广东省揭阳市普宁市2023-2024学年高二上学期期末数学试题

广东省揭阳市普宁市2023-2024学年高二上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．已知椭圆y2A．2 B．4 C．6 D．82．已知直线m经过A(−2，1)，A．-2 B．−12 C．13．已知空间向量a=(0，1，4)A．19 B．19 C．17 D．174．在等差数列{an}中，已知aA．12 B．32 C．36 D．375．地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10km.根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6km.据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为（）A．8km B．6km C．4km D．2km6．已知圆M：x2A．3 B．32 C．5 D．7．如图，在四面体OABC中，G是BC的中点，设OA=a，OB=b，A．a−12C．−12a8．对于数列{an}，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有|an|≤M，则称数列{an}是有界的.若这样的正数MA．若an=1B．若an=nsinC．若an=(−1)D．若an=2+1二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知向量a=(1，1，0)A．(−22，C．(22，10．已知数列{an}满足a1=2A．b1=3 B．b2=6 C．11．已知直线l：(a+1)A．存在a，使得l的倾斜角为9B．存在a，使得l的倾斜角为13C．存在a，使直线l与圆C相离D．对任意的a，直线l与圆C相交，且a=1时相交弦最短12．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、A．双曲线C的渐近线方程为y=±B．若PF1⊥PFC．分别以线段PF1、D．∠P三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若直线2x−y+1=0与直线x+ay+3=0平行，则a=．14．已知双曲线x2a2−y215．已知数列{an}为32，43，54，16．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC−A1B1C1，中，M是A1C1的中点，AB=2AA四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知直线l1：ax+2y+6=0（1）若l1（2）当l1∥l2平行，求两直线18．已知直线l：2x−y+4=0与x轴的交点为A，圆O：x2（1）求r的值；（2）若点B为圆O上一点，且直线AB垂直于直线l，求弦长|AB19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝1，BC＝2，PA＝1．（1）求证：AB⊥PC；（2）点M在线段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值为3320．已知数列{an}的前n项和为S（1）求数列{a（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题.①b2=4，b4=8；②b2是b1和b4的等比中项，T8=72.若公差不为0的等差数列{bn}的前21．在平面直角坐标系xOy中，点A(12，（1）求p的值；（2）若直线l与抛物线C交于P(x1，y1)，Q(x22．已知圆F1：(x+23)2+y2=64，定点（1）求P点的轨迹C的方程；（2）设直线l过点(4，−2)且与曲线C相交于M，N两点，l不经过点

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】由椭圆的标准方程可知：b=2，所以该椭圆的短轴长为2×2=4。故答案为：B

【分析】利用已知条件结合椭圆的标准方程确定焦点的位置，从而求出b的值，进而结合短轴长的定义求出椭圆的短轴长。2．【答案】A【解析】【解答】直线m的斜率为：1−(−3)−2−0故答案为：A

【分析】根据直线的斜率公式，即可求解.3．【答案】D【解析】【解答】因为a=(0，1所以a+b=(1故答案为：D.

【分析】求出向量a→4．【答案】C【解析】【解答】解：因为{an}为等差数列，

所以数列{故答案为：C.

【分析】根据等差数列的求和公式结合等差数列性质运算求解.5．【答案】A【解析】【解答】设震中为P，依题意有|PB|−|PA|=6<因为|PA|+所以|PB|−6+所以震中到地震台B站的距离至少为8km。故答案为：A

【分析】设震中为P，依题意有|PB|−|PA|=6<|AB|=10，再结合双曲线的定义判断出点P6．【答案】D【解析】【解答】解：圆M：x2+y2=1的圆心为M0,0，半径r=1；

圆N：(x−22)2+(y−22)2=m2(m>0)的圆心为N2故答案为：D.

【分析】根据题意结合两圆间的位置关系分析求解.7．【答案】B【解析】【解答】解：AC=AB=∴AG故答案为：B．

【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解出答案.8．【答案】C【解析】【解答】对于A，∵|an|=|1n|=1∴数列{a对于B，|a∵|sinn|≤1，∴|an|≤n，即随着n∴数列{a对于C，当n为偶数时，Sn=0；当n为奇数时，∴|Sn|≤1，∴存在正数M=1∴数列{S对于D，1n∴=2n+4(1−1∵y=x−22x+1在(0，∴不存在正数M，使得|Sn|≤M恒成立，∴故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合函数的单调性和不等式恒成立问题求解方法，再结合数列的有界性和无界性，进而找出结论正确的选项。9．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可知：与a同向共线的单位向量e→故答案为：C.

【分析】根据单位向量的定义结合空间向量的坐标运算求解.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：由题意可知：a1=2,a2=3,a3=6，则b1=a1=2,b2=a故答案为：BC.

【分析】根据题意代入求解即可判断AB；根据题意结合等差数列的定义和通项公式判断CD.11．【答案】A,D【解析】【解答】对于A中，当a=0时，直线l：x=0，此时直线l的倾斜角为对于B中，当a≠0时，可得直线l的斜率为k=−a+1若直线l的倾斜角为135∘，可得−a+1对于C中，由直线l：(a+1)令x=0x+y+1=0，解得x=0，y=−1，即直线l又由圆C：x2+y因为|PC|=22+(−1)2所以无论a为何值，直线l与圆C总相交，所以C不符合题意；对于D中，当a=1时，直线l：2x+y+1=0，此时直线的斜率为又由kPC=−12，此时根据圆的弦的性质，此时弦长最短，所以D符合题意.故答案为：AD.

