2024年中考数学真题分类汇编(全国版)专题09一元二次方程及其应用（33题）含答案及解析

专题09一元二次方程及其应用（33题）一、单选题1．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（

）A． B．C． D．2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(

)A． B．C． D．3．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（

）A．1 B． C． D．1或4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（

）A． B． C． D．6．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（

）A．2 B． C．2或 D．7．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（

）A． B．C． D．8．（2024·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（

）A． B． C．4 D．169．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（

）A． B．C． D．10．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A．且 B．C．且 D．11．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（

）A． B．C． D．12．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（

）A．， B．， C．， D．，13．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（

）A． B． C． D．614．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（

）A． B．C． D．二、填空题15．（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为．16．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则．17．（2024·江苏连云港·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为．18．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为．19．（2024·湖南·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为．20．（2024·河南·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为．21．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是．22．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为．23．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为．24．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为．25．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为．26．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为．27．（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是．三、解答题28．（2024·上海·中考真题）解方程组：．29．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______(2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？30．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．(1)填空：________，________；(2)求，；(3)已知，求的值．31．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根．(1)求的取值范围；(2)化简：．32．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．(1)求的取值范围．(2)若，且，，都是整数，求的值．33．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为，且，求的值．专题09一元二次方程及其应用（33题）一、单选题1．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；B、，解得：，故本选项符合题意；C、，，解得，故本选项不符合题意；D、，，解得，故本选项不符合题意．故选：B．2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和；∴，又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．∴A.中，，，故该选项不符合题意；B.中，，，故该选项符合题意；C.中，，，故该选项不符合题意；D.中，，，故该选项不符合题意；故选：B．3．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（

）A．1 B． C． D．1或【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得方程，利用公式法求解即可．【详解】解：由题意得：，解得：或（舍）故选：C．4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围．【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，且，即，解得：，的取值范围是且．故选：D．5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可．【详解】解：设每次降价的百分率为，由题意，得：，解得：（舍去）；故选C．6．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（

）A．2 B． C．2或 D．【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案．【详解】解：是关于的一元二次方程，，即由一个根，代入，可得，解之得；由得；故选A7．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键．设该村水稻亩产量年平均增长率为，根据题意列出方程即可．【详解】解：根据题意得：．故选：B．8．（2024·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（

）A． B． C．4 D．16【答案】C【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】∵方程有两个相等的实数根，，∴，∴，解得．故选C．9．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A．，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；B．，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；C．，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；D．，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意；故选：D．10．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A．且 B．C．且 D．【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，，，的取值范围是：且．故选：A．11．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率2021年底森林覆盖率，据此即可列方程求解．【详解】解：根据题意，得即，故选：B．12．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．【详解】解∶，∴，∴或，∴，，故选∶B．13．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（

）A． B． C． D．6【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则．根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可．【详解】解：，，而，，，故选：A．14．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程．【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意可得，故选：B．二、填空题15．（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为．【答案】/【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，∴，解得：．故答案为：．16．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可．【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为，满足一元二次方程，，解得，．故答案为：．17．（2024·江苏连云港·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为．【答案】/【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得，进行计算即可得．【详解】解：若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，，，故答案为：．18．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为．【答案】【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解．【详解】解：∵，∴，将代入得，，即：，，∴或，∵，∴舍，∴，故答案为：3．19．（2024·湖南·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为．【答案】2【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．【详解】解：由题意得：，解得：故答案为：220．（2024·河南·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为．【答案】/【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可．【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根，∴，∴，故答案为：．21．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是．【答案】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解．【详解】解：设平均增长率为x，由题意得：，解得：，（不符合题意，舍去）；故答案为：．22．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为．【答案】【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解．【详解】解：∵m是方程的一个根，∴，故答案为：．23．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为．【答案】或【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．【详解】解：∵，而，∴①当时，则有，解得，；②当时，，解得，综上所述，x的值是或，故答案为：或．24．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为．【答案】7【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可．【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，∴，，则∴故答案为：725．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为．【答案】6【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，，∴，∴故答案为：6．26．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为．【答案】/0.5【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．先根据根与系数的关系得到，，然后把化简为然后整体代入即可．【详解】解：方程的两根分别为，，，，．故答案为：．27．（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案．【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，，，，，．故答案为：．三、解答题28．（2024·上海·中考真题）解方程组：．【答案】，或者，．【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解．【详解】解：，由得：代入中得：，，，，解得：或，当时，，当时，，∴方程组的解为或者．29．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______(2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？【答案】(1)36；120；(2)不能(3)一共能摆放20排．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；（2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断；（2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值．【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为，前15行的点数之和为，那么，前行的点数之和为；故答案为：36；120；；（2）解：不能，理由如下：由题意得，得，，∴此方程无正整数解，所以三角点阵中前n行的点数和不能是500；故答案为：不能；（3）解：同理，前行的点数之和为，由题意得，得，即，解得或（舍去），∴一共能摆放20排．30．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．(1)填空：________，________；(2)求，；(3)已知，求的值．【答案】(1)，；(2)，；(3)．【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．（）利用根和系数的关系即可求解；（）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得；（）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解．【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，，故答案为：，；（2）解：∵，，∴，∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，∴，∴，∴；（3）