初中中考数学函数专题专题22二次函数中的最值问题含答案及解析

专题22二次函数中的最值问题知识对接考点一、求二次函数(a≠0)的最值的方法如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在图象的顶点处取得最大值或最小值,即当x=时,y最值=2.如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2(x1<x2,x1,x2对应的函数值分别为y1,y2),那么,首先要看是否在自变量x的取值范围内.(1)若在此范围内.①当a>0时,y最小=.y的最大值要看-x1与的大小:当前者大时,y最大=y1;当后者大时,y最大=y2.②当a<0时,y最大=.y的最小值要看-x1与的大小:当前者大时,y最小=y1;当后者大时,y最小=y2.专项训练一、单选题1．直角坐标系中，一次函数的图象过点，且，与轴，轴分别交于，两点．设的面积为，则的最小值是（）A．4 B．3 C．2 D．12．二次函数有（）．A．最小值，为6 B．最大值，为6 C．最小值，为5 D．最大值，为53．如图，在中，，，，点从点沿向点以的速度运动，同时点从点沿向点以的速度运动（点运动到点停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（）A． B． C． D．4．已知二次函数为常数，当时，函数值y的最小值为，则m的值是（）A． B． C．或 D．或5．关于的方程有两个不相等的实根、，若，则的最大值是（）A．1 B． C． D．26．已知二次函数y1＝mx2+nx﹣3（m≠0）经过点(2，﹣3)．不论m取何实数，若直线y2＝m2x+k总经过y1的顶点，则k的取值可以是（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．27．对于抛物线，下列说法不正确的是(

)A．向上平移一个单位可得到抛物线 B．当时，函数有最小值C．当时，y随x的增大而增大 D．与抛物线关于x轴对称8．已知二次函数y＝（m－2）x2＋2mx＋m－3的图像与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），则下列说法：①该二次函数的图像一定过定点（－1，－5）；②若该函数图像开口向下，则m的取值范围为：；③当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为4m－5；正确的有（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③9．如图，已知二次函数的图象（0≤x≤1+2）．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣2，无最大值B．有最小值﹣2，有最大值﹣1.5C．有最小值﹣2，有最大值2D．有最小值﹣1.5，有最大值210．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+10，当m≤x≤n，且mn＜0时，y的最小值为2m，y的最大值为2n，则的值为（）A．3 B． C．2 D．二、填空题11．如图，矩形ABCD中，BC＝4，AB＝3，点E为CD边上一动点（不与C、D重合），以CE为边向外作矩形CEFG，且CG＝CE，连接BF，点O是线段BF的中点，连接OE，则OE的最小值为_____．12．如图，正方形的边长为1，点在边上运动（不与点，重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接、、．则下列结论：①；②平分；③；④的面积的最大值是；其中正确的结论是______．∴，13．如图，矩形的四个顶点都在正三角形的边上．已知的边长为，记矩形的面积为，则当______时，有最大值是______．14．如图，在矩形ABCD中，，，点Р为边AD上一个动点，连接CP，点Р绕点C顺时针旋转90°得到点，连接并延长到点E，使，以CP、CE为邻边作矩形PCEF，连接DE、DF，则和面积之和的最小值为______________．15．对于二次函数，图象的对称轴为____________，当自变量x满足时，函数值y的取值范围为，则a的取值范围为________．三、解答题16．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，当EG宽为多少mm时，矩形有最大面积，最大面积是多少？17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于三点，其中点的坐标为，点的坐标为．（1）求该二次函数的表达式及点的坐标；（2）点为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接，以为邻边作平行四边形，设平行四边形的面积为①求的最大值；②当取最大值时，为该二次函数对称轴上--点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求点的坐标．18．已知二次函数y＝2x2﹣x+1，当﹣1≤x≤1时，求函数y的最小值和最大值．彤彤的解答如下：解：当x＝﹣1时，则y＝2×（﹣1）2﹣（﹣1）+1＝4；当x＝1时，则y＝2×12﹣1+1＝2；所以函数y的最小值为2，最大值为4．彤彤的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．19．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，16）．（1）求b，c的值；（2）是否存在实数m，n（m＜n），使当m≤x≤n时，二次函数的最小值是4m，最大值是4n．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．20．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．21．抛物线过点，点，顶点为．（1）求抛物线的表达式及点的坐标；（2）如图1，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点是线段上（与点，不重合）的动点，连接，作，边交轴于点，设点的横坐标为，求的取值范围．22．甲乙两人先后从地出发沿同一直道去地．设乙出发第时，甲、乙离地的距离分别为，，与之间的函数表达式是，与之间的函数表达式是．（1）乙出发时，甲离地的距离为____________m．（2）乙出发至甲到达地这段时间内，①两人何时相距180m？②两人何时相距最近？最近距离是多少？23．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点是抛物线上的一动点，且在直线的上方，当取得最大值时，求的最大值和点的坐标；（3）在直线的上方，抛物线上是否存在点，使四边形的面积为15？若存在，求出点的坐更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher标；若不存在，请说明理由．

