初中中考数学函数专题专题29二次函数中的四边形问题含答案及解析

专题29二次函数中的四边形问题知识对接考点一、二次函数中的四边形问题1、熟悉特殊四边形的性质和判定，把问题进行转化，转化为边、角之间的关系，主意要保证条件充分;2、合理选择方法，如相似、勾股定理、三线合一等，往往能使过程变得简单;3、解题过程往往要用到分类讨论，理解题意要准确、分析问题要到位。要点补充：专项训练一、单选题1．下列命题是真命题的是（）A．同弧所对的圆心角相等B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．二次函数的图象与坐标轴有两个交点D．若，则2．如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A． B． C． D．3．下列命题中，真命题是（）A．B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形D．已知抛物线，当时，4．已知二次函数的图象与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点C，点C关于轴的对称点为D点，若四边形为正方形，则的值为（）A． B． C． D．5．在平面直角坐标系中，点A（1，），B（4，），若点M（a，﹣a），N（a+3，﹣a﹣4），则四边形MNBA的周长的最小值为（）A．10+ B．10+ C．5+13 D．5+136．已知点A(1，1)、B(3，1)、C(4，2)、D(2，2)，若抛物线y=ax2(a>0)与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为（）A．<a<1 B．<a<1C．a>l或0<a< D．a>1或0<a<7．如图所示，AB⊥AD于点A，CD⊥AD于点D，∠C＝120°．若线段BC与CD的和为12，则四边形ABCD的面积可能是（）A．24 B．30 C．45 D．8．已知：如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是；③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是；④四边形OECF的面积是1．所有正确结论的序号是（）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④9．如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，≤a≤3b，AE＝AH＝CF＝CG，则四边形EFGH的面积的最大值是（）A． B． C． D．10．如图，四边形中，，，，设的长为，四边形的面积为，则与之间的函数关系式是（）A． B． C． D．二、填空题11．如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为______．12．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________．

13．规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；③一组对边平行，一条对角线平分一个内角的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，2），（0，2），P是二次函数图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是_________．（填序号）14．定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为，当x<0时，点P的变换点的坐标为；当时，点P的变换点的坐标为．抛物线与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上．若点P的变换点在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D是菱形，则满足该条件所有n值的和为________．15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，BC=6，AD=3，E为对角线BD上的动点，点F在边AB上，且满足．连接AE，记△AEF的S面积为S1，△BCE的面积为S2，若，则a的取值范围是________．三、解答题16．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣+bx+c的图象经过点A(1，0)，且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．（1）求二次函数y=﹣+bx+c的表达式；（2）连接AB，求AB的长；（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，与轴交于点，连接．点是位于轴上方抛物线上的一个动点，过作轴，垂足为点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（3）是否存在点，使得四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋1分别与x轴、y轴交于点A，C，经过点C的抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x＋1的另一个交点为点D，点D的横坐标为6．（1）求抛物线的表达式．（2）M为抛物线上的动点．①N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标；②如图2，点M在直线CD下方，直线OM（OM∥CD的情况除外）交直线CD于点B，作直线BD关于直线OM对称的直线B，当直线B与坐标轴平行时，直接写出点M的横坐标．19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象交于第一、二象限内的A，B两点，与轴交于点C．过点B作轴，垂足为M，，，点A的纵坐标为．（1）求该二次函数和一次函数的解析式；（2）连接MC，AO，求四边形CMOA的面积．20．如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，过点作直线轴，与抛物线交于点，作直线，连接．