【分析】当a=0时，得到直线l：x=0，可判定A符合题意；求得直线l的斜率为k=−a+1a，令−a+1a=−1，根据方程无解，可判定B不符合题意；化简直线为a(x+y+1)+x=012．【答案】A,C,D【解析】【解答】A、设P（x，y），则y2=b2x2a2-1，

因为A1-a，0，A2a，0，直线PA1，PA2的斜率之积等于3，

所以kPA1·kPA2=yx+a·yx-a=y2x2-a2=b2x2a2-1x2-a2=b2a2=3，得ba=3，

所以双曲线的渐近线方程为：y=±3x，A正确.

B、由A已得：b2a2=3，所以e=1+b2a2=2，所以c=2a，

因为P为双曲线右支上的一点，所以PF1-PF2=2a，

又因为PF1⊥PF2且S△PF1F2=6，则PF1PF2=12，

又因为PF12+P13．【答案】−【解析】【解答】解：∵直线2x−y+1=0与直线x+ay+3=0平行，

∴2a+1=0

解得a=-12.

故答案为：−14．【答案】2【解析】【解答】因为双曲线的一条渐近线方程为x+2y=0，所以双曲线的方程可设为x24−因为x2所以4λ=a2λ=1所以a=2.故答案为：2.

【分析】利用双曲线的渐近线方程求解即可.15．【答案】an【解析】【解答】解：由题意可知：数列{an}为1+21+1，2+22+1，3+23+1，4+24+1故答案为：an

【分析】根据题意结合通项公式的定义分析求解.16．【答案】11【解析】【解答】解：以A1为坐标原点，A1A，A1B1，A1C1设AB=4，则A(2,0,0)，B(2,4,0)，因为MG=3GN，可得则AG=(−1,3,14)因为AG=x则−1=−2x3=4y14=2z，解得x=1所以x+y+z=11故答案为：118【分析】建系标点，根据题意空间向量的坐标运算分析求解.17．【答案】（1）解：∵l1：ax+2y+6=0，l∴a×1+2×1=0，解得a=−2（2）解：∵l1：ax+2y+6=0，l∴a×1=2×1且−a≠2，解得a=2，∴l1：∴直线l1，【解析】【分析】(1)根据直线的一般方程结合垂直关系列式求解即可；

(2)根据直线的一般方程结合平行关系列式求解，并代入两平行线间距离公式运算求解.18．【答案】（1）解：在2x−y+4=0中，令y=0，得x=−2，故A(−2，因为圆O：x2+y2=（2）解：直线l的斜率为2，因为直线AB垂直于直线l，所以直线AB的斜率为−1所以直线AB的方程为y−0=−12(x+2)圆心O到直线AB的距离为21所以|AB|=22【解析】【分析】（1）先求得A点的坐标，代入圆O的方程，由此求出r的值；

（2）求得直线AB的方程，根据直线与圆相交所得弦长公式，求得弦长|AB19．【答案】（1）证明：由题意得四边形ADCB是直角梯形，AD=CD=1，故∠ACD=45°，∠ACB=45°，AC=2.又BC=2，所以CDAC=ACBC=22，所以△CDA∽△CAB（2）解：过点A作AE⊥BC于E，易知E为BC中点，以A为原点，AE，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(1，1，0)则AC设AM=AP+λPD=设平面MAC的一个法向量为n=n⋅AC=x+y=0n由二面角M﹣AC﹣D的余弦值为33，有|AP⋅所以V【解析】【分析】（1）根据△CDA∽△CAB，证得AB⊥AC，再由PA⊥平面ABCD，证得PA⊥AB，结合线面垂直的判定定理，证得AB⊥平面PAC，进而证得AB⊥PC.

（2）以A为原点，建立空间直角坐标系，设AM→=AP→+λPD→，分别求得平面MAC20．【答案】（1）解：当n=1时，a1=S当n≥2时，Sn−1=2an−1−2因为a1=2≠0，所以数列所以an（2）解：设数列{bn}若选择①，由题意b1+d=4b所以Tn由（1）得，an=2所以AnAn两式相减得A=1+1所以An若选择②，有b22=b1因为d≠0，所以b1所以T8=72=8b所以Tn由（1）得，an=2所以AnAn两式相减，得A=1+1所以An【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列，从而求出数列的通项公式即可。

(2)若选择①，由等差数列的通项公式整理求出首项和公差的值由此即可求出数列前n项和公式，再由由(1)的结论即可得出数列{Tnnan}的通项公式，由错位相减法即可求出数列前n项和；

若选择②，由等比数列的性质整理化简即可得出21．【答案】（1）解：将A(12，1)（2）解：P(x1，y1OP⋅OQ=因为y1y2<0，所以故|y当且仅当6|y2故|y1|+2|【解析】【分析】(1)将A(12，1)代入抛物线即可得解；22．【答案】（1）解：圆F1：(x+23)因A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F于是得|PF