初中中考数学函数专题专题27二次函数中的面积问题含答案及解析

专题27二次函数中的面积问题知识对接考点一、二次函数中的面积问题解决此类问题时,一般根据图形的性质,找自变量与该图形面积之间的关系,从而确定二次函数的表达式,再根据题意和二次函数的性质解答即可.专项训练一、单选题1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（）A． B．4 C． D．52．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部份）面积的最大值是（）A． B． C． D．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴正半轴于点，交轴于点，线段轴交此抛物线于点，且，则的面积是（）A．6 B．5 C．4 D．34．如图，在中，，，．动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合），同时动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合）．当四边形的面积最小时，经过的时间为（）A． B． C． D．5．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加平方厘米，那么与之间满足的函数关系是（）A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数6．如图，在中，，为边上一动点（点除外），把线段绕着点沿着顺时针的方向旋转90°至，连接，则面积的最大值为（）A．16 B．8 C．32 D．107．如图，矩形的长，宽，且．分别在边上取点E，F，G，H，使得，则四边形的面积最大值为（）A． B． C． D．8．如图，矩形中，，，为边上一个动点，连接，取的中点，点绕点顺时针旋转90°得到点，连接，面积的最小值是（）A．15 B．16 C．14 D．129．如果矩形的周长是16，则该矩形面积的最大值为（）A．8 B．15 C．16 D．6410．如图（1），在正方形ABCD中，动点E从点A出发，沿A—B—C运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE，交CD于点F．设点E运动的路程为x，FC＝y（当点A，E重合时，点D，F重合；当点C，E重合时，不妨设y＝0），y与x的函数关系的大致图象如图（2）．当点E在BC上运动时，FC的最大长度是1，则正方形ABCD的面积是（）A．8 B．12 C．16 D．4.8二、填空题11．如图，在，，，，是边上异于点，的一动点，将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，则四边形面积的最大值是________．12．如图，正方形ABCD的边长为4，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．则四边形EFGH面积的最小值为___．13．如图，要在夹角为30°的两条小路与形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边和上取点和点，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）．若和两段篱笆的总长为8米，则当______米时，该花坛的面积最大．14．如图，正方形的边长为2，为边上一动点，连接，，以为边向右侧作正方形．（1）若，则正方形的面积为______．（2）连接，，则面积的最小值为______．15．如图，四边形是边长为a的正方形，点E是边上一动点（不与点B，C重合），，且EF交正方形外角的平分线于点F，交于点G，连接．有下列结论：①；②；③；④面积的最大值为．其中正确的是______．（把正确结论的序号都填上）三、解答题16．如图抛物线y＝x2＋bx＋c经过直线y＝x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求此抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积．17．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2＋bx．（1）求抛物线顶点Q的坐标(用含b的代数式表示)；（2）抛物线与x轴只有一个公共点，经过点(0，2)的直线y＝kx＋n(k<0)与抛物线交于点A，B(点A在点B的左侧)，与x轴交于点C．①判断△AOB的形状，并说明理由；②已知F(2，0)，G(4，0)，当点C在线段FG上时，求△AOB的面积的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，点为第二象限抛物线上的动点．（1）求、、的值；（2）连接、、，求面积的最大值；（3）过作，垂足为，是否存在这样的点、，使得与相似，若存在，请写出所有符合条件的点坐标，并选其中一个写出证明过程；若不存在，请说明理由．19．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是．等腰的顶点在轴正半轴．（1）求直线的解析式；（2）如图2，点为线段上一动点，为直线上一点，连接且满足平行于轴，连接，求面积取得最大值，并求出此时的坐标；（3）在第（2）问面积取得最大值条件下，如图3，将绕点顺时针旋转得到△，点恰好落在直线上，将△沿着直线平移得到△，平移过程中是否存在某一时刻，使得△是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．20．抛物线与轴交于，与交于．（1）求三点坐标，并直接写出的面积；（2）将抛物线绕平面内一点旋转，得到，点的对应点为，点对应点为，是否存在抛物线，使得以为顶点的四边形为矩形，且矩形面积为面积的4倍?若存在，求出的表达式，若不存在请说明理由．21．如图1，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+c与x轴交于A，B两点，且AB＝4．（1）求c的值及抛物线顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当cos（∠CAO+∠CDO）＝时，求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，设△ABP和△AEN的面积分别为m、n，求m+n的最大值．22．如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上有一点P，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标．（3）在对称轴上求一点M，使得BM﹣CM最大；（4）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在．说明理由．23．已知二次函数的图象如图所示，求的面积．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher

专题27二次函数中的面积问题知识对接考点一、二次函数中的面积问题解决此类问题时,一般根据图形的性质,找自变量与该图形面积之间的关系,从而确定二次函数的表达式,再根据题意和二次函数的性质解答即可.专项训练一、单选题1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（）A． B．4 C． D．5【答案】C【分析】由已知可得a+b=6，，把b=6-a代入S的表达式中得：，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值．【详解】∵p=5，c=4，∴a+b=2p-c=6∴由a+b=6，得b=6-a，代入上式，得：设，当取得最大值时，S也取得最大值∵∴当a=3时，取得最大值4更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴S的最大值为故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a+b=6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题．2．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部份）面积的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意得，设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)，利用扇形面积公式得到，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：如图，根据旋转的性质，，∴，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher则，∵点P在直线上，点Q在直线上，且PQ∥轴，设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)，∴OP2=，OQ2=，，设，∵，∴当时，有最大值，最大值为，∴的最大值为．故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形的面积公式，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴正半轴于点，交轴于点，线段轴交此抛物线于点，且，则的面积是（）A．6 B．5 C．4 D．3更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】D【分析】由y=ax2-2ax+2（a＜0）可得点B坐标与对称轴所在直线解析式，从而求出点D坐标，再通过CD=BC求出BC长度，通过三角形面积=×底×高求解．【详解】解：∵抛物线对称轴为直线x=，点B的坐标为（0，2），∴点D的坐标为（2，2），BD=2-0=2，∵CD=BC，∴CD=BD=1，∴BC=2+1=3．∴S△ABC=×3×2=3．故选：D．【点睛】本题主要考查函数图象上点的坐标特征，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．4．如图，在中，，，．动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合），同时动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合）．当四边形的面积最小时，经过的时间为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher根据图形得到列出函数关系，再将函数关系化为顶点式，根据性质求出结果．【详解】解：设运动的时间为x秒（），四边形APQC的面积为y，则：，，∴，∴，∴，∵，∴抛物线开口向上，y有最小值，∴当时，，y有最小值，，最小值是12，∴当四边形的面积最小时，经过的时间为2秒．故选：B．【点睛】本题主要考查了根据点的运动问题列出函数关系式以及二次函数的性质，关键是根据图形明确四边形的面积等于大三角形的面积减去小三角形的面积，列出函数关系．5．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加平方厘米，那么与之间满足的函数关系是（）A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数【答案】D【分析】根据题意列出增加的面积与原面积的关系式，即可解题．【详解】解：由题意得，与之间满足的函数关系是二次函数，故选：D．【点睛】本题考查列二次函数的表达式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6．如图，在中，，为边上一动点（点除外），把线段绕着点更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher沿着顺时针的方向旋转90°至，连接，则面积的最大值为（）A．16 B．8 C．32 D．10【答案】B【分析】过点作于，作于点，由勾股定理可求，由旋转的性质可求，，由可证，可得，由三角形面积公式和二次函数的性质可求解．【详解】解：如图，过点作于，作于点，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，∴，，∴，且，∴，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher在和中，，∴，∴，∵，∴∵面积，∴当时，面积的最大值为8，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．7．如图，矩形的长，宽，且．分别在边上取点E，F，G，H，使得，则四边形的面积最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可证明△AEH≌△CGF（SAS），△BEF≌△DGH（SAS），设AE=AH=CF=CG=x，四边形EFGH的面积是S，分别求出矩形四个角落的三角形的面积，再利用矩形的面积减去四个角落的三角形的面积，可得四边形EFGH的面积S，再根据二次函数的最值计算即可．【详解】解：设AE=CF=CG=AH=x，四边形EFGH的面积是S．由题意，AE=CF=CG=AH，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴△AEH≌△CGF（SAS），∵AB=CD，AD=BC，∴BE=DG，HD=BF，∴△BEF≌△DGH（SAS），∴BE=DG=a-x，BF=DH=b-x，则S△AHE=S△CGF=x2，S△DGH=S△BEF=（a-x）（b-x），所以四边形EFGH的面积为：S=S矩ABCD-2S△AEH-2S△BEF=ab-2×x2-2×（a-x）（b-x）=ab-x2-（ab-ax-bx+x2）=-2x2+（a+b）x，当x=时，S最大值=．故选：C．【点睛】本题考查矩形的性质；熟练掌握矩形的性质，通过三角形全等求面积，再由二次函数求面积的最大值是解题的关键．8．如图，矩形中，，，为边上一个动点，连接，取的中点，点绕点顺时针旋转90°得到点，连接，面积的最小值是（）A．15 B．16 C．14 D．12【答案】A【分析】过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则△FEH∽△EBA，设AE＝x，可得出△CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解：解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，

