初中中考数学函数专题专题24利用二次函数比较大小与解不等式（组）含答案及解析

专题24利用二次函数比较大小与解不等式（组）知识对接考点一、二次函数与不等式的关系ax2+bx+c>0(a≠0)的解集⇔二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方部分对应自变量的取值范围;ax2+bx+c<0(a≠0)的解集⇔二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方部分对应自变量的取值范围.要点补充：考点二、函数及其图象1、抛物线中，的作用（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：①，抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.2、几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0,)(,0)(,)()专项训练一、单选题1．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集为（）A． B． C． D．或2．如图是二次函数和一次函数的图象．则下列结论正确的是（）A．若点在二次函数图像上，则B．当或时，C．D．当（为实数）时，3．已知函数，当时，函数值随增大而增大，且对任意的和，、相应的函数值、总满足，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知二次函数，，令，（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则5．如图，己知抛物线经过点，．当抛物线的开口向上时，的取值范围是（）A． B． C．或 D．6．已知抛物线与x轴有两个交点，现有如下结论：①此抛物线过定点；②若抛物线开口向下，则m的取值范围是；③若时，有，，则m的取值范围是．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，则b的取值范围是（）A． B． C．或 D．8．对于题目：“线段与抛物线有唯一公共点，确定的取值范围”、甲的结果是，乙的结果是，则（）A．甲的结果正确 B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确9．平面直角坐标系中有两条抛物线与，其中．下列三个结论中：①如果抛物线与轴的一个交点为，那么是抛物线与轴的一个交点；②如果当时随的增大而增大，那么当时也随的增大而增大；③如果，那么的取值范围为．其中正确结论是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③10．给出下列命题及函数的图象．①如果那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么，则正确命题的序号是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④二、填空题11．已知函数y＝的图象如图所示，观察图象，则当函数值y≥﹣6时，对应的自变量x的取值范围是______．12．如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为．下列四个命题：①当时，；②若，则；③抛物线上有两点和，若，且，则；④点关于抛物线对称轴的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为．其中真命题的序号是______．13．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝﹣mx＋n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2＋mx＋c＞n的解集是___________．14．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）其部分图象如图所示，下列结论：①2a＋b＝0；②b2﹣4ac＜0；③方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝2；④将y＝ax2先向右平移1个单位，再向上平移4个单位可得到y＝ax2＋bx＋c的图象；⑤当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3其中正确的结论是_____．（填序号）15．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝kx＋b交于A（﹣1，m），B（2，n）两点，则不等式ax2﹣kx＋c＜b的解集是__________．三、解答题16．如图，抛物线与轴交点为，与轴交点为，，点位于点左侧，目，点为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）若经过点，的直线解析式为，则不等式的解集为______．17．已知抛物线．（1）该抛物线的对称轴为______；（2）若该抛物线的顶点在轴上，求抛物线的函数表达式；（3）设点、在该抛物线上，若，求的取值范围．18．如图，已知二次函数的图象经过点与点，且与轴交于点、．（1）求该二次函数的表达式，以及与轴的交点坐标．（2）若点在该二次函数图象上，①求的最小值；②若点到轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出的取值范围．19．如图，已知二次函数的图象过点和点，对称轴为直线．

