2024北京汇文中学初三（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京汇文中学初三（上）期中数学本试卷共8页，试卷总分100．考试时长120分钟．请考生务必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列四个品牌图标中，是中心对称图形的是（）A.B.C.D.2.将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A. B.C. D.3.的半径为3，点P到圆心O的距离为2，点P与的位置关系是（）A.无法确定 B.点P在外 C.点P在上 D.点P在内4.对于二次函数，下列说法错误的是（）A.它的图象的开口向下 B.它的图象的对称轴是直线C.当时，y取最大值 D.当时，y随x的增大而减小5.一元二次方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根C.有两个相等的实数根 D.无法确定6.如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，B4,0，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（）A.点 B.点 C.点 D.点7.如图，在长为，宽为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，问道路应为多宽？若设道路宽为，则下列方程正确的是（）A. B.C. D.8.兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（）A.， B.， C.， D.，二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．9.点关于轴对称的点的坐标是______．10.若关于x的一元二次方程有一个根为1，则t的值为______．11.已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为__（结果保留．12.如图，已知圆心角的度数为，则圆周角的度数是_______．13.已知二次函数图像上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表：x…01234…y…−3−4−305…直接写出该二次函数的图像与x轴的交点坐标______．14.已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的值可以是______（写出一个即可）．15.如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若∠CPA=40°，则∠CAD的度数为______°．16.如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：①每人首次取球时，只能取走2个或3个球：后续每次可取走1个，2个或3个球；②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；③最后一个将球取完的人获胜．（1）若甲首次取走写有b，c的两个球，乙又取走g，h两个球，接着甲又取走两个球，则______（填“甲”或“乙”）一定获胜；（2）若甲首次取走写有g，h的两个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是______．三、解答题：本题共12小题，共68分．17.解方程：．18.在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上一点（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；①作线段的垂直平分线DE，交于点D，垂足为E；②以点D为圆心，长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接．（2）引理的结论为：．证明：连接∵DE为的垂直平分线∴∴又∵四边形内接于圆∴（______）①（填推理的依据）又∵∴____________…②又∵∴____________…③∴∴∴．19.如图，在平面直角坐标系中，．（1）将点B向上平移4个单位长度，得到点C，则点C的坐标是___________．（2）将绕点B顺时针旋转得到，其中点A与点D对应，点D在线段上，请在图中画出；（3）经过A，B，E三点___________确定一个圆．（填写“能”或“不能”）20.已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：（1）点A、B、C的坐标；（2）的面积．21.如图，内接于，高AD经过圆心O．若，的半径为5，求的面积．22.已知关于x的一元二次方程有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最大整数，求方程的解．23.已知抛物线，（1）画出它的图象；（2）求该抛物线的顶点坐标；（3）当时，直接写出y的取值范围．24.如图，是的外接圆，为直径，弦，过B做的切线，交的延长线于点E．（1）求证：；（2）求证：．25.如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：x（米）02468y（米）4.05.56.05.54.0（1）根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式；（2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图像．（3）若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点，（1）求a的值；（2）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（3）点，在抛物线上，若，求m的取值范围．27.如图，等腰直角中，将边绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，过点C作交于E，连接．（1）依题意补全图1；（2）求的度数；（3）作点A关于直线的对称点M，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系中，的半径为1，点A在上，点P在内，给出如下定义：过点P作x轴的垂线交与点B（点B位于x轴上方），交x轴于点D，D，B的距离记为，A，D的距离为，若，则点P与点A关于的“特征距离”为，若，则点P与点A关于的“特征距离”为．（1）点A的坐标为1,0．