（1）求抛物线的函数表达式，并用配方法求抛物线的顶点坐标；（2）是抛物线上的点，求满足的点的坐标；（3）点在轴上，且位于点的上方，点在直线上，点为直线上方抛物线上一点，若以点，，，为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．21．如图，四边形是矩形，，，以为一边向矩形外部作等腰直角，．点在线段上，且，点沿折线运动，点沿折线运动（，与点不重合），在运动过程中终保持．设与之间的距离为，四边形的面积为．（1）若，回答下列问题：①当点在线段上时，若四边形的面积为48，则______．②求整个运动过程中，关于的函数解析式，并求出的最大值；（2）如图2，若点在线段上时，要使四边形的面积始终不小于50，求的取值范围．22．如图，抛物线与轴交于，两点，抛物线上另有一点在轴下方，且使△OCA△OBC．（1）求线段的长度；（2）设直线与轴交于点，当平分的面积时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线下方抛物线上是否存在一点，使得四边形更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．23．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴交于点B（﹣3，0），C（1，0），与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）抛物线上是否存在一点D（不与点A，B，C重合），使得直线DA将四边形DBAC的面积分为3：5两部分，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在一点Q，使以点P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

专题29二次函数中的四边形问题知识对接考点一、二次函数中的四边形问题1、熟悉特殊四边形的性质和判定，把问题进行转化，转化为边、角之间的关系，主意要保证条件充分;2、合理选择方法，如相似、勾股定理、三线合一等，往往能使过程变得简单;3、解题过程往往要用到分类讨论，理解题意要准确、分析问题要到位。要点补充：专项训练一、单选题1．下列命题是真命题的是（）A．同弧所对的圆心角相等B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．二次函数的图象与坐标轴有两个交点D．若，则【答案】C【分析】利用圆心角的知识、菱形的判定、二次函数的图像与性质及不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、在圆中，同一条弧对的圆心角只有一个，因此A选项说法有问题，是假命题；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项是假命题；C、∵二次函数中，∴图象与坐标轴有两个交点，故C选项是真命题，符合题意；D、当、b=-1时，满足，但，故D选项是假命题，故选：C．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆心角，菱形的判定方法，二次函数的图象与性质以及不等式的性质.2．如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依次分析当、、三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像进行判断即可确定正确选项．【详解】解：如图所示，分别过点D、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点F，∵已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，∴DE=CF=4，∵点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，∴PQ∥DE∥CF，∵AD=5，∴,∴当时，P点在AE之间，此时，AP=t，∵,∴，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴，因此，当时，其对应的图像为，故排除C和D；∵CD＝3，∴EF=CD=3，∴当时，P点位于EF上，此时，Q点位于DC上，其位置如图中的P1Q1，则，因此当时，对应图像为，即为一条线段；∵∠ABC＝45°，∴BF=CF=4，∴AB=3+3+4=10，∴当时，P点位于FB上，其位置如图中的P2Q2，此时，P2B=10-x，同理可得，Q2P2=P2B=10-x，，因此当时，对应图像为，其为开口向下的抛物线的的一段图像；故选：B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的推论、勾股定理、平行线的性质、三角形的面积公式、二次函数的图像等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能分情况讨论等，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．3．下列命题中，真命题是（）A．B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherD．已知抛物线，当时，【答案】D【分析】根据零次幂、菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质可直接进行排除选项．【详解】解：A、，错误，故不符合题意；B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，错误，故不符合题意；C、顺次连接矩形各边中点的四边形是菱形，错误，故不符合题意；D、由抛物线可得与x轴的交点坐标为，开口向上，然后可得当时，，正确，故符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查零次幂、菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质，熟练掌握零次幂、菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质是解题的关键．4．