数值分析方法 课件 第一章 计算技术基础

数值分析方法面向“四新”人才培养普通高等教育系列教材第一章

计算技术基础1.1泰勒公式1.2数值计算误差1.3误差分析与规避1.4数值计算中典型的算法设计技术1.5

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1.1泰勒公式马克劳林公式

常用函数的马克劳林公式

二元函数泰勒公式其中多元函数泰勒公式

多元函数的二阶泰勒公式在应用问题中经常用到，通常也将其写成如下形式其中

3、递推化：把复杂的计算归结为简单过程的多次重复计算，易于用循环结构来实现（如迭代法）谢谢！数值分析方法面向“四新”人才培养普通高等教育系列教材主编

李冬果李林高磊首都医科大学生物医学工程学院智能医学工程学学系第一章

计算技术基础1.1泰勒公式1.2数值计算误差1.3误差分析与规避1.4数值计算中典型的算法设计技术1.5

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1.2数值计算误差实际问题中通常涉及到一些量的观测值，这类由观测产生的误差称为观测误差1.2.1误差来源与分类用计算机解决科学计算问题首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象、简化而得到的，因而时近似的。我们把数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差本课程只研究用数值方法求解数学模型差生的误差当数学模型不能得到精确解时，通常用数值方法求其近似解，这一近似解与精确解之间的误差称为截断误差例如用如下泰勒多项式近似代替正弦函数，则数值截断误差是选定了求解数学问题的近似计算公式后，用计算机做数值计算时，由于计算机的字长限制，原始数据在计算机上表示时会产生误差，计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差例如用3.14159近似代替圆周率π，产生的误差就是舍入误差。由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数产生的初始误差对数值计算也将造成影响，分析初始数据的误差通常也归入舍入误差1.2.1误差与有效数字

误差限的大小其实还不能完全表示近似值的好与坏

有效数字

如果以m/s2

为单位，重力常数g约为9.80

m/s2，若以km/s2为单位，重力常数g约为0.00980

km/s2，它们都具有3位有效数字，因为

相对误差是无量纲的，而绝对误差是有量纲的

这一结论说明，有效数字越多，相对误差越小

1.2.3数值运算的误差估计

更一般的情况是，当自变量有误差时计算其函数值也将差生误差，其误差限可以利用函数的泰勒公式进行估计。

取绝对值得

于是误差限为

3、递推化：把复杂的计算归结为简单过程的多次重复计算，易于用循环结构来实现（如迭代法）谢谢！数值分析方法面向“四新”人才培养普通高等教育系列教材主编

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1.3误差分析与规避1.3.1算法的数值稳定性用一个算法进行计算，由于初始数据误差在计算中传播使计算结果误差增长很快就是数值不稳定的，先看下例。例：计算并估计误差.解：由分部积分可得（1.3.1）计算结果：n法一(A)法二(B)01234567890.63210.36790.26420.20740.17040.14800.11200.2160-0.72807.5520.63210.36790.26430.20730.17080.14550.12680.11210.10350.06841.3.2误差规避数值计算中通常不采用数值不稳定算法，即能控制误差的传播。在设计算法时应尽量避免误差带来的影响，防止有效数字丢失。可采用的方法有：两数相加时防止较小的数加不到较大的数上，即避免大数吃小数两个相近数相减，以免有效数字的大量丢失避免分母很小（或乘法因子很大）,以免产生溢出3、递推化：把复杂的计算归结为简单过程的多次重复计算，易于用循环结构来实现（如迭代法）谢谢！数值分析方法面向“四新”人才培养普通高等教育系列教材主编

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1.4数值计算中典型的算法设计技术1.4.1以直代曲的近似技术刘徽的“割圆术”定积分的梯形法定积分的复化梯形法1.4.2方程求根的“增乘开方法”与迭代算法

“增乘开方法”是一个非常有效的和高度机械化的算法，可以适用于开任意整数次方。方程求根的“增乘开方法”大意南宋著名数学家秦九韶（1208年－1268年）在他的代表性著作《数书九章》中将“增乘开方法”推广到了高次方程，并命名为“正负开方术”

多项式求值的秦九韶算法

乘法运算次数由o(n2)次降为o(n)，降低了运算复杂度.方程求根的迭代算法

1.4.3加权平均的松弛算法如图，刘徽（设半径为10）发现，小长方形ABEF（

称“方田”）

的重要作用，即：“割圆术”中刘徽选择了

根据松弛技术可令这就是数值积分中的辛普森公式3、递推化：把复杂的计算归结为简单过程的多次重复计算，易于用循环结构来实现（如迭代法）谢谢！数值分析方法面向“四新”人才培养普通高等教育系列教材主编

