数值分析方法 课件 第七章偏微分方程数值方法简介

数值分析方法面向“四新”人才培养普通高等教育系列教材第七章偏微分方程数值方法简介目录/Contents7.1

偏微分方程基础知识

7.2

偏微分方程的差分方法

7.3

偏微分方程的有限元方法简介

7.1偏微分方程基础知识7.1.1偏微分方程的分类对于如下二阶偏微分方程

（7.1.1）

如果其系数为因变量或因变量导数的函数且导数阶数等于方程的阶数，则（7.1.1）是非线性方程。两个自变量的线性二阶偏微分方程一般可以写成

7.1.2偏微分方程的导出1.变分法的基本概念1696年JohnBernoulli公开提出一个问题，即最速下降线问题：确定一条从A点到B点的曲线（B点在A点的下方但不在A点的正下方），使得一颗珠子在重力作用下沿着这条曲线从A点滑到B点所需时间最短。

则质点沿摆线L从A滑到B点所需时间为

2.泛函极值的Euler方程

从而得到

或者

方程（7.1.13）或（7.1.14）称为泛函极值的Euler方程。

3.Hamilton原理

4.波动方程的导出

5.薄膜的平衡方程

7.1.3偏微分方程的定解条件

谢谢数值分析方法主编

李冬果李林高磊首都医科大学生物医学工程学院智能医学工程学学系面向“四新”人才培养普通高等教育系列教材第七章偏微分方程数值方法简介目录/Contents7.1

偏微分方程基础知识

7.2

偏微分方程的差分方法

7.3

偏微分方程的有限元方法简介

7.2偏微分方程的差分方法7.2.1偏导数的差分计算导数的计算可以用差分方法，偏微分方程涉及的偏导数也可以利用差分的方法近似，例如，图7-3、7-4分别给出了2、3个自变量的差分网格。图7-3平面网格图7-4空间网格

节点

u(3,1)公式值0.03910.51270.20010.63764.11183.4157近似值0.03910.51640.20430.63314.10893.4097(3,2)公式值0.05360.54790.38310.76714.22603.8991近似值0.05360.55150.38700.76464.22333.8957(3,3)公式值0.07780.58930.58930.88574.34084.3408近似值0.07780.59280.59280.88354.33834.3383(3,4)公式值0.11290.63640.81670.99774.45544.7523近似值0.11290.63990.82000.99554.45314.7500(3,5)公式值0.15980.68901.06411.10414.56805.1355近似值0.15980.69231.06711.10164.56585.1329(3,6)公式值0.21960.74671.32971.20434.67655.4864近似值0.21960.75001.33251.20134.67425.48297.2.2偏微分方程的求解

1.椭圆型偏微分方程的差分方法

因此可以列出方程组

也就是：

可以看出下边缘绝热，板面温度较例7.2.1中温度恒定为零度时要高一些。自上而下温度梯度也小一些。2.一维抛物型偏微分方程的显式法

3.一维抛物型偏微分方程的隐式法

图7-9

半节点网格图

对于整个差分网格的每一个节点写出隐式公式，就得到一个线性方程组，其系数矩阵通常是一个三对角矩阵。上述隐式公式是绝对稳定的。一般而言，大部分显式有限差分近似公式是条件稳定的，而大部分隐式近似公式则是绝对稳定的。但是显式方法比隐式公式容易进行求解。

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7.2

偏微分方程的差分方法

7.3

偏微分方程的有限元方法简介

7.3偏微分方程的有限元方法简介偏微分方程的数值解法中另一常用的方法是有限元方法，有限元方法在力学及其相关学科中发挥重要的作用。1960年克拉夫在一篇论文中首次提出了“有限元(finiteelement)”说法。几乎同时，中国科学家也独立地发展出这一方法，其显著的标志是，1965年中国研究人员冯康发表的名为《基于变分原理的差分格式》的论文，这篇论文被国际学术界视为中国独立发展“有限元法”的重要里程碑。在工程计算需求的推动下，这一方法在应用中不断推进。目前在生物医学的相关领域的应用愈来愈广泛深入。7.3.1里兹-伽辽金方法求解能量泛函的极小问题如果求助于直接解法或近似解法，就可以实现偏微分方程求解。就能量积分而言，将被积函数在某一函数空间展开成为函数项级数，例如幂级数，系数待定。这样积分就可以逐项计算，能量积分就化为求这些待定系数使积分最小，从而问题的近似解就可以求得。这个思想来自于三位科学家，他们分别是英国物理学家瑞利（Rayleigh，1842-1919），瑞士物理学家里兹（W.Ritz，1878-1909）和俄罗斯数学家伽辽金（BorisGalerkin，1871-1945）。1908年里兹在瑞利于1877年提出的通过泛函驻值条件求未知函数的一种近似方法的基础上，提出了一个求解变分问题的近似方法，后来被称作瑞利－里兹法。

伽辽金方法与里兹方法有所不同，得到了同样的方程组（7.3.11），习惯上称（7.3.11）为里兹-伽辽金方程。

图7-10展示了近似解和精确解的两个解曲线。7.3.2有限元方法简介有限元方法实质上是里兹-伽辽金方法，它主要利用插值函数，提供了一种选取“局部基函数”或“分片多项式空间”的技巧，从而在很大程度上克服了里兹-伽辽金法选取基函数的固有困难。例如，对于二维问题，将平面区域G分割成有限多个矩形或三角形，称之为单元，任意两个单元或者不相交，或者有公共边或公共节点。之后再每一个单元上构造试函数，它是用单元顶点坐标构建的插值多项式，在相邻单元间具有一定的光滑性，如此就得到了试函数。事实上如果从力学角度看，连续介质体内每一点的位移肯定与该点的坐标相关，如果将研究的连续介质体进行剖分，如平面的三角形网格、立体的四面体网格，在该三角形内或四面体（称为单元）内每一点的位移可以写成单元顶点位移的表达式。每一单元顶点坐标就是问题的未知量，伽辽金法和瑞利-里兹法就是将求泛函极小的问题划归为求解线性方程组的问题，该线性方程组的未知量是单元定点坐标。

1.研究区域的网格剖分

2.选取插值基函数

3.单元分析生成单元刚度矩阵和单元载荷向量

4.生成总体刚度矩阵和总体载荷向量

5.边界条件的约束

6.有限元方程的建立

图7-12

123456213024422000表7-2例7.3.3中的各节点的坐标单元122324553536表7-3例7.3.3中节点与单元的关系

单元号xiyixjyjxmymaibiajbjambm124123202-2-12-1212002