∵∠A＝∠H＝90°，∠FEB＝90°，

∴∠FEH＝90°−∠BEA＝∠EBA，

∴△FEH∽△EBA，∵G是EB的中点，∴，∵点绕点顺时针旋转90°得到点，∴，∴，

设AE＝x，

∵AB＝8，AD＝4，

∴HF＝x，EH＝AB＝4，DH＝AE＝x，

∴＝x2−x＋16＝（x−2）2＋15，

∴当x＝2时，△CEF面积的最小值是15．

故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，二次函数的最值，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，通过构造K形图，建立△CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键．9．如果矩形的周长是16，则该矩形面积的最大值为（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA．8 B．15 C．16 D．64【答案】C【分析】首先根据矩形周长为16，设一条边长x，矩形面积为y，可表示出另一边长为8-x，再根据矩形面积=长×宽列出函数解析式并配方即可得结论．【详解】解：∵矩形周长为16，∴设一条边长x，矩形面积为y，则另一边长为8-x，∴y=（8-x）x=-x2+8x=-（x-4）2+16，∴当x=4时，y有最大值是16．故选：C．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是掌握矩形的面积公式=长×宽．10．如图（1），在正方形ABCD中，动点E从点A出发，沿A—B—C运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE，交CD于点F．设点E运动的路程为x，FC＝y（当点A，E重合时，点D，F重合；当点C，E重合时，不妨设y＝0），y与x的函数关系的大致图象如图（2）．当点E在BC上运动时，FC的最大长度是1，则正方形ABCD的面积是（）A．8 B．12 C．16 D．4.8【答案】C【分析】易证，可得，根据二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher有最大值，列出方程式即可解题．【详解】解：如图，设，当点E在上运动时（不与点B、C重合），∵四边形是正方形∴∵，∴∵∴∴，∴，即，∴，当时，y取得最大值，此时点E为的中点，，把代入，得，解得，，即，故正方形的面积为．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数动点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出E为BC中点是解题的关键．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher二、填空题11．如图，在，，，，是边上异于点，的一动点，将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，则四边形面积的最大值是________．【答案】【分析】由折叠的性质可得五边形的面积的面积，则四边形面积＝五边形的面积－的面积，设，由面积公式可得四边形的面积，由二次函数的性质可求解．【详解】解：过点作，垂足为．，，，，，，，，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher设，则．由翻折的性质可知：，，，，当取最小值时，四边形的面积有最大值，根据垂线段最短，当时，最小，此时，，解得：，四边形面积的最大值为：，故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积公式，二次函数的性质，熟练运用二次函数的性质求最值问题是本题的关键．12．如图，正方形ABCD的边长为4，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．则四边形EFGH面积的最小值为___．【答案】8【分析】由已知可证明△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH（SAS），再证明四边形EFGH是正方形，设AE＝x，则AH＝DG＝BE＝CF＝4﹣x，在Rt△EAH中，由勾股定理得EH2＝x2+（4﹣x）2，所以S四边形EFGH＝EH2＝2（x﹣2）2+8，可知当x＝2时，S四边形EFGH有最小值8，【详解】解：设AE＝x，则AE＝BF＝CG＝DH＝x，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵正方形ABCD，边长为4，∴AH＝DG＝BE＝CF＝4﹣x，∠A=∠B=∠C=∠D=90°∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH（SAS），∴∠AEH+∠BEF＝90°，∠EFB+∠GFC＝90°，∠FGC+∠HGD＝90°，∴∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝90°，∵EF＝EH＝HG＝FG，∴四边形EFGH是正方形，在Rt△EAH中，EH2＝AE2+AH2，即EH2＝x2+（4﹣x）2，∴S四边形EFGH＝EH2＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，当x＝2时，S四边形EFGH有最小值8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质和二次函数的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.13．如图，要在夹角为30°的两条小路与形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边和上取点和点，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）．若和两段篱笆的总长为8米，则当______米时，该花坛的面积最大．【答案】4【分析】设OP=x，则OQ=8-x，过点P作PM⊥OQ,，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PM=，根据三角形面积公式可得面积关于OQ的二次函数，配方后即可求解．【详解】解：设OP=x，则OQ=8-x，过点P作PM⊥OQ,交OQ于点M，如图，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵∴∴∵∴函数图象开口向下，有最大值，为4，故当OP=4时，花坛的面积最大．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，利用面积法求出二次函数关系式是解答此题的关键．14．如图，正方形的边长为2，为边上一动点，连接，，以为边向右侧作正方形．（1）若，则正方形的面积为______．（2）连接，，则面积的最小值为______．【答案】5【分析】（1）利用勾股定理求出EC2即可解决问题．（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE，根据S△DEC+S△DFGS正方形ECGF根据函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝2，∠A＝∠ADC＝90°，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵，∴AE1∴DE＝AD﹣AE＝2﹣1＝1，∴EC2＝DE2+CD2＝12+22＝5，∴正方形CEFG的面积＝EC2＝5．故答案为5．（2）如图，设，则∵，∴．∵，∴当时，的面积最小，且最小值为．【点睛】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．15．如图，四边形是边长为a的正方形，点E是边上一动点（不与点B，C重合），，且EF交正方形外角的平分线于点F，交于点G，连接．有下列结论：①；②；③；④面积的最大值为．其中正确的是______．（把正确结论的序号都填上）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】①②③【分析】①在AB边上截取BM=BE，连接ME，构造，判断它与能否全等即可；②过点F作FN⊥BC于N，因为CF=FN，所以只需判断FN能否与BE相等即可；③在（1）的基础上，结合三角形的外角加以判断即可；④在①的基础上，设的面积为y，BE=x，建立y与x之间的函数关系，加以判断即可．【详解】解：①在AB边上截取BM=BE，连接ME，如图所示．

∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠B=∠BCD=∠90°，AB=BC．∴AM=EC．∵CF是正方形ABCD的外角的平分线，∴∠1=45°．∴∠ECF=135°．∵BM=BE，∴∠2=45°．∴∠AME=135°．∴∠ECF=∠AME．∵∠AEF=90°，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴∠AEB+∠3=90°．∵∠AEB+∠4=90°，∴∠3=∠4．在和中，，∴．∴AE=EF．∴结论①正确；②过点F作FN⊥BC于N在和中，，∴．∴FN=BE．在中，∵∠1=45°，∴∠CFN=45°，FN=CN．∴．∴．∴结论②正确；③∵∠AEF=90°，AE=EF，∴∠EAF=45°．∴∠4+∠5=90°-45°=45°．∵∠3+∠6=∠1=45°，∠3=∠4，∴∠5=∠6，即∠DAF=∠CFE．∴结论③正确；④设则∵，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴∴∴y是关于x的二次函数，且y有最大值，当时，，∴结论④错误．综上可知：结论①②③正确．故答案为：①②③．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的最值等知识点，根据已知条件构造全等三角形是解题的关键．三、解答题16．如图抛物线y＝x2＋bx＋c经过直线y＝x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求此抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）6【分析】（1）先利用一次函数解析式确定A、B的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线解析式；（2）通过解方程x2﹣2x﹣3＝0得到C点坐标，然后利用三角形面积公式计算△ABC的面积．【详解】解：（1）当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，则B（0，﹣3）；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher当y＝0时，x﹣3＝0，解得x＝3，则A（3，0），把A（3，0），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则C（﹣1，0），∴S△ABC＝×（3+1）×3＝6．【点睛】考查了二次函数的性质以及抛物线与x轴的交点，属于基础题，有一定综合性，把求二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．17．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2＋bx．（1）求抛物线顶点Q的坐标(用含b的代数式表示)；（2）抛物线与x轴只有一个公共点，经过点(0，2)的直线y＝kx＋n(k<0)与抛物线交于点A，B(点A在点B的左侧)，与x轴交于点C．①判断△AOB的形状，并说明理由；②已知F(2，0)，G(4，0)，当点C在线段FG上时，求△AOB的面积的取值范围．【答案】（1）；（2）①直角三角形，理由见解析；②【分析】（1）根据，即可得出答案；（2）①求出抛物线的表达式为，联立二次函数和一次函数的表达式整理得到，证明△ADO∽△OEB，即可得出答案；②先求出点C的坐标，根据点C在线段FG上得出k的取值范围，再写出△AOB的面积的表达式，即可得出答案．【详解】解：（1）∵，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴抛物线顶点Q的坐标为；（2）∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴，即，∴，∴抛物线的解析式为；∵直线AB：经过点(0，2)，∴直线AB的解析式为，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x1<0<x2)．如解图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为点D，E，则AD＝y1，OD＝－x1，BE＝y2，OE＝x2，联立，得，解得，，∴，①△AOB是直角三角形，理由如下：∵，，∴，∴，即，∵∠ADO＝∠BEO＝90°，∴△ADO∽△OEB，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴∠AOD＝∠OBE，∴∠AOD＋∠BOE＝90°，∴∠AOB＝90°，∴△AOB是直角三角形；②∵直线AB的解析式为，∴，由题意得，∴由反比例函数的性质得，又，∴，∵，∴，∴，∴，∴即．