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1.5Python语言简介1.5.1基本介绍Python官网/downloadspip或conda安装，后者需要借助Anaconda等程序，Anaconda的官方下载网址为/Python的基本程序设计环境称为Python整合开发环境(PythonIntegratedDevelopmentEnvironment,IDLE)目前Python有很多的解释器与整合开发环境，除了官方的IDLE外，还有IPython，Spyder，PyCharm，JupyterNotebook等很多第三方软件Spyder工作界面1.5.2语言基础变量和赋值>>>x=1定义一个变量x，它的值就是1。在这里“=”是一个赋值(assignment)符号，即将右侧的值赋给了左侧的变量。多个变量一起赋值：>>>a,b,c=1,2,3变量值交换：>>>a,b=b,a链式赋值：>>>a=b=c=1增量赋值：>>>x+=2>>>x-=1>>>x*=2>>>x/=5数字类型：整型(int)浮点型(float)复数类型(complex)常见的数值运算符：整除运算：“//”取余运算：“%”幂（乘方）运算：“**”

其他数据类型：字符串(string)类型通过引号将一组字符包裹起来的方式定义，例如：>>>"Ilikemath!">>>"Let'slearnnumericalanalysis!">>>'我喜欢"数值分析“’和数值一样，字符串也可以赋值给变量，例如：>>>name="张三"布尔(bool)类型布尔类型数据是Python进行逻辑运算的基础。它只有两个值：真(True)和假(False)。它们被用于返回一些判断表达式的结果，例如：>>>5>4>>>5>=4>>>5==4>>>5<=4>>>5<4布尔型的变量的常见运算包括：与“and”，或“or”，和非“not”，例如：>>>5>4and4>3>>>5>4and4<3>>>5>4or4<3>>>4>5or4<3>>>not(5>4)>>>not(4<3)函数：数学运算函数：幂运算函数：pow(2,3)；绝对值函数：abs(-6)；取整函数：round(3.14)其他常用内置函数type函数：用于查询变量的类型float函数：把字符串或者整数参数返回为浮点数int函数：把字符串或者浮点数返回为整数bool函数：将数值（0为False，其他为True）或其他表达

式返还为布尔型变量str函数：将参数返回为字符串。>>>x=1>>>type(x)<class'int'>>>>x=1.1>>>type(x)<class'float'>>>>x=1==1>>>type(x)<class'bool'>>>>float(1)1.0>>>float("3.14")3.14基本数据结构：列表(list)：即列表中的每个元素都可以和一个自然数相对应，我们称这个自然数为编号或索引(index)。在Python中可以用“[]”字符对来定义列表，列表中的元素用逗号“,”分隔，例如：>>>data_list_1=[1,2,3,4,5]>>>data_list_1[0]>>>max(data_list_1)5>>>min(data_list_1)1>>>sorted([2,1,5,4,3])[1,2,3,4,5]>>>sorted([2,1,5,4,3],reverse=True)[5,4,3,2,1]>>>complex_list_1=[1,"astring",[2,2]]>>>chr_list_1=list("abcdefghij")>>>chr_list_1['a','b','c','d','e','f','g','h','i','j']>>>chr_list_1[2:8]['c','d','e','f','g','h']>>>chr_list_1[2:]['c','d','e','f','g','h','i','j']>>>chr_list_1[:8]['a','b','c','d','e','f','g','h']>>>chr_list_1[:-2]['a','b','c','d','e','f','g','h']基本数据结构：元组(tuple)：定义和列表很相似，最大的不同是元组是不能修改的。它的定义方式也很类似于列表，只是不用中括号，而是用一对小括号“()”将元素包裹起来。例如：>>>data_tuple_1=(1,2,3)>>>empyty_tuple=()>>>one_element_tuple=(1,)集合(set)：和数学上的定义一样，集合中的元素是不重复的，因此集合可以很方便的获取列表或元组的无重复子集。它的定义方式于列表很相似，不过包裹元素的不是中括号而是大括号“{}”，例如：>>>set1={1,1,2,2,3,3}>>>set1{1,2,3}>>>type(set1)<class'set'>>>>list1=[1,2,3]>>>tuple1=tuple(list1)>>>tuple1(1,2,3)>>>list2=list(tuple1)>>>list2[1,2,3]>>>set1={1,2,3,4}>>>set2={2,4,6,8}>>>set1|set2{1,2,3,4,6,8}>>>set1&set2{2,4}>>>set1-set2{1,3}>>>set1^set2{1,3,6,8}>>>set()|{1,2}{1,2}基本数据结构：字典(dictionary)：字典的构建方式与集合类似，由大括号“{}”将各项包裹起来，用逗号“，”分割每一项，但字典中每一项都要被冒号“:”分割为两个部分，冒号左侧为键，右侧为值，例如：}>>>phone_book_dict={"张三":1001,"李四":1002,"王五":1003}>>>phone_book_dict["张三"]1001>>>phone_book_dict["李四"]1002>>>phone_book_dict["赵六"]=1004>>>phone_book_dict{'张三':1001,'李四':1002,'王五':1003,'赵六':1004}>>>dict1={}>>>dict1["key1"]=0.1>>>dict1["key2"]=0.2>>>dict1{'key1':0.1,'key2':0.2}>>>list1=[('key1',1),('key2',2),('key3',3)]>>>dict1=dict(list1)>>>dict1{'key1':1,'key2':2,'key3':3}条件语句在Python中，通过相同大小缩进的方式来标记这样一组代码，通常称为语句块。完整的条件语句结构为：If条件1: 语句块1elif条件2: 语句块2……else: else语句块x=int(input("Pleaseinputx:\n"))ifx%2==1:

y=x**2

print(f"xisaoddnumber,andy={y}")else:

y=0

print(f"xisaevennumber,y={y}")1.5.3程序设计基础分别输入x为1和2，有以下两个结果：Pleaseinputx:1xisaoddnumber,andy=1

Pleaseinputx:2xisaevennumber,y=0elif子句是在需要对多个条件进行判别并分别处理情况下所使用的一种子句，例如根据用户输入的月份，判断该月的天数：x=int(input("Pleaseinputthemonthyouwant:\n"))ifxin(1,3,5,7,8,10,12):

print("Thereare31days!")elifxin(4,6,9,11):

print("Thereare30days!")else:

print("Thereare28days!")其运行结果如下：Pleaseinputthemonthyouwant:12Thereare31days!循环语句for循环变量in迭代对象:

循环语句块list1=[1,3,2,4,5,6]evenlist=[]forkinlist1:

ifk%2==0:

evenlist.append(k)print(evenlist)while循环条件:

循环语句块s=0k=1whilek<=100:

s+=k

k+=1print(f"Thesumofintegers

from

1to100is{s}")列表推导式[k**2forkinrange(10)]定义函数最简单的自定义函数可以不接收任何参数：定义一个函数，将输入参数打印出来：调用函数时提供的数据是不可变类型的数据，函数对形式参数的操作不会影响函数外的变量defhello():

print("Hello！")defhello_to(name):

print("Hello！"+name)defplus_1(x):

x=x+1

print(x)定义了函数plus_1，如果在命令行中作如下操作：>>>x=5>>>plus_1(x)6>>>x5当调用时的实际参数是一个列表时，情况就有所变化，例如定义一个以列表为参数的函数add_1：defadd_1(list1):list1.append(10)print(list1)当实际参数为一个列表时，函数对参数的操作会影响函数外的变量，例如：>>>x=[1,2]>>>add_1(x)[1,2,10]>>>x[1,2,10]>>>x=[1,2]>>>add_1(x.copy())[1,2,10]>>>x[1,2]当函数需要多个参数时，可以在def语句的函数名后括号里依次加入参数变量，中间用逗号隔开。例如可以定义两个变量，求它们的商：defdiv_1(a,b):

print(a/b)则可以在控制台中调用这个函数：>>>div_1(1,2)0.5div_5=lambdaa,b:a/b>>>div_5(1,2)0.5脚本文件和模块Python是一种脚本式语言，这意味着Python的程序不需要编译，直接由解释器就可以执行。用户可以将自定义的代码存储在计算机硬盘上一个文本文档中，并使用Python的解释器运行此脚本文件。习惯上，Python的脚本文件以扩展名“.py”结尾，因此也经常被称为py文件。Python脚本文件有很多作用，例如在Linux或MacOS系统中，经过简单配置，一个Python脚本文件可以像普通程序一样运行，在Windows系统中，也可以利用Python解释器或者整合开发环境（IDE）来编辑和运行脚本。在Python中调用模块，可以使用import命令，例如在控制台输入：>>>importmath则math模块就被导入环境，下面可以利用math模块中的函数进行运算：>>>importmath>>>math.exp(1)2.718281828459045>>>math.log(10)2.302585092994046>>>math.sin(math.pi/2)1.0>>>help(math)Helponbuilt-inmodulemath:NAME

math

DESCRIPTION

Thismoduleprovidesaccesstothemathematicalfunctions

definedbytheCstandard.……>>>help(math.sin)Helponbuilt-infunctionsininmodulemath:

sin(x,/)

