数学优化训练：6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.1。6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1。在一个长方体上钻一个圆柱形的孔，钻孔后得到的几何体与原长方体相比,其表面积(）A.变大了B。变小了C.相等D。不一定解析:当钻的孔即圆柱底面面积之和等于侧面积时，相等;当底面面积之和小于侧面积时,变大；当底面面积之和大于侧面积时，变小.答案：D2.一个正三棱台的上下底面边长为3cm和6cm，高为cm，则此三棱台的侧面积是（)A。B。C。D.以上都不对解析：虽然根据正三棱台的侧面是等腰梯形，可以求出这个等腰梯形的高,进而可求得侧面积，但这里的选项Ａ、Ｂ、Ｃ中皆没有单位cm，所以选D.答案：D3.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________。解：正方体的对角线即为球的直径，直径d=，由d=R=S=4πR2=27π.答案：27π10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1。已知正六棱柱的高为h，底面边长为a，则它的全面积为（）A。B。C。D。解析:柱体的全面积是侧面积加上底面积，据正六棱柱的性质,得其全面积为S侧+2S底=6ah+a2.答案：A2.如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为(）A.2πB。C.D。解析：可以把母线的长设为1,根据已知求出圆台的高,进而根据公式分别求出圆台的侧面积和轴截面的面积.答案：C3。侧面都是直角三角形的正棱锥，底面边长为a，则此棱锥的全面积是(）A.B。C。D.都不对解析:首先要搞清楚这个正棱锥只能是正三棱锥,这是因为正棱锥的同一个顶点上的各侧面顶角之和小于360°,则易得答案为A。答案：A4。过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（)A。B。C。D。解：如图所示,设球半径为R，由题意知OO′=，OF=R,S∴r=R。S截面=πr2=π(R）2=πR3,S球=4πR2。∴.答案：A5。图1—1—6—1所示的是由18个边长为1cm的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？图1—1-6-1解析:从图中可以看出,18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18—7—2=9，所以第三层摆了9个.另外，上、下两个面的表面积是相同的,同样，前、后、左、右两个面的表面积也是分别相同的。解:因为小正方体的棱长是1cm，所以上面的表面积为12×9=9（cm2）；前面的表面积为12×8=8（cm2)；左面的表面积为12×7=7（cm2），几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=48。30分钟训练（巩固类训练，可用于课后)1.长方体的一个顶点上三条棱分别是3、4、5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是()A.25πB。50πC.125πD。都不对解析：由于长方体的对角线的长是球的直径.所以可求得这个球的直径是,然后代入球的表面积公式S=4πR2即可。答案:B2.若正三棱锥的斜高是高的倍，则棱锥的侧面积是底面积的（）A.倍B.2倍C。倍D.3倍解析：由已知易求侧棱与高的夹角是60°，进而求得对于同一底边,侧面三角形和底面三角形的高的比为2∶3,由此易得答案。答案：B3.现要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m,长和宽的和为20m，那么仓库的容积的最大值是(）A。300m3B.400m3解：设长方体的长为x,则宽为20-x,所以V=3x（20-x）=—3（x—10)2+300≤300。故最大容积为300m3答案：A4.下列四个结论中，错误的个数为（)①经过球面上任意两点,可以作且只可以作一个球的大圆；②球面积是它大圆面积的四倍；③球面上两点的球面距离,是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长.A。0B。1C。2解析：当球面上的两点与球心共线时可作无数个球的大圆,①错;S球=4πR2,S大圆=πR2.所以S球=4S大圆，②正确;球面上两点的球面距离是球面上的两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，并非任意截面圆上，所以③错.答案：C5.如图1—1-6—2所示,正方体棱长为3cm，在每个面正中央有个入口为正方形的孔道通到对面,孔的边长为1cm，孔的各棱平行于正方体各棱。则所得几何体的总表面积为（)图1-1-6-2A.54cm2B。76cm2C。72cm2解:由题意知该几何体的表面积包含外部表面积与内部表面积。S外=6×32-6×12=48(cm2）,S内=4×6=24（cm2）.∴S总=48+24=72(cm2).答案:C6.正方体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A、C、B1、D1为顶点的正三棱锥的全面积为，则正方体的棱长为()A.B。2C.4D.解:设正方体的棱长为a，侧面的对角线长为,∴正三棱锥ACB1D1的棱长为,它的表面积为4··(）2=。∴a2=2,即a=.答案：A7。正方体的8个顶点中,有4个恰为正三棱锥的顶点,则正方体与正三棱锥的表面积之比是()A。B。C.D.解：不妨设正四面体的顶点为A、C、B1、D1,设正方体的棱长为1,则正四面体棱长为。∴正方体的表面积为6,正四面体的表面积为。∴它们的表面积之比为.答案：B8。一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比是(）A。B。C.D.解:设圆柱的底面半径为r，高为h,则由题设知h=2πr.∴S全=2πr2+(2πr）2=2πr2(1+2π）,S侧=h2=（2πr）2=4π2r2.∴.答案:A9。在球内有相距1cm的两个平行截面,截面面积分别是5πcm2和8πcm2，球心不在截面内，求球的表面积。解:轴截面如图所示。圆O是球的大圆，A1B1、A2B2分别是两个平行截面圆的直径，过O作OC1⊥A1B1于C1，交A2B2于C2，由于A1B1∥A2B2，∴OC2⊥A2B2。由圆的性质可得C1和C2分别是A1B1和A2B2的中点.设两平行截面的半径分别为r1和r2且r2＞r1,依题意πr12=5π,πr22=8π，∴r12=5,r22=8。∵OA1和OA2都是球的半径R,∴OC1=,OC2=。∴=1.解这个方程得R2=9。∴S球=4πR2=4π·32=36π(cm2）。10。如图1-1-6—3，一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R，正四棱台的上、下底面边长分别为2。5R和3R，斜高为0.6R。图1—1—6—3（1）求这个容器盖子的表面积(用R表示,焊接处对面积的影响忽略不计）；(2）若R=2cm，为盖子涂色时，所用的涂料每0.4kg可以涂1m2，计算为100个这样的盖子涂色约需涂料多少千克（精确到0。1kg解：（1）S正四棱台=4××（2。5R+3R