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质与几何图形结合的综合，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形综合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．18．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，点为第二象限抛物线上的动点．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（1）求、、的值；（2）连接、、，求面积的最大值；（3）过作，垂足为，是否存在这样的点、，使得与相似，若存在，请写出所有符合条件的点坐标，并选其中一个写出证明过程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a=－1，b=－2，c=3；（2）；（3）存在，或，见解析．【分析】（1）用待定系数法即可求得结果；（2）过点P作PE∥y轴交直线AC于点E，先求出直线AC的解析式，设点P的坐标，则可得到点E的坐标，根据即可得到一个二次函数，求这个二次函数的最大值即可；（3）过点Q作QN⊥y轴于N，过点P作PM⊥NQ，交NQ的延长线于M，分两种情况讨论；由与相似，得出的值，易证△PQM∽△QCN，则可求得的比值，设点Q(q，q+3)，进而可得出点P的坐标，将点P的坐标代入抛物线解析式求得q的值，从而可得点P的坐标．【详解】（1）由题意知，抛物线过A、B、C三点，把这三点坐标分别代入中，得：解方程组得：∴a=－1，b=－2，c=3；（2）如图，过点P作PE∥y轴交直线AC于点E更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵P点在第二象限的抛物线上，且解析式为∴设，其中m<0设直线AC的解析式为y=kx+n，其中k≠0把点A、C的坐标分别代入y=kx+n中，得：解得：所以直线AC的解析式为y=x+3∵PE∥y轴，且点E在直线y=x+3上∴点E的坐标为(m，m+3)∴∵∵A(－3，0)∴OA=3∴∴当时，有最大值，且最大值为；（3）过点Q作QN⊥y轴于N，过点P作PM⊥NQ，交NQ的延长线于M，如图更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵B(1，0)，C(0，3)∴OB=1，OC=3①若△CPQ∽△CBO∴∵PQ⊥AC，PM⊥NQ∴∠PQM+∠CQN=90°，∠PQM+∠QPM=90°∴∠CQN=∠QPM∵QN⊥y轴∴∠QNC=∠M=90°∴△PQM∽△QCN∴设点Q(q，q+3)，则N(0，q+3)∴ON=q+3，QN=－q∴CN=OC－ON=3－(q+3)=－q∴∴∴MN=QN+QM=∴点P的纵坐标为∴∵点P在抛物线上∴解得：∴②若△CPQ∽△BCO∴更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵PQ⊥AC，PM⊥NQ∴∠PQM+∠CQN=90°，∠PQM+∠QPM=90°∴∠CQN=∠QPM∵QN⊥y轴∴∠QNC=∠M=90°∴△PQM∽△QCN∴设点Q(q，q+3)，则N(0，q+3)∴ON=q+3，QN=－q∴CN=OC－ON=3－(q+3)=－q∴∴∴MN=QN+QM=∴点P的纵坐标为∴∵点P在抛物线上∴解得：∴综上所述，满足条件的点P的坐标为或．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题是二次函数的综合问题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，三角形面积的计算方法，相似三角形的判定与性质，关键是作辅助线构造出三角形相似，此题还涉及分类讨论．19．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是．等腰的顶点在轴正半轴．（1）求直线的解析式；（2）如图2，点为线段上一动点，为直线上一点，连接且满足平行于轴，连接，求面积取得最大值，并求出此时的坐标；（3）在第（2）问面积取得最大值条件下，如图3，将绕点顺时针旋转得到△，点恰好落在直线上，将△沿着直线平移得到△，平移过程中是否存在某一时刻，使得△是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为或或【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，求得点，根据的坐标，待定系数法求一次函数的解析式；（2）先根据已知条件求得直线的解析式，设，则，根据三角形面积公式计算，再根据二次函数的性质以及的取值范围，确定面积取得最大值时的值，进而求出此时的坐标；（3）过作轴于点，与轴交于点，先证明，根据解析式求得，进而求得，，即可求得直线的解析式，由当△是以为腰的等腰三角形时，或，分类讨论即可求得的坐标．