Returnthesineofx(measuredinradians).Python允许用户使用别名，例如可以如下调用math工具包：>>>importmathasm>>>print(m.pi)3.141592653589793>>>m.cos(m.pi/6)0.8660254037844387>>>m.sqrt(3)/20.8660254037844386可以通过from和import命令直接将模块中的函数或变量导入，例如>>>frommathimportpi,tan>>>tan(pi/4)0.9999999999999999可以使用通配符“*”将模块中的全部内容导入，例如：>>>frommathimport*>>>radians(180)3.141592653589793Python提供了一些基本的模块如获取系统信息的sys模块，访问操作系统的os模块，进行时间处理的time模块，生成随机数的random模块等。NumPy工具包：可查阅/1.5.4常用工具包importnumpyasnarray1=np.array([1,3,5,7,9,11])array2=np.array([[1,3,5],[7,9,11]])>>>np.ndim(array1)1>>>np.ndim(array2)2>>>array1.shape(6,)>>>array2.shape(2,3)NumPy允许用户在创建数组时指定数组中数据的类型>>>array3=np.array([[1,3,5],[7,9,11]],dtype=8)>>>array3array([[1,

3,

5],

[7,

9,11]],dtype=int8)NumPy还提供了很多函数用于生成数组>>>np.arange(5)array([0,1,2,3,4])>>>np.linspace(1,10,10)array([1.,2.,3.,4.,5.,6.,7.,8.,9.,10.])在NumPy中，为了标记出于高维数组不同位置上的元素，引入了轴(axis)的概念。轴的个数对应于数组维度数，每个轴都是独立的索引体系，利用轴可以对NumPy数组进行一些更为细致的操作。>>>array2=np.array([[1,3,5],[7,9,11]])>>>array2array([[1,3,5],[7,9,11]])>>>array2[0,2]5>>>array2[0,:]array([1,3,5])>>>array2[:,2]array([5,11])>>>array2[1,::2]array([7,11])>>>array2[:,::2]array([[1,

5],

[7,11]])NumPy中数组的reshape方法可以用来修改矩阵“形状”，>>>A=np.arange(6)>>>print(A)[012345]>>>B=A.reshape(2,3)>>>print(B)[[012]

[345]]>>>C=A.reshape(3,2)>>>print(C)[[01]

[23]

[45]]>>>D=A.reshape((3,2),order="F")>>>print(D)[[03]

[14]

[25]]如果只想用reshape方法控制某个轴方向上的元素数，其他方向可以用-1来标志，如将上述A数组改为2行的数组，则可以使用如下命令：>>>B2=A.reshape((2,-1))>>>print(B2)[[012]

[345]]NumPy的使用者需要考虑将两个或者更多的矩阵拼接到一起，例如在求解线性方程组时需要将系数矩阵和常数向量拼接称为一个增广矩阵。这时可以使用NumPy的hstack和vstack函数来在“水平”和“垂直”方向连接矩阵。>>>A=np.arange(0,4).reshape(2,2)>>>B=np.arange(4,8).reshape(2,2)>>>print(A)[[01]

[23]]>>>print(B)[[45]

[67]]>>>print(np.hstack((A,B)))[[0145]

[2367]]>>>print(np.vstack((A,B)))[[01]

[23]

[45]

[67]]SymPy工具包：可查阅/SymPy是针对符号计算问题的Python工具包。它提供了针对各种符号计算问题的计算机代数系统。对一般的代数运算，微积分，代数方程和微分方程求解以及矩阵计算方面提供了全面而简单的解决工具。首先要导入工具包：>>>importsympyassp声明符号变量：>>>x,y,z=sp.symbols("xyz")定义表达式erp1>>>epr1=x**2+4*x+3对epr1进行因式分解：>>>sp.factor(epr1)(x+1)*(x+3)求解方程>>>sp.solve(epr1)[-3,-1]将x替换为1，求erp1的值>>>epr1.subs(x,1)8 将此值转化为浮点数类型：>>>epr1.subs(x,1).evalf()8.00000000000000定义表达式erp2>>>epr2=