已知二次函数的图象与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点C，点C关于轴的对称点为D点，若四边形为正方形，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件得到A（1，0），B（4，0），得到抛物线的对称轴为直线，设顶点C的坐标为，根据已知条件列方程即可得到结论．【详解】解：二次函数的图象与轴交于A、B两点，，，抛物线的对称轴为直线，设顶点C的坐标为，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher四边形为正方形，，或，把C点的坐标代入得：或，解得：，故选：C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的图象与几何变换，正方形的性质，正确的理解题意是解题的关键．5．在平面直角坐标系中，点A（1，），B（4，），若点M（a，﹣a），N（a+3，﹣a﹣4），则四边形MNBA的周长的最小值为（）A．10+ B．10+ C．5+13 D．5+13【答案】A【分析】根据题意，得AB==5，AM=，MN==5，BN=由此得四边形MNBA的周长为10+2，利用二次函数求得的最小值即可．【详解】∵点A（1，），B（4，），若点M（a，﹣a），N（a+3，﹣a﹣4），∴AB==5，AM=，MN==5，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherBN=∴四边形MNBA的周长为10+2，令y===,∵2＞0，∴抛物线有最小值，当a=时，y有最小值，且为y==，∴的最小值为=，∴四边形MNBA的周长的最小值为10+2×=10+，故选A．【点睛】本题考查了两点间的距离公式，二次函数的最值问题，灵活运用两点间的距离公式将周长的最值转化为二次函数的最值是解题的关键．6．已知点A(1，1)、B(3，1)、C(4，2)、D(2，2)，若抛物线y=ax2(a>0)与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为（）A．<a<1 B．<a<1C．a>l或0<a< D．a>1或0<a<【答案】D【分析】把A（1，1），B(3，1)分别代入y＝ax2求得a＝1，a=，然后根据图象即可求得答案．【详解】解：如图所示：把A（1，1）代入y＝ax2得，a＝1，把B（3，1）代入y＝ax2得a＝，∵抛物线的开口越小，|a|的绝对值越大，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴抛物y＝ax2与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为：a>1或0<a<故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象开口大小与二次项系数绝对值的关系，数形结合是解题的关键．7．如图所示，AB⊥AD于点A，CD⊥AD于点D，∠C＝120°．若线段BC与CD的和为12，则四边形ABCD的面积可能是（）A．24 B．30 C．45 D．【答案】A【分析】过C作CH⊥AB于H，推出四边形ADCH是矩形，四边形ABCD是直角梯形，求得∠BCH＝30°，设BC＝x，则CD＝12﹣x，得到AH＝12﹣x，BH＝x，CH＝x，根据梯形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：过C作CH⊥AB于H，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵AB⊥AD，CD⊥AD，∴∠A＝∠ADC＝∠AHC＝90°，CD∥AB，∴四边形ADCH是矩形，四边形ABCD是直角梯形，∴∠DCH＝90°，CD＝AH，∵∠BCD＝120°，∴∠BCH＝30°，设BC＝x，则CD＝12﹣x，∴AH＝12﹣x，BH＝x，CH＝x，∴四边形ABCD的面积＝（CD+AB）•CH＝（12﹣x+12﹣x+x）×x，∴四边形ABCD的面积＝﹣（x﹣8）2+24，∴当x＝8时，四边形ABCD的面积有最大值24，即四边形ABCD的面积可能是24，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，梯形的面积公式和二次函数的性质，得出二次函数解析式是解题关键．8．已知：如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是；④四边形OECF的面积是1．所有正确结论的序号是（）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】证明≌，即可得出①是正确的；设BE=CF=x,则EC=2-x,其中，表达出△OEF面积，用二次函数求出最小值，进行比较即可判断②是正确的；假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是，求出EF的长度即可说明③是正确的；根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出正确．【详解】∵四边形ABCD是正方形，，，在和中，，≌，∴OE=OF,∴∴又∵OE=OF,∴△OEF是等腰直角三角形，故①正确；∵≌，∴设BE=CF=x,则EC=2-x,其中在Rt△EFC中，在Rt△EFO中，∴∴更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴当x=1时△OEF的面积取得最小值，故②正确；假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是；∴∴∴解得：∴BE=CF=或BE=CF=时，△ECF的周长是，∴至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是，故③正确；∵≌，，故④正确；故选：D．【点睛】此题属于四边形的综合题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，二次函数的最值问题，注意掌握全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题是解此题的关键．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，≤a≤3b，AE＝AH＝CF＝CG，则四边形EFGH的面积的最大值是（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA． B． C． D．