（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；（2）结合图象，当时，直接写出x的取值范围．20．如图，抛物线的顶点坐标为，且过点．（1）求抛物线的解析式；（2）当时，求的取值范围．21．已知二次函数的图像如图所示．（1）求这个二次函数的表达式；（2）该二次函数图像与轴的交点坐标为；（3）写出当时自变量的取值范围．22．已知，点为二次函数图象的顶点，直线分别交轴的负半轴和轴于点，点．(1)若二次函数图象经过点，求二次函数的解析式．(2)如图，若点坐标为，且点在内部(不包含边界)．①求的取值范围；②若点，都在二次函数图象上，试比较与的大小更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher23．已知抛物线y＝﹣x2＋2ax﹣4（1）讨论抛物线与x轴的交点个数，（2）若a＝1，当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值与最小值之差为4m，求实数m的值．链接材料：对于解一元二次不等式，常采用数形结合的方式．例：解不等式：x2＋x﹣2＞0.解：不等式x2＋x﹣2＞0的解集，等价于不等式（x﹣1）（x＋2）＞0的解集，等价于函数y＝（x﹣1）（x＋2）的图象在x轴上方部分对应的x的取值范围．如图，在平面直角坐标系（隐去y轴）中，画出函数y＝（x﹣1）（x＋2）的大致图象，由图象可知：函数y＝（x﹣1）（x＋2）的图象在x轴上方时，对应的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1∴不等式x2＋x﹣2＞0的解集是x＜﹣2或x＞1

