时，当x∈0,−1a时，f'x当x∈−1a,+