【答案】B【分析】先根据题意列出二次函数关系式，再根据求二次函数最值的方法求解即可.【详解】设，则，，设四边形的面积为，依题意，得，即：，，抛物线开口向下，时，有最大值，，，函数有最大值为.故选：.【点睛】根据面积的和差关系，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题.10．如图，四边形中，，，，设的长为，四边形的面积为，则与之间的函数关系式是（）A． B． C． D．【答案】C更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【分析】四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积．【详解】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE∴∠BAC=∠DAE又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°∴△ABC≌△ADE（AAS）∴BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC-AF=AC-DE=3a，在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，解得：a=，∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=×（DE+AC）×DF=×（a+4a）×4a=10a2=x2．故选C．【点睛】本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher二、填空题11．如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为______．【答案】．【分析】设P（x，x2−2x−3）（0<x<3），根据矩形的周长公式得到C＝−2＋．根据二次函数的性质来求最值即可．【详解】解：∵y＝x2﹣2x﹣3，∴当y＝0时，x2﹣2x﹣3=0即（x+1）（x-3）＝0，解得

x＝-1或x＝3故设P（x，y），设P（x，x2﹣2x-3）（0<x<3），∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，∴四边形OAPB为矩形，∴四边形OAPB周长C＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x＝﹣2x2+6x+6＝﹣2（x2﹣3x）+6，＝﹣2+．∴当x＝时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．故答案为：．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．12．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________．

【答案】【分析】点代入抛物线中求出解析式为，再设CD=2x，进而求得E点坐标为(x,4-2x)，代入中即可求解．【详解】解：将点代入抛物线中，解得，∴抛物线解析式为，设CD、EF分别与轴交于点M和点N，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher

当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线中，得到：，解得，(负值舍去)，∴，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．13．规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；③一组对边平行，一条对角线平分一个内角的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，2），（0，2），P是二次函数图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是_________．（填序号）【答案】①③④【分析】①正方形与菱形对边平行，邻边相等．②对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形不满足对边平行的条件．③通过对边平行与角平分线可得邻边相等．④数形结合，计算出PM与PN的长度作比较．【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解：①正方形与菱形对边平行，邻边相等，满足题意．②对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形不满足对边平行的条件，不满足题意．③如图，四边形，，平分，，，平分，，，，满足题意．④如图，设点坐标为，则．．，，四边形是广义菱形满足题意．故答案为：①③④．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【点睛】本题考查新定义，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质，二次函数的图象与性质．14．定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为，当x<0时，点P的变换点的坐标为；当时，点P的变换点的坐标为．抛物线与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上．若点P的变换点在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D是菱形，则满足该条件所有n值的和为________．【答案】-13【分析】根据四边形ECP′D是菱形,点E与点P′关于x轴对称，可求P′（2，-n）,根据变换当点P在y轴左侧，P（-2，-n）,当点P在y轴右侧，P（-n,-2），点P在上，或解方程即可．【详解】解：∵四边形ECP′D是菱形,点E与点P′关于x轴对称，∵E（2，n）,∴P′（2，-n）,当点P在y轴左侧，,P的坐标为，点P的变换点的坐标为；∴P（-2，-n）,∵点P在上，∴，∴；当点P在y轴右侧，,P的坐标为，点P的变换点的坐标为．