专题24利用二次函数比较大小与解不等式（组）知识对接考点一、二次函数与不等式的关系ax2+bx+c>0(a≠0)的解集⇔二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方部分对应自变量的取值范围;ax2+bx+c<0(a≠0)的解集⇔二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方部分对应自变量的取值范围.要点补充：考点二、函数及其图象1、抛物线中，的作用（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：①，抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.2、几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0,)(,0)(,)()更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher专项训练一、单选题1．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集为（）A． B． C． D．或【答案】D【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．【详解】解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A（-1，p），B（3，q）两点，由图可知：抛物线y=ax2+c在直线y=mx+n上方时，x的范围是：x＜-1或x＞3，即ax2+c＞mx+n的解集是x＜-1或x＞3，故选D．【点睛】本题考查二次函数与不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2．如图是二次函数和一次函数的图象．则下列结论正确的是（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA．若点在二次函数图像上，则B．当或时，C．D．当（为实数）时，【答案】D【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，观察图象即可判断．【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，且|-2-1|＞|2-1|＞，∴d1＜d3＜d2，故A错误；无法求得两个函数图象的交点坐标，故B错误；∵抛物线对称轴为直线x=1，∴，∴2a+b=0，故C错误；∵抛物线对称轴为直线x=1，∴点（0，c）与点（2，c）故对称轴对称，∴当x=k2+2（k为实数）时，y1≤c，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查直线和双曲线交点的问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher3．已知函数，当时，函数值随增大而增大，且对任意的和，、相应的函数值、总满足，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1-y2|≤9，只需最大值与最小值的差小于等于9即可，进而求解．【详解】解：函数的对称轴为x=a，而x≤2时，函数值随x增大而增大，故a≥2；∵1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，∴x=a时，开口向下，函数的最大值=a2，故函数的最大值在x=1和x=a+1中产生，则x=1，x=a+1那个距x=a远，函数就在那一边取得最小值，∵a≥2，∴a-1≥1，而a+1-a=1，∴1距离a更远，∴x=1时，函数取得最小值为：-1+2a，∵对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1-y2|≤9，只需最大值与最小值的差小于等于9即可，∴，a2-（-1+2a）≤9，(a-1)2=9，解得-3≤a-1≤3，而a≥2，∴2≤a≤4，故选：A．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，|y1-y2|≤3转换为最大值与最小值的差小于等于3，是解题的关键．4．已知二次函数，，令，（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】B【分析】建立结合选项的条件，分别计算利用函数与轴的交点情况，再分别判断选项即可得到答案．【详解】解：当，，则＞而无法判断与的大小，故无法判断的大小，故错误，不符合题意；当，时，则＞而＜而函数图像的开口向上，＞，故正确，符合题意；当，，则＞而无法判断与的大小，故无法判断的大小，故错误，不符合题意；当，，则＞而更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher无法判断与的大小，故无法判断的大小，故错误，不符合题意；故选：【点睛】本题考查的是二次函数与轴的交点情况，二次函数的性质，掌握利用二次函数的性质判断函数值的大小是解题的关键．5．如图，己知抛物线经过点，．当抛物线的开口向上时，的取值范围是（）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】根据抛物线经过点，求出，由抛物线的开口向上，可得，可得即可．【详解】解：∵抛物线经过点，∴，，∵抛物线的开口向上，∴，，∴．故选择A．【点睛】本题考查抛物线性质，利用抛物线经过点求出关于t的代数式，利用抛物线开口方向确定是解题关键．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher6．已知抛物线与x轴有两个交点，现有如下结论：①此抛物线过定点；②若抛物线开口向下，则m的取值范围是；③若时，有，，则m的取值范围是．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】把函数变形，由m为任意数，可得，解方程组的可判定①，由抛物线与x轴有两个交点，可求且，由抛物线开口向下，，结合抛物线与x轴有两个交点，且，可判定②，若时，抛物线开口向上，当x=-2,，y，当x=-1，y，可得，解得，当x=1,，y，当x=2，y，可得，解得，求公共部分即可．【详解】解:把函数变形，由m为任意数∴，解得，抛物线过定点，①此抛物线过定点正确；∵抛物线与x轴有两个交点，，，解得且，∵抛物线开口向下，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴，解得，又∵且，∴；②若抛物线开口向下，则m的取值范围是正确，若时，，抛物线开口向上，抛物线与x轴有两个交点，，∴当x=-2,，y，当x=-1，y，即，解得，，∴当x=1,，y，当x=2，y，即，解得，∴有，，则m的取值范围是．