①若点P的坐标为，则点P与点A关于的“特征距离”为______；②若点Q与点A关于的“特征距离”为1，求点Q纵坐标的取值范围______；③点Q在直线上，点Q与点A关于的“特征距离”为，求点Q的坐标；（2）若当d取某个值时，对于函数的图象上任意一点M，在上都存在点N，使得点M与点N关于的特征距离为d，直接写出d的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】B【分析】根据中心对称图形的定义，即可进行解答．【详解】解：A、C、D找不到一个点，使A、C、D绕该点旋转后能与原来的图形重合，故A、C、D不是中心对称图形，不符合题意；B能找不到一个点，使B绕该点旋转后能与原来的图形重合，故B是中心对称图形，符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．2.【答案】D【分析】本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解即可．【详解】解∶抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为，故选∶D．3.【答案】D【分析】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．据此判断即可．【详解】解：∵的半径为3，点P到圆心O的距离为2，∴，∴点P在内，故选：D．4.【答案】B【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．【详解】解：A、∵，∴它的图象的开口向下，故该选项正确，不符合题意；B、它的图象的对称轴是直线，故该选项错误，符合题意；C、当时，y取最大值，故该选项正确，不符合题意；D、当时，y随x的增大而减小，故当时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；故选：B．5.【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的根的判别式得到，即可得出答案．【详解】解：∵，∴一元二次方程有两个不相等的实数根．故选：A．6.【答案】B【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用．根据图形作线段的垂直平分线，与的垂线平分线的交点即为圆心，根据图形得出即可．【详解】解：如图：作线段的垂直平分线，与的垂线平分线交于点E，即为弧的圆心，故选：B．7.【答案】C【分析】设道路宽为，分别表示出除去道路之后矩形的长和宽，然后根据试验田总面积为，列方程即可．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是看清图形，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．【详解】解：由题意得，．故选：C．8.【答案】A【分析】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数自变量的取值范围确定b的取值是解题的关键．由图象可知，当时，，可知；由函数自变量的取值范围可得，结合函数图象可得；从而可得答案.【详解】解：由图象可知，当时，，∴；由函数自变量的取值范围可得，结合函数图象可得；故选：A．二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．9.【答案】【分析】本题考查了点坐标规律探索，熟练掌握点坐标关于y轴对称的变换规律是解题关键．根据点坐标关于y轴对称的变换规律即可得．【详解】∵关于y轴对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，∴点关于轴对称的点的坐标是．故答案为：．10.【答案】3【分析】本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．把代入，转化为的方程求解即可．【详解】解：把代入，得，解得：，故答案为：3．11.【答案】【分析】已知扇形的圆心角为，半径为2，代入弧长公式计算．【详解】解：依题意，，，扇形的弧长．故答案为：．【点睛】本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长=．12.【答案】【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，应在优弧上取D点，连接，再进行解答即可．【详解】解：如图，在优弧上取D点，连接，∵点C在的圆周上，∵的度数为，∴．∴．故答案为：．13.【答案】，【分析】利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，再利用抛物线的对称性写出点关于直线的对称点即可．【详解】解：∵抛物线经过点，∴抛物线的对称轴为直线，∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，即该二次函数图象与x轴的交点坐标为，．故答案为：，．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．14.【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由当时，y随着x的增大而增大可得m的取值范围．【详解】解：∵，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，∴时，y随x增大而增大，∵当时，y随x的增大而增大，∴，则m的值可以是，故答案为：（答案不唯一）．15.【答案】50【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到OC⊥CP，OD⊥DP，利用四边形内角和定理得到∠COD，根据圆周角定理即可求得到∠CAD．【详解】解：连接OC、OD，如图，∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，∴OC⊥CP，OD⊥DP，∵OP=OP，OC=OD，∴△POC≌△POD(HL)，∴∠CPO=∠DPO，∵∠CPA=40°，∴∠CPD=80°，∴∠COD=360°-80°-90°-90°=100°，∵∠CAD=∠COD=50°，故答案为：50．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．16.【答案】①.甲②.c，d【分析】本题考查了逻辑推理，关键是明确最后一个将球取完的人获胜．（1）由取法可知，余下两个相邻，根据规则即可判断结果；（2）根据规则可知，要想自己获胜必须保证自己倒数第二次时，最后余下2个不相邻的球，由此设计方案即可．