【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解：（1）是等腰三角形，．点的坐标是，．．设直线的解析式为，把，代入得：．解得：．直线的解析式为．（2）设点的横坐标为，设直线的解析式为，由题意：．解得：．直线的解析式为．，．．中，边上的高为，．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher，当时，有最大值．此时，点的坐标为．（3）存在，点的坐标为或或．理由如下：过作轴于点，与轴交于点，如图，由旋转性质可知：，，，由（2）知：．，，．，△．．．．．．，．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher将△沿着直线平移得到△，直线的解析式为，由平移的性质可设点的坐标为，的坐标为，．当△是以为腰的等腰三角形时，或．若时，则．．解得：，．当时，，点的坐标为；当时，，点的坐标为；若时，则，．整理得：．解得：．，点的坐标为；综上所述，将△沿着直线平移得到△，平移过程中存在某一时刻，使得△是以为腰的等腰三角形，此时点的坐标为或或．【点睛】本题考查了一次函数的性质，求一次函数的解析式，平移的性质，勾股定理，二次函数的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher20．抛物线与轴交于，与交于．（1）求三点坐标，并直接写出的面积；（2）将抛物线绕平面内一点旋转，得到，点的对应点为，点对应点为，是否存在抛物线，使得以为顶点的四边形为矩形，且矩形面积为面积的4倍?若存在，求出的表达式，若不存在请说明理由．【答案】（1），，；（2）或，见解析．【分析】（1）令y=0，令x=0，分别求出函数与坐标轴的交点即可；（2）设的解析式为：，分两种情况讨论：点E作轴于点，过点作轴于点，则，根据全等三角形的性质求得点E、F的坐标，代入旋转后的抛物线解析式即可．【详解】解：（1）则或令x=0，则y=-2，（2）存在，以为为顶点的四边形为矩形，且矩形面积为面积的4倍更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher在中，矩形的另一边长为该矩形为正方形，根据旋转，点的对应点为，点对应点为，如图，过点E作轴于点，过点作轴于点，则旋转不改变抛物线的开口大小，但改变了开口方向，设的解析式为：分两种情况讨论：第一种情况：如图，可求出点E的坐标为，点，将点E、F代入解析式中，得解得更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher第二种情况：如图，可得，将点E、F代入解析式中，得解得综上，抛物线的表达式为：或．【点睛】本题考查二次函数综合题、正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质、分类讨论思想等知识，是重要考点，难度较大，掌握相关知识是解题关键．21．如图1，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+c与x轴交于A，B两点，且AB＝4．（1）求c的值及抛物线顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当cos（∠CAO+∠CDO）＝时，求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，设△ABP和△AEN的面积分别为m、n，求m+n的最大值．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】（1）c=3，C（-1，4）；（2）（-19，0）或（17，0）；（3）【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设抛物线对称轴与轴交于点，在中，可求得，推出，可证，利用相似三角形的性质可求出的长度，进一步可求出点的坐标，由对称性可直接求出另一种情况；（3）由，即可求解．【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线，而，则点、的坐标分别为、，将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为，当时，，故点的坐标为；（2）抛物线顶点，抛物线对称轴为直线，设抛物线对称轴与轴交于点，则，在中，，，，，当时，当时，则，如图1，当点在对称轴左侧时，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher，，，，，，，，，；当点在对称轴右侧时，点关于直线的对称点的坐标为，点的坐标为或；（3）设点的坐标为，由点、的坐标得，直线的