③若时，有，，则m的取值范围是正确，所以正确结论的个数有3个．故选择D．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【点睛】本题考查抛物线过定点，抛物线开口方向，抛物线与x轴的交点个数，抛物线与x轴两交点位置，求范围，掌握抛物线过定点把函数变形构造方程组，抛物线开口方向，抛物线与x轴的交点个数归结判别式的符号，抛物线与x轴两交点位置，利用函数值的符号列不等式组是解题关键．7．二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，则b的取值范围是（）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】先根据一次函数的解析式求出和时，的值，再分，和三种情况，根据二次函数的图象与性质列出不等式，然后求解即可得．【详解】对于一次函数，当时，，当时，，二次函数的对称轴为，由题意，分以下三种情况：（1）当时，若两个函数的图象没有交点，则当时，二次函数的函数值大于6；或当时，二次函数的函数值小于0，即或，不等式可化为，利用因式分解法解方程得：，由二次函数的性质可知，当时，或（舍去），同理可得：不等式无解，综上，此时的取值范围为；（2）当时，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher若两个函数的图象没有交点，则无解，即关于的方程无解，则方程的根的判别式，解得，则此时的取值范围为；（3）当时，当时，二次函数的函数值为，所以二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，则此时的取值范围为；综上，的取值范围为或，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数以一次函数的综合，根据一次函数的取值范围，正确分三种情况讨论是解题关键．8．对于题目：“线段与抛物线有唯一公共点，确定的取值范围”、甲的结果是，乙的结果是，则（）A．甲的结果正确 B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确【答案】D【分析】根据抛物线和线段的位置关系，找到临界点，确定的值，即可求解．【详解】解：∵线段与抛物线有唯一公共点，∴只有一个实数解，即：在范围内只有一个实数解，∴函数在范围与轴只有一个交点，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴且端点与端点内，不存在同时为0的情况，∴∴∴或或且，经验证，且，∴或或，∴甲、乙的结果合在一起也不正确，故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数性质和图象，根据抛物线和线段的位置关系，找到临界点是解题的关键．9．平面直角坐标系中有两条抛物线与，其中．下列三个结论中：①如果抛物线与轴的一个交点为，那么是抛物线与轴的一个交点；②如果当时随的增大而增大，那么当时也随的增大而增大；③如果，那么的取值范围为．其中正确结论是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】将代入变形即可判断①，开口向上的抛物线随的增大而增大则对称轴在轴左侧，判断对称轴即可判断②，解即可判断③．【详解】解：将代入得：，∵，∴，两边同除以得：，即是的根，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴是抛物线与轴的一个交点，①正确；∵当时随的增大而增大，且（开口向上），∴对称轴在轴左侧，即，∵，∴，即y2对称轴也在轴左侧，开口向上，∴当时也随的增大而增大，②正确；可得，∵，∴，即，③正确；故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是根据已知列出式子适当变形．10．给出下列命题及函数的图象．①如果那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么，则正确命题的序号是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】C【分析】先画出函数y=-x，y=-x2，y=的图象，确定它们的交点坐标，然后观察图象的位置得到当x＜-1时，当-1＜x＜0时，当0＜x＜1时，当x＞1时函数值的大小，可得结果．【详解】解：分别令，解得：x=0或x=1，则y=-x与y=-x2的图象交点坐标为（0，0），（1，-1），令，解得：x=-1或x=1，则y=-x与y=的交点坐标为（-1，1），（1，-1），更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher令，解得：x=1，则y=-x2与y=的交点坐标为（1，-1）；当x＜-1时，，当-1＜x＜0时，，当0＜x＜1时，，当x＞1时，，∴①③正确，②④错误，故选C．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了观察函数图象的能力．二、填空题11．已知函数y＝的图象如图所示，观察图象，则当函数值y≥﹣6时，对应的自变量x的取值范围是______．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】﹣2≤x≤3【分析】根据图象以及不等式解法，分别解不等式，得出自变量的取值范围即可．【详解】解：∵y＝，∴当函数值y≥﹣6时，分两种情况：①x≤2时，﹣x2+2≥﹣6，x2≤8，结合图象可以得出：﹣2≤x≤2，此时x≤2，所以﹣2≤x≤2，②x＞2时，当函数值y≥﹣6时，﹣2x≥﹣6，解得：x≤3，此时x＞2，所以2＜x≤3．综上所述，y≥﹣6时，对应的自变量x的取值范围是：﹣2≤x≤3，故答案为﹣2≤x≤3．【点睛】此题考查依据图象及函数值求自变量的取值范围，列一元一次不等式解决问题，正确理解题意及函数图象是解题的关键．12．如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为．下列四个命题：①当时，；②若，则；③抛物线上有两点和，若更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher，且，则；④点关于抛物线对称轴的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为．其中真命题的序号是______．【答案】③【分析】①根据二次函数所过象限，判断出y的符号；