∴P（-n,-2），∵点P在上，∴，整理得，因式分解得，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解得；∴n=-8或-2或-3．∴-8-2-3=-13，故答案为-13．【点睛】本题考查点的变换，二次函数性质，菱形性质，掌握点的变换特征，二次函数性质，菱形性质是解题关键．15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，BC=6，AD=3，E为对角线BD上的动点，点F在边AB上，且满足．连接AE，记△AEF的S面积为S1，△BCE的面积为S2，若，则a的取值范围是________．【答案】【分析】过点E作EH⊥AB于点H，作EG⊥BC于点G，证明△BHE∽△BAD，得到，根据得到，可证明△EHF∽△EGC，可得CE⊥EF，设EH=x，表示出S1和S2，得到，分别得到EH最大和最小时的情况，可得对应EH值，代入可得a的取值范围．【详解】解：过点E作EH⊥AB于点H，作EG⊥BC于点G，则四边形HEGB为矩形，∵HE∥AD，∴△BHE∽△BAD，∴，又，∴，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵∠EHF=∠EGC=90°，∴△EHF∽△EGC，∴∠HEF=∠GEC，∴∠HEG=∠FEC=90°，即CE⊥EF，设EH=x，∵，∴HB=EG=，CG=BC-BG=6-x，，∴HF=，BF=BH-HF=，AF=AB-BF=，∴===，==4x，∴，∵点F在AB上，∴当F与B重合时，EH最小，此时EH=，当E与D重合时，EH最大，此时EH=AD=3，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，线段的最值问题，解题的关键是求出EH的最大值和最小值．三、解答题16．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣+bx+c的图象经过点A(1，0)，且当x=0和x=5更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．（1）求二次函数y=﹣+bx+c的表达式；（2）连接AB，求AB的长；（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2；（2）AB=；（3）四边形ABCN是矩形，证明见解析【分析】（1）根据当x=0和x=5时所对应的函数值相等，可得（5，c），根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）联立抛物线与直线，可得方程组，根据解方程组，可得B、C点坐标，根据勾股定理，可得AB的长；

（3）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，判定四边形ABCN是平行四边形，再根据勾股定理的逆定理证明，即可解答．【详解】解：（1）当x=0时，y=c，即（0，c）．由当x=0和x=5时所对应的函数值相等，得（5，c）．将（5，c）（1，0）代入函数解析式，得，解得．故抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2；（2）联立抛物线与直线，得，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解得，，即B（2，1），C（5，﹣2）．由勾股定理，得AB==；（3）四边形ABCN是矩形，证明：如图：，∵M是AC的中点，∴AM=CM．∵点B绕点M旋转180°得到点N，∴BM=MN，∴四边形ABCN是平行四边形，∵A（1，0），B（2，1），C（5，﹣2）．∴，，，∴∴，∴是矩形．【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用了待定系数法求函数解析式，并联立函数解析式解方程组得出交点坐标，利用了勾股定理求两点之间距离并判定直角三角形．其中利用函数值相等得出点（5，c）是函数图像的点是解题关键，17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，与轴交于点更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher，连接．点是位于轴上方抛物线上的一个动点，过作轴，垂足为点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（3）是否存在点，使得四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，或；（3）存在，的坐标为．【分析】（1）把、代入求出、的值即可求出该函数表达式；（2）设，表示出、的长，分或两种情况讨论即可找到的坐标；（3）连接交于点，把四边形分成两部分，表示出即可根据二次函数最值找到的坐标．【详解】解：（1）把、代入得：，解得：，∴抛物线的函数解析式为；（2）∵，，，∴，，∴设，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴，，若，则有，即：，解得：，（舍去），∴，若，则有，即：，解得：，（舍去），∴，综上，点坐标为或．（3）连接交于点，由，得直线的表达式为：，设，则，∴，∴，∴，当时，，此时点的坐标为．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题属于二次函数综合大题，考查待定系数法求解析式，三角形的相似以及面积最值问题，熟练掌握好二次函数相关性质是解题基础，并能分类讨论，数形相结合是解题的关键．18．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋1分别与x轴、y轴交于点A，C，经过点C的抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x＋1的另一个交点为点D，点D的横坐标为6．（1）求抛物线的表达式．（2）M为抛物线上的动点．①N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标；②如图2，点M在直线CD下方，直线OM（OM∥CD的情况除外）交直线CD于点B，作直线BD关于直线OM对称的直线B，当直线B与坐标轴平行时，直接写出点M的横坐标．