专题22二次函数中的最值问题知识对接考点一、求二次函数(a≠0)的最值的方法如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在图象的顶点处取得最大值或最小值,即当x=时,y最值=2.如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2(x1<x2,x1,x2对应的函数值分别为y1,y2),那么,首先要看是否在自变量x的取值范围内.(1)若在此范围内.①当a>0时,y最小=.y的最大值要看-x1与的大小:当前者大时,y最大=y1;当后者大时,y最大=y2.②当a<0时,y最大=.y的最小值要看-x1与的大小:当前者大时,y最小=y1;当后者大时,y最小=y2.专项训练一、单选题1．直角坐标系中，一次函数的图象过点，且，与轴，轴分别交于，两点．设的面积为，则的最小值是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】首先将（2，kb）点代入一次函数解析式，求出k与b的关系式，再求出一次函数y=kx+b（kb≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点坐标，表示出△ABO的面积S，再根据b≥4，去掉绝对值，利用二次函数最值求法，可求出S的最小值．【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解：一次函数的图象过点，代入一次函数解析式得：，，，，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点坐标为：，，点的坐标为：，的面积为，；若，，，的最小值为：．故选：A．【点睛】此题主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标求法，以及二次函数的最值问题等知识，表示图象与坐标轴围成的面积，注意应该加绝对值保证是正值，这是做题中经常犯错的地方．2．二次函数有（）．A．最小值，为6 B．最大值，为6 C．最小值，为5 D．最大值，为5【答案】D【分析】先根据二次函数二次项系数，确定有最大值，再把二次函数化为顶点式求解即可．【详解】解：∵二次函数的解析式为，∴，∴二次函数有最大值，∵，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴当x=1时，二次函数有最大值5，故选D．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．3．如图，在中，，，，点从点沿向点以的速度运动，同时点从点沿向点以的速度运动（点运动到点停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】在中，利用勾股定理可得AC=6cm，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值．【详解】解：在中，，，，，设运动时间为，则，，当时，四边形的面积取最小值，最小值为cm2．故答案为：D【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．4．已知二次函数为常数，当时，函数值y的最小值为，则m的值是（）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x=m，解答时，分m＜-1，-1＜m＜2，m＞2三种情形求解即可．【详解】解：∵二次函数（为常数），∴抛物线的对称轴为直线x==m，当m＜-1时，-1＜x＜2表示的数在对称轴的右侧，∵二次函数（为常数）中，a=1＞0,∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，∴当x=-1时，函数y取得最小值，即1+2m=-2，解得m=；当-1＜m＜2时，∵二次函数（为常数）中，a=1＞0,函数有最小值，∴当x=m时，y取得最小值，即=-2，解得m=或m=-（不在范围内，舍去）；当m＞2时，∵二次函数（为常数）中，a=1＞0,∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴当x=2时，函数y取得最小值，即4-4m=-2，解得m=，（不在范围内，舍去）综上所述，m的值为或，故选D．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，最值，函数的增减性，利用分类思想，灵活运用二次函数的增减性确定最值是解题的关键．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher5．关于的方程有两个不相等的实根、，若，则的最大值是（）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可．【详解】解：由方程有两个不相等的实根、可得，，，∵，可得，，即化简得则故最大值为故选D【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及了配方法求解代数式的最大值，根据一元二次方程根与系数的关系得到系数的关系是解题的关键．6．已知二次函数y1＝mx2+nx﹣3（m≠0）经过点(2，﹣3)．不论m取何实数，若直线y2＝m2x+k总经过y1的顶点，则k的取值可以是（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2【答案】A【分析】将将点（2，﹣3）坐标代入抛物线求得n＝﹣2m的关系，再求得抛物线顶点坐标，将顶点坐标代入直线解析式，求得与的关系，即可求解．【详解】解：将点（2，﹣3）坐标代入抛物线y1的表达式得：﹣3＝4m+2n﹣3，解得：n＝﹣2m，故抛物线y1＝mx2﹣2mx﹣3，∵y1＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴抛物线y1的顶点坐标为：（1，﹣3﹣m），代入y2＝m2x+k得：﹣3﹣m＝m2+k，∴故k有最大值，此时，时，最大值为，故，故选：A．【点睛】此题考查了二次函数的性质及应用，熟练掌握二次函数的性质求解与的函数关系是解题的关键．7．对于抛物线，下列说法不正确的是(