②根据A、B关于对称轴对称，求出b的值；

③根据＞1，得到x1＜1＜x2，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出y1＞y2；

④作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．求出D、E、D′、E′的坐标即可解答．【详解】①当x＞0时，函数图象过一四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故本选项错误；

②二次函数对称轴为x=-=1，当a=-1时有=1，解得b=3，故本选项错误；

③∵x1+x2＞2，

∴＞1，

又∵x1-1＜0＜x2-1，

∴Q点距离对称轴较远，

∴y1＞y2，故本选项正确；

④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，

连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．

当m=2时，二次函数为y=-x2+2x+3，顶点纵坐标为y=-1+2+3=4，D为（1，4），则D′为（-1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，-3）；

则DE=.更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴四边形EDFG周长的最小值为，故本选项错误．

正确的有1个．故答案为：③.【点睛】考查了二次函数综合题，涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图象上点的坐标特征、轴对称—最短路径问题等，掌握二次函数的性质，轴对称的性质是解决问题的关键．13．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝﹣mx＋n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2＋mx＋c＞n的解集是___________．【答案】x＜﹣1或x＞3．【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．【详解】解：抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞3时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方，∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣1或x＞3，即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣1或x＞3．故答案为：x＜﹣1或x＞3．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【点睛】本题主要考查了利用一次函数与二次函数的图象交点去求不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.14．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）其部分图象如图所示，下列结论：①2a＋b＝0；②b2﹣4ac＜0；③方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝2；④将y＝ax2先向右平移1个单位，再向上平移4个单位可得到y＝ax2＋bx＋c的图象；⑤当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3其中正确的结论是_____．（填序号）【答案】①④⑤【分析】由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，得＝1，即可判断①正确；由抛物线与x轴有两个交点，可判断②不正确；根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），可得抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），可判断③不正确；根据抛物线过（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）三点，可求得抛物线为，，则抛物线y＝ax2为，将先向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到的抛物线为，化简得，可判断④正确；根据当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方，可判断⑤正确．【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，∴＝1，即2a＋b＝0，故①正确；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＞0，即b2﹣4ac＞0，故②不正确；∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，故③不正确；∵抛物线过（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）三点则，解得∴抛物线∴则抛物线y＝ax2为，∴将先向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到的抛物线为，化简得，故④正确；∵当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方，∴y＞0，故⑤正确，故答案为：①④⑤．【点睛】此题主要考查了二次函数的图像与系数的关系、函数图像的变换、与一元二次方程的联系等，熟练掌握二次函数的有关性质是解题的关键．15．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝kx＋b交于A（﹣1，m），B（2，n）两点，则不等式ax2﹣kx＋c＜b的解集是__________．【答案】【分析】根据不等式ax2﹣kx＋c＜b可变形为，进而得出谁大谁的函数图象在上面，进而求出x更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher取值范围即可．【详解】解：∵不等式ax2﹣kx＋c＜b可变形为，∴图象上抛物线在直线下方时对应x的范围即为不等式的解集，观察函数图象可知：当时，抛物线在直线的下方，∴不等式ax2﹣kx＋c＜b的解集为，故答案为：．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组）的知识点，解题关键在于对图像得理解，谁大谁的图象在上面．三、解答题16．如图，抛物线与轴交点为，与轴交点为，，点位于点左侧，目，点为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）若经过点，的直线解析式为，则不等式的解集为______．【答案】（1），顶点为；（2）．【分析】（1）根据，设点的坐标为，则点的坐标为，列方程求m的值，即可求出抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）画出直线BC图象，的解集即为抛物线的图象在直线BC图象下方所对应的x的取值范围，根据图象可得结果．【详解】（1）∵，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴设点的坐标为，则点的坐标为．∴．解得，（舍去）．∴．∴．抛物线解析式为．∴顶点为．（2）由（1）可知，B点坐标（3,0），C点坐标（0，-3）不等式的解集，即抛物线的图象在直线BC图象下方所对应的x的取值范围，由图象可知：．【点睛】本题考查二次函数．设计一元二次方程的的求解，求解二次函数的解析式，二次函数与不等式之间的关系．17．已知抛物线．（1）该抛物线的对称轴为______；（2）若该抛物线的顶点在轴上，求抛物线的函数表达式；（3）设点、在该抛物线上，若，求的取值范围．【答案】（1）直线；（2）或；（3）当时，或；当时，．【分析】（1）利用二次函数的对称轴公式即可求得．（2）根据题意可知顶点坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数解析式．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（3）分类讨论当m＞0时和m＜0时二次函数的性质，即可求出n的取值范围．【详解】解：（1）利用二次函数的对称轴公式可知对称轴．故答案为：．（2）∵抛物线顶点在x轴上，对称轴为，∴顶点坐标为(-1，0)．将顶点坐标代入二次函数解析式得：，整理得：，解得：或．∴抛物线解析式为或；（3）∵对称轴为直线，∴点关于直线的对称点为，根据二次函数的性质分类讨论．（ⅰ）当m＞0时，抛物线开口向上，若y1＞y2，即点M在点N或的上方，两点NN′外侧，则或；（ⅱ）当m＜0时，抛物线开口向下，若y1＞y2，即点M在点N或的上方，两点内部，则．【点睛】本题为二次函数综合题，二次函数对称轴，待定系数法求二次函数解析式，比较函数值大小，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．18．如图，已知二次函数的图象经过点与点，且与轴交于点、．（1）求该二次函数的表达式，以及与轴的交点坐标．（2）若点在该二次函数图象上，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher①求的最小值；②若点到轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出的取值范围．【答案】（1），，；（2）①-4，②或【分析】（1）用待定系数法求函数的表达式，进而求解；（2）①由，即可求解；②令，解得或，即可求解．【详解】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为，令，解得或，故抛物线与轴的交点坐标为、；（2）①，故的最小值为；②令，解得x=0、或，故的取值范围的或．【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是解题的关键．19．如图，已知二次函数的图象过点和点，对称轴为直线．