【详解】解：（1）∵甲首次取走写有b，c的两个球，乙又取走g，h两个球，剩下a，，，d，e，f，，，接着甲又取走两个球，它们是d，e，或e，f，只剩下a，，f或a，，d，∵它们不相邻，∴乙只能拿走一个，故甲拿走最后一个，故甲胜；枚答案为：甲；（2）∵甲首次取走g，h二个球，还剩下a，b，c，d，e，f，，乙取c，d，余下a，b，，，e，f，，此时甲取a，b或e，f，余下两个相邻，乙可取完，乙胜；若甲取a或b，那么乙取e或f，那么剩下两个不相邻，则乙胜；若甲取e或f，那么乙取a或b，那么剩下2个球不相邻，则乙胜；因此，乙一定要获胜，那么它首次取c，d，故答案为：c，d．三、解答题：本题共12小题，共68分．17.【答案】，．【分析】利用因式分解法解方程．此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题的关键．【详解】解：∴或，∴，．18.【答案】（1）①见解析；②见解析（2）见解析【分析】本题考查了垂直平分线的基本作图，三角形全等的判定和性质，圆的内接四边形的性质．（1）①根据基本作图的基本步骤画图即可；②按照步骤画图即可．（2）根据三角形全等的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，圆的内接四边形的性质等推理证明即可．【小问1详解】解：①根据基本作图的基本步骤画图如下：则即为所求．②根据题意，画图如下：

则即为所求．【小问2详解】证明：连接，，，．∴为的垂直平分线，∴，∴．又∵四边形内接于圆∴．（

圆的内接四边形，对角互补）．又∵，∴．又∵，∴，（同圆或等圆中，等弧所对圆周角相等）．∴，∴．

19.【答案】（1）；（2）见解析；（3）不能．【分析】（1）根据平移的性质可得答案；（2）先作出，由旋转后点D在线段上可知绕点B顺时针旋转，根据旋转的性质确定点D、E的位置，然后顺次连接即可；（3）根据A、B、E三点共线可得答案．【小问1详解】解：∵，∴点B向上平移4个单位长度，得到点C，点C的坐标是，故答案为：；【小问2详解】解：如图，即为所求；【小问3详解】解：由图可得，A、B、E三点共线，∴经过A，B，E三点不能确定一个圆，故答案为：不能．【点睛】本题考查了平移的性质，画旋转图形，旋转的性质，确定圆的条件等知识，熟练掌握旋转的性质，作出旋转后的图形，得出A、B、E三点共线是解答本题的关键．20.【答案】（1）；；（2）6【分析】（1）根据题意得出求出图象与x轴以及y轴交点坐标；（2）根据A，B，C的坐标求出，长，即可求出的值．【小问1详解】解：令，则，∴；令，则，解得：，，∴；．【小问2详解】解：∵，，∴，，∴．【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键熟练进行计算．21.【答案】【分析】本题考查了垂径定理，弧与弦的关系，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．连接，勾股定理求得，继而得出，根据三角形面积公式进行计算即可求解．【详解】解：如图，连接，∵，且AD经过圆心O，，∴，∵的半径为．∴，在中，，∴，∴，∴．22.【答案】（1）（2）【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，解一元二次方程；（1）根据有实数根可得，据此列式求解即可；（2）根据m的取值范围可知，则该方程为，解方程即可．【小问1详解】解∶∵一元二次方程有实数根，∴，解得；【小问2详解】解：∵m为符合条件的最大整数，，∴，∴原方程为，解方程得．23.【答案】（1）见解析（2）（3）【分析】本题考查了二次函数的交点式，顶点式，画函数图象，二次函数与不等式等知识，会画函数图象，并利用函数图象解决问题是解题的关键．（1）根据列表，描点，连线即可画出函数图象；（2）把抛物线化为顶点式，即可解答；（3）结合二次函数的图象，以及，即可作答．【小问1详解】解：列表如下：描点并画图如下：【小问2详解】解：∵，∴该抛物线的顶点坐标为；【小问3详解】解：由（2）知：，且，则抛物线开口向上，x=1时，抛物线有最小值；当时，；当x=2时，；∴当时，．24.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．（1）根据等腰三角形的性质得到，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到结论；（2）连接，，证明，推出，由是的切线可得，继而判断．【小问1详解】证明：，，∵，．【小问2详解】连接，，在和中，，，，（），，∵，∴，，∵，∴，，是的切线，，．25.【答案】（1）6，．（2）见解析（3）隧道需标注的限高应为4.5米【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据题意，以点A为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标，画出函数图像即可；

（3）令，求得相应的y值，结合到隧道顶面的距离不小于0.35米,可得汽车最高点距地面的距离即可解答．【小问1详解】解：根据二次函数的对称性可知，当时，y有最大值6，设∵D的坐标为∴，解得∴．故答案为：6，．【小问2详解】解：根据题意，以点A为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标,画出图像如图所示：【小问3详解】解：令，可得隧道需标注的限高应为（米）．答：隧道需标注的限高应为4.5米．【点睛】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数量关系、求得函数解析式是解题的关键．26.【答案】（1）（2）（3）或【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．（1）将点代入抛物线解析式计算即可；（2）结合（1）中的结果，将抛物线解析式化为顶点式即可求解；（3）由（2）可得，抛物线对称轴为，由得到抛物线开口向上，则抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小，得到，分和两种情况讨论即可．【小问1详解】解：∵抛物线经过点，∴，∴；【小问2详解】解：由（1）得抛物线的表达式为，即，∴抛物线的对称轴为；【小问3详解】解：由（2）可得，抛物线对称轴为，∵，抛物线开口向上，∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小，∵点，在抛物线上，，∴即①当时，，解得，∴，②当时，，解得，∴，综上，m的取值范围为或．27.【答案】（1）见解析（2）（3），理由见解析【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）由，可得可得点B、C、D在以A为圆心，为半径的圆上，根据圆周角定