)A．向上平移一个单位可得到抛物线 B．当时，函数有最小值C．当时，y随x的增大而增大 D．与抛物线关于x轴对称【答案】C【分析】根据二次函数图象的几何变换、二次函数的性质逐项排查即可解答．【详解】解：A、向上平移一个单位可得到抛物线，说法正确，故本选项不符合题意；B.由于a=3>0，该抛物线的开口方向向上，且顶点坐标是（0，-1），则当x=0时，函数有最小值-1，说法正确，故本选项不符合题意；C、由于对称轴是y轴且抛物线的开口方向向上，则当x<0时，y随的增大而减小，说法错误，故本选项符合题意；D、抛物线与抛物线关于x轴对称，说法正确，故本选项不符合题意．故选C．【点睛】本题主要考查二次函数的性质、二次函数图象与几何变换、二次函数的最值等知识点，解答灵活利用二次函数的性质是解答本题的关键．8．已知二次函数y＝（m－2）x2＋2mx＋m－3的图像与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），则下列说法：①该二次函数的图像一定过定点（－1，－5）；②若该函数图像开口向下，则m的取值范围为：；③更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为4m－5；正确的有（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①y=（m-2）x2+2mx+m-3=m（x+1）2-2x2-3，当x=-1时，y=-5，故该函数图象一定过定点（-1，-5），故①正确；②若该函数图象开口向下，则m-2＜0，且Δ＞0，△=b2-4ac=20m-24＞0，解得：m＞，且m＜2，故m的取值范围为：＜m＜2，故②正确；③当m＞2，函数的对称轴在y轴左侧，当1≤x≤2时，y的最大值在x=2处取得，故y的最大为：（m-2）×4+2m×2+m-3=9m-11，故③错误；故选A．【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．9．如图，已知二次函数的图象（0≤x≤1+2）．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣2，无最大值B．有最小值﹣2，有最大值﹣1.5更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherC．有最小值﹣2，有最大值2D．有最小值﹣1.5，有最大值2【答案】C【分析】由函数图象可看出其最大值和最小值，可求得答案．【详解】解：由图象可知当x=1时，y有最小值-2，当时，y有最大值2，∴函数有最小值-2，有最大值2，故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，正确识别函数图象、理解最值的意义是解题的关键．10．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+10，当m≤x≤n，且mn＜0时，y的最小值为2m，y的最大值为2n，则的值为（）A．3 B． C．2 D．【答案】C【分析】由题意可得m＜0，n＞0，则y的最小值为2m为负数，最大值为2n为正数．分两种情况讨论：①当n＜1时，x＝m时，y取最小值，求出m的值，当x＝n时，y取最大值，可求得n的值，即可得到m+n的值；②当n≥1时，当x＝m时，y取最小值，求出m的值，当x＝1时，y取最大值，求出n的值，或x＝n时，y取最小值，x＝1时，y取最大值，分别求出m，n的值，故可求解．【详解】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+10的大致图象如下：更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher．∵mn＜0时，y的最小值为2m，y的最大值为2n，∴m＜0，n＞0，①当n＜1时，x＝m时，y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+10，解得：m＝﹣3．当x＝n时，y取最大值，即2n＝﹣（n﹣1）2+10，解得：n＝3或n＝﹣3（均不合题意，舍去）；②当n≥1时，当x＝m时，y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+10，解得：m＝﹣3．当x＝1时，y取最大值，即2n＝﹣（1﹣1）2+10，解得：n＝5，或x＝n时，y取最小值，x＝1时，y取最大值，2m＝﹣（n﹣1）2+10，n＝5，∴m＝﹣3，所以m+n＝﹣3+5＝2．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，数形结合是解题的关键．二、填空题11．如图，矩形ABCD中，BC＝4，AB＝3，点E为CD边上一动点（不与C、D重合），以CE为边向外作矩形CEFG，且CG＝CE，连接BF，点O是线段BF的中点，连接OE，则OE的最小值为_____．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】【分析】根据矩形的性质证明，得出，，再根据已知设，则，再根据勾股定理求出，求出的最小值即可．【详解】解：延长，与交于点，如图所示：为中点，，，，在和中，，，，设，则，，，当最小时，最小，此时，即，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher，．故答案为：．【点睛】本题考查矩形的性质以及三角形全等的判定，关键是对知识的掌握和综合运用．12．如图，正方形的边长为1，点在边上运动（不与点，重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接、、．则下列结论：①；②平分；③；④的面积的最大值是；其中正确的结论是______．【答案】①③【分析】①正确，如图1中，在上截取，连接．证明即可解决问题；②错误，由（1）可得，，由此即可判定不平分；③正确，如图2中，延长到，使得，连接CH，则，再证明即可解决问题．④错误，如图1，设，则，利用三角形的面积公式构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．【详解】解：如图1中，在上截取，连接．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher，，，，，，，，，，∴，，，，，，，故①正确；∵在中，，∴，∴，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴不平分，故②错误；如图2中，延长到，使得，连接CH，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher又∵，，∴，，，，，又，，，，，，故③正确；如图1，设，则，，，∴当时，的面积取得最大值，最大值为，故④错误，故答案为：①③．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．13．如图，矩形的四个顶点都在正三角形的边上．已知的边长为，记矩形的面积为，则当______时，有最大值是______．【答案】3【分析】求出AF＝BG＝3−x，解直角三角形求出AD，再根据矩形的面积公式求出面积S关于x的函数关系式，把解析式化成顶点式，再得出答案即可．【详解】解：∵△EFG的正三角形，