更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；（2）结合图象，当时，直接写出x的取值范围．【答案】（1）y=-x2+2x+3，（1，4）；（2）x＜0或x＞2【分析】（1）把A点和C点坐标代入y=ax2+bx+c得到两个方程，再加上对称轴方程即可得到三元方程组，然后解方程组求出a、b、c即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式即可得到顶点坐标；（2）先计算出函数值为3所对应的自变量的值，然后根据二次函数的性质写出y＜3时，x的取值范围．【详解】解：（1）根据题意得：，解得：，所以二次函数关系式为y=-x2+2x+3，因为y=-（x-1）2+4，所以抛物线的顶点坐标为（1，4）；（2）当y=3时，-x2+2x+3=3，解得x=0或2，所以当y＜3时，x＜0或x＞2．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．20．如图，抛物线的顶点坐标为，且过点．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（1）求抛物线的解析式；（2）当时，求的取值范围．【答案】(1)y＝（x﹣2）2﹣1；(2)-1≤y＜3．【分析】(1)首先设出二次函数的顶点式，将所给点的坐标代入解析式求出字母a的值即可；(2)求得，时的函数值，然后根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：(1)根据抛物线的顶点坐标为，设该抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2﹣1，∵该抛物线过点（0，3），∴a（0﹣2）2﹣1＝3，解得：a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1；（2）当时，y＝（1﹣2）2﹣1=0，当时，y＝（4﹣2）2﹣1=3，∵a＝1，∴抛物线开口向上，函数最小值为-1，∴当时，求y的取值范围是-1≤y＜3．【点睛】主要考查了运用待定系数法来求二次函数的解析式，二次函数的性质；解题的关键是灵活设出二次函数的解析式准确求解，注意该函数最小值为顶点纵坐标．21．已知二次函数的图像如图所示．（1）求这个二次函数的表达式；（2）该二次函数图像与轴的交点坐标为；（3）写出当时自变量的取值范围．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】（1）；（2）（0，-3）；（3）或【分析】（1）根据函数图象可设二次函数顶点式，即可得解；（2）令即可得解；（3）根据函数图象求解即可；【详解】解：(1)由图像可知二次函数的顶点坐标为（-1，-4），可设二次函数的表达式为，把（1，0）代入表达式可得，所以二次函数的表达式为；（2）令，可得，∴与y轴的交点坐标为（0，-3）；（3）令，即，解得：，∴抛物线与轴的另一个交点为（-3，0），∴观察图象得：时，或．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，同时考查了用抛物线与x轴的交点坐标，判断函数值在某一范围时自变量的取值范围的方法．利用了“数形结合”的数学思想．22．已知，点为二次函数图象的顶点，直线分别交轴的负半轴和轴于点，点．(1)若二次函数图象经过点，求二次函数的解析式．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher(2)如图，若点坐标为，且点在内部(不包含边界)．①求的取值范围；②若点，都在二次函数图象上，试比较与的大小【答案】(1)；(2)①，②．【分析】(1)求出点B的坐标，代入二次函数解析式求出b的值，确定出二次函数解析式，进而求