空间向量运算的坐标表示 教学设计

1.3.2空间向量运算的坐标表示教学设计一、内容和内容解析1.内容：空间向量的坐标运算；根据向量坐标判断两向量平行或垂直；向量长度公式；两向量夹角公式、空间两点间距离公式。2.内容解析本节课是人教A版高中数学选择性必修第一册第一章第三节的第二课时。引入空间直角坐标系，为学生学习立体几何提供了新的方法，为培养学生思维提供了更广阔的空间。本节课是在学生学习了空间向量及其运算和基本定理的基础上进一步学习空间向量运算的坐标表示，是平面向量运算的坐标表示在空间的推广，是运用向量坐标运算解决几何问题的基础.二、目标和目标解析1.目标（1）掌握空间向量运算的坐标表示通过向量坐标判断两向量特殊位置关系掌握向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式培养学生类比思想、转化思想，提升学生“数学运算”和“逻辑推理”学科素养2.目标解析掌握空间向量加减、数乘、数量积的坐标运算会根据向量的坐标，判断两个向量平行或垂直能根据向量的坐标计算出向量的模长，两向量夹角和空间两点距离，并能解决简单的立体几何问题教学问题诊断分析1.教学问题诊断：（1）空间向量运算的坐标表示同平面向量运算的坐标表示类似，可以类比平面向量运算的坐标表示进行推广，但怎样推广是学生的困难所在（2）学生难将向量坐标运算的代数结果与几何问题进行转化，利用空间向量运算的坐标表示解决一些立体几何问题是教学中的难点2.教学重点：空间向量的坐标运算，空间向量平行和垂直的条件，距离公式，夹角公式3.教学难点：运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题教学支持条件：多媒体辅助教学教学过程设计知识回顾平面直角坐标系平面直角坐标系空间直角坐标系空间点和空间向量的坐标表示【设计意图】回顾上节课所学内容，为本节课的学习作铺垫。类比得到空间向量运算的坐标表示【探究一】有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得到空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？平面向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示其他运算的坐标表示可以类似证明。由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的.类似地，我们有：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，即平面向量的坐标表示空间向量的坐标表示【设计意图】通过探究一，让学生通过类比平面向量的坐标运算，猜想空间向量加减、数乘、数量积的坐标表示，并引导学生进行证明，体会类比思想在解决问题中的重要作用。空间向量平行、垂直、长度、夹角的坐标表示问题1：平面向量的坐标可以用于表示向量平行、垂直等特殊位置关系，以及解决关于长度、夹角等的计算问题，空间向量呢？我们先分析平行的情况.平面向量的平行关系空间向量的平行关系答案：显然不能。因为只有当均不为0时，才有意义；而.所以当都不为0时，.下面分析垂直的情况平面向量的垂直关系空间向量的垂直关系接着分析空间向量长度、夹角的坐标表示平面向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示【探究二】你能利空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？如图，建立空间直角坐标系，设是空间中任意两点，则于是这就是空间两点间的距离公式.特别地，设，则【设计意图】引导学生利用空间向量的坐标运算推导空间向量平行、垂直、长度、夹角的坐标表示，同时与平面向量进行比较。例题讲解分析：问题2：如何建立空间直角坐标系呢？答案：证明：如图，以为原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1.则所以又所以所以所以（1）分析：利用条件建立适当的空间直角坐标系点A、M的坐标利用空间两点间的距离公式求出AM的长.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则（2）分析：问题3：两条直线的夹角与对应方向向量的夹角相等吗？答案：不一定，它们的取值范围不同。，解：由已知，得所以，,所以，，同理可得所以所以（3）分析：证明：由题意得所以由（2）知所以,所以所以问题4：你能从以上两题的解答中体会到根据问题的特点，建立适当的空间直角坐标系，用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标运算求解问题的基本思路吗？基本思路：建立恰当的空间直角坐标系，求出有关点的坐标和相关向量的坐标（2）进行向量及其坐标的运算求解问题（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.【设计意图】通过两道例题，让学生掌握建立空间直角坐标系，用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标运算解决简单的立体几何问题，并及时总结出解题思路。课堂小结回顾本节课探究空间向量运算的坐标表示的过程，你学到了什么？空间向量运算的坐标表示：加减、数乘、数量积空间向量坐标运算的应用位置关系：平行、垂直计算问题：长度、夹角用坐标法解决立体几何问题的三部曲化为向量问题进行向量运算回到图形问题数学思想：类比、转化与化归【设计意图】课堂小结，引导学生对本节课内容进行回顾，强化学生的记忆，完善学生的知识结构.课后作业【设计意图】课后作业，检测学生对本节课所学知识的掌握情况，加深理解和巩固。第4题是课后思考题，除了本节介绍的坐标法外，还可以用向量法、综合法解决，让学生思考感受一题多解，体会不同方法的特点。1.3.2空间向量运算的坐标表示答疑教学设计1.空间向量和平面向量的坐标运算具有类似的运算法则，只是增加了竖坐标，由二维向量推广到三维向量，你会证明空间向量加减法、数乘运算的坐标表示吗？【设计意图】课堂中只是类比平面向量的坐标运算猜想空间向量加减、数乘运算的坐标表示，类比猜想的结论不一定正确，在这里给出证明确保结论的正确性。本节例1中，你还有其它方法证明吗？【向量法】【综合法】解决立体几何问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法，综合法：以逻辑推理作为工具解决问题；向量法：利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法：利用数及其运算来解决问题，常与向