∴∠G＝∠F＝60°，

∵四边形DABC是矩形，

∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠CBA＝90°，

∴∠DAF＝∠CBG＝90°，

在△FAD和△GBC中

，

∴△FAD≌△GBC（AAS），

∴AF＝BG，

∵FG＝6，AB＝x，

∴AF＝BG＝×（6−x）＝3−x，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵,∴,∴

∴AD＝，∴矩形ABCD的面积S＝AD×AB＝（，

即S关于x的函数表达式是：S＝，

∵0＜AB＜FG，FG＝6，

∴自变量x的取值范围是0＜x＜6，

S＝＝

＝

＝，

∵−，

∴开口向下，有最大值，

∴当x＝3时，S的最大值是，

故答案为：3，．【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的最值，等边三角形的性质，矩形的性质等知识点，能求出AF和AD的长解此题的关键．14．如图，在矩形ABCD中，，，点Р为边AD上一个动点，连接CP，点Р绕点C顺时针旋转90°得到点，连接并延长到点E，使，以CP、CE为邻边作矩形PCEF，连接更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherDE、DF，则和面积之和的最小值为______________．【答案】【分析】过点D作DH⊥PC于H，设PD=x，然后利用勾股定理求出PC，CH，EF的长，然后表示出面积，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：如图，过点D作DH⊥PC于H，设PD=x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2cm，∠PDC=90°，∴，∵DH⊥PC，∴∴，∴，∵四边形PCEF是矩形，∴，∵，∴更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴当时，有最小值，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形面积，二次函数等知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．15．对于二次函数，图象的对称轴为____________，当自变量x满足时，函数值y的取值范围为，则a的取值范围为________．【答案】直线【分析】根据二次函数对称轴公式代入，可得到对称轴；利用配方法求出顶点坐标，令，可得到点A，B的坐标分别为，画出图形，观察图形，即可求解．【详解】解：∵二次函数，∴对称轴为直线；∵，∴当时，函数有最小值，最小值为，当时，有，解得：，∴如图所示，点A，B的坐标分别为，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴当时，，∵时，函数值y的取值范围为，从图象中可得到时，．故答案为：直线；．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数与坐标轴的交点、顶点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征是解题的关键．三、解答题16．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，当EG宽为多少mm时，矩形有最大面积，最大面积是多少？【答案】（1）见解析；（2）正方形零件的边长为48mm；（3）当EG=40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2．【分析】（1）根据矩形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．（2）设正方形零件的边长为xmm，则KD=EF=x，AK=80-x，根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果；（3）根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【详解】解：（1）∵正方形EGHF，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC；（2）△ABC中BC边上的高AD与EF相交于点K，设EG=EF=x，∵△AEF∽△ABC，AD与AK是对应边上的高，∴，∴，∴x=48，∴正方形零件的边长为48mm；（3）△ABC中BC边上的高AD与EF相交于点K，设EG=a，∵矩形EGHF，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，AD与AK是对应边上的高，∴，∴，∴EF=120-a，∴矩形面积S=a（120-a）=-a2+120a=-（a-40）2+2400，当a=40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2，即：当EG=40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出△AEF∽△ABC．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于三点，其中点的坐标为，点的坐标为．（1）求该二次函数的表达式及点的坐标；（2）点为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接，以为邻边作平行四边形，设平行四边形的面积为①求的最大值；②当取最大值时，为该二次函数对称轴上--点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求点的坐标．【答案】（1）y=-x2+x+8，C点坐标为(8，0)；（2）①32；②P（2，2）或（2，6）【分析】（1）把A点和B点坐标代入y=-x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线的解析式；然后计算函数值为0时对应的自变量的值即可得到C点坐标（2）设直线ED交x轴于F，过点C作CH⊥DE于H，先求出直线AC的解析式为，然后设D（a，），直线DE的解析式为求出直线DE的解析式，从而求出F的坐标得到CF的长，即可得到CH的长，最后利用二次函数的性质求解即可；（3）设E（0，m），P（2，n），根据题意可得CD=CE，PD=PE即，，先求出D点坐标，然后利用两点距离公式求解即可．【详解】解：（1）把A(0，8)，B(-4，0)代入y=-x2+bx+c得更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher，解得，所以抛物线的解析式为y=-x2+x+8；当y=0时，-x2+x+8=0，解得x1=-4，x2=8，所以C点坐标为(8，0)；（2）①如图，设直线ED交x轴于F，过点C作CH⊥DE于H，∵C（8，0），A（0，8），设直线AC的解析式为，∴解得∴直线AC的解析式为，设D（a，），直线DE的解析式为，∴解得∴直线DE的解析式为，∵F是直线DE与x轴的交点，∴F（，0），∴∵OA=OC=8∴∠ACO=∠CAO=∠HFC=45°，∴，∵，∴，∴，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴∴当时，S有最大值32；②当S取最大值时，a=4，∴D（4，8）二次函数的对称轴，由题意可得，CD=CE，PD=PE即，设E（0，m）即，解得m=±4，即E（0，4）或（0，-4）,设P（2，n），∴或，解得或，∴P（2，2）或（2，6）．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，两点距离公式，平行四边形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．18．已知二次函数y＝2x2﹣x+1，当﹣1≤x≤1时，求函数y的最小值和最大值．彤彤的解答如下：解：当x＝﹣1时，则y＝2×（﹣1）2﹣（﹣1）+1＝4；当x＝1时，则y＝2×12﹣1+1＝2；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher所以函数y的最小值为2，最大值为4．彤彤的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．【答案】不正确，二次函数的最大值为4，最小值为1【分析】根据二次函数的性质，先求出其对称轴，然后确定函数图像的增减性，利用增减性和对称性求解即可得到答案．【详解】解：彤彤的解答不正确，∵∴二次函数的的对称轴，∵，且2＞0，∴当时，二次函数有最小值，二次函数在时，y随x增大而减小，二次函数在时，y随x增大而增大，∵，∴当时，二次函数有最大值，∴二次函数的最大值为4，最小值为1．【点睛】本题主要考查了二次函数的对称性和增减性，二次函数的最值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．19．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，16）．（1）求b，c的值；（2）是否存在实数m，n（m＜n），使当m≤x≤n时，二次函数的最小值是4m，最大值是4n．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）b=2，c=15；（2）m=-5，n=4【分析】（1）先根据对称轴求得b，进而把点（1，16）代入解析式即可求得c；（2）分三种情况：a、若n≤1，有：-m2+2m+15=4m①，-n2+2n+15=4n②，m＜n③，由此求出m、n的值相更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher同，不合题意；b、若m≥1，有：-m2+2m+15=4n①，-n2+2n+15=4m②，m＜n③，由此确定m=n=3，不合题意；c、若m＜1，n＞1，此时函数的最大值为16，4n=16，得出n=4，再由最小值是4m，确定m＜1，且-m2+2m+15=4m，解得符合条件的m的值，便可得出结果．【详解】解：（1）∵二次函数y=-x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，16）．∴，∴b=2，∴y=-x2+2x+c，把（1，16）代入得，16=-1+2+c，∴c=15；（2）存在，理由如下，分三种情况：a、n≤1，有：-m2+2m+15=4m①，-n2+2n+15=4n②，m＜n③，解得m=n，不合题意；b、m≥1，有：-m2+2m+15=4n①，-n2+2n+15=4m②，m＜n③，①-②得：（n-m）（m+n）=6（n-m），n-m＞0，∴m+n=6，代入①解得：m=3，n=3；不合题意，c、若m＜1，n＞1，∵此时函数的最大值为16，∴4n=16，∴n=4，∴当x=m时，-m2+2m+15=4m，解得m1=-5，m2=3（舍去），当x=n时，-n2+2n+15=4m，∴-16+8+15=4m，解得m=（舍去），综上所述：m=-5，n=4．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，关键是分情况讨论和根据特征点解题．20．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．【答案】（1）；（2）S关于m的函数关系式为，S的最大值为4．【分析】（1）将将A（﹣4，0），C（2，0）代入y＝ax2+bx﹣4，可求出a,b，即可确定解析式；（2）过点M作MN⊥AC于点N，可得，从而得到S关于m的函数关系式，再利用函数的性质得出最大值，即可求解．【详解】解（1）将A（﹣4，0），C（2，0）代入y＝ax2+bx﹣4，得：，解得：，∴抛物线解析式为：；（2）如图，过点M作MN⊥AC于点N，∵抛物线与y轴交于点B，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher当时，，∴，即OB=4，∵点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，∴，∴，，∴，∴，∴当时，S有最大值，最大值为，∴S关于m的函数关系式为，S的最大值为4．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，用待定系数法求出二次函数的关系式是解决问题的关键．21．抛物线过点，点，顶点为．（1）求抛物线的表达式及点的坐标；（2）如图1，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点是线段上（与点，不重合）的动点，连接，作，边交轴于点，设点的横坐标为，求的取值范围．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】（1），；（2）；（3）【分析】（1）将的坐标代入解析式，待定系数法求解析式即可，根据顶点在对称轴上，求得对称轴，代入解析式即可的顶点的坐标；（2）设，根据是以为底的等腰三角形，根据，求得点的坐标，进而求得解析式，联立二次函数解析式，解方程组即可求得点的坐标；（3）根据题意，可得，设，根据相似三角形的性质，线段成比例，可得，根据配方法可得的最大值，根据点是线段上（与点，不重合）的动点，可得的最小值，即可求得的范围．【详解】（1）抛物线过点，点，，解得，，，代入，解得：，顶点，（2