【答案】（1）y＝；（2）①点M的坐标为（，）或（，）；②点M的横坐标为3或或【分析】（1）先由直线解析式求出A，C，D的坐标，再由C，D坐标求出抛物线解析式；（2）①设N（n，0），由平移与坐标关系可得点M的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可；②因为直线B与坐标轴平行，所以B∥x轴和B∥y轴分类讨论，以B∥x轴为例，画出草图，由于BM平分∠DB，又∠AOB＝∠BM，等量代换，可以证得△AOB是等腰三角形，求出AB的长度，并且有A和D点坐标，求出∠DAO的三角函数值，过B作BH⊥x轴于H，在直角△ABH中，利用AB的长度，和∠BAH的三角函数值，求出AH和BH的长度，得到B点坐标，进一步得到直线OB的解析式，联立直线OB和抛物线解析式，求得交点M点坐标，当B∥y轴，用同样的方法解决．【详解】解：（1）令x＝0，则y＝x＋1＝1，∴C点坐标为（0，1），更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher令y＝0，则，①∴，∴A点坐标为（，0），令x＝6，则y＝，∴D点坐标为（），将C，D两点坐标代入到抛物线解析式中得，，解得，∴抛物线的表达式为：y＝；（2）①设N（n，0），∵四边形CDMN为平行四边形，∴，∴由平移与坐标关系可得M（n＋6，），∵点M在抛物线上，∴，∴n2＋9n+4＝0，∴，∴点M的坐标为（，）或（，）；②第一种情况：如图1，当B∥x轴时，分别过B，D作x轴的垂线，垂足分别为H，Q，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher在直角△ADQ中，AQ＝6＋＝，DQ＝，∴由勾股定理得：，∴tan∠DAQ＝＝，∴cos∠DAQ＝，∵∠BAH＝∠DAQ，∴cos∠BAH＝，∵直线BD与直线B关于直线OM对称，∴∠DBM＝∠BM，∵B∥x轴，∴∠HOB＝∠BM＝∠DBM，∴AB＝AO＝，∴，∴AH＝，∴OH＝AH＋AO＝，令x＝﹣，则y＝＝，∴B点坐标为（﹣，），设直线OB的解析式为y＝kx，代入点B得，k＝，∴直线OB的解析式为y＝x，联立，解得，，∴点M的横坐标为3或，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher第二种情况，如图2，当B∥y轴时，设B交x轴于G，∴∠COB＝∠OBG，∵直线BD与直线B关于直线OM对称，∴∠CBO＝∠OBG＝∠COB，∴CB＝CO＝1，过C作CE⊥BG于E，∴CE//x轴，∴∠BCE＝∠CAO，∵tan∠CAO＝＝，∴cos∠CAO＝，∴cos∠BCE＝＝，∴CE＝＝，∴＝，∵CE⊥BG，BG⊥x轴，∴∠CEG＝∠BGO＝∠COG＝90°，∴四边形CEGO为矩形，∴EG＝CO＝1，CE＝OG＝，∴BG＝BE＋EG＝，∴点B的坐标为（），∴直线OB的解析式为y＝2x，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher联立，化简得，x2－11x＋4＝0，∴，∵点M在直线CD下方，∴x＜6，∴x＝，∴点M的横坐标为，即点M的横坐标为3或或．【点睛】本题是一道二次函数综合题，数形结合是本题的解题的突破口，同时，对于“平行线十角平分线”这种条件，要联想到等腰三角形，是此题的解题关键，此题对学生解直角三角形的能力也有一定要求．19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象交于第一、二象限内的A，B两点，与轴交于点C．过点B作轴，垂足为M，，，点A的纵坐标为．（1）求该二次函数和一次函数的解析式；（2）连接MC，AO，求四边形CMOA的面积．【答案】（1），；（2）3【分析】（1）根据题意，得出交点B的坐标，带入二次函数解析式，求出二次函数解析式；根据二次函数解析式求出A点坐标，再将A、B两点坐标带入一次函数解析式求解即可；（2）分别求出与，四边形的面积即为两个三角形面积之和．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【详解】（1）∵BMx轴，垂足为M，∴∠BMO=90°，∵BM=OM，OB=，∴BM=OM=1，∴点B的坐标为（-1，1）．把B（-1，1）代入得：，∴，∴二次函数的解析式为．∵点A在的图象上，点A的纵坐标为4，∴，即，∵点A在第一象限，则．把、B（-1，1）代入得：，解得∴一次函数的解析式为；（2）在中，得点C的坐标为（0，2），∴．∴．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，利用交点坐标坐标进行求解．熟练掌握是解决问题的关键．20．如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，过点作直线轴，与抛物线交于点，作直线，连接．

更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（1）求抛物线的函数表达式，并用配方法求抛物线的顶点坐标；（2）是抛物线上的点，求满足的点的坐标；（3）点在轴上，且位于点的上方，点在直线上，点为直线上方抛物线上一点，若以点，，，为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．【答案】（1），；（2）点的坐标为或；（3）【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）分①点E在直线CD下方的抛物线上和②点E在直线CD上方的抛物线上两种情况，用三角函数求解即可；（3）分①CM为菱形的边和②CM为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算即可求解.【详解】解：（1）根据题意，得，解得，∴抛物线的函数表达式为：，∵，∴抛物线的顶点坐标为；（2）设满足条件的点在抛物线上：①当点位于直线下方时，过点作直线，垂足为．则，，，根据题意，当时，，即，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴，解得（舍去），，∴；②当点位于直线上方时，过点作直线，垂足为．则，，，根据题意，当时，，即，∴，解得（舍去），．∴，所以，点的坐标为或；（3）如图2，当为菱形的边时：设点坐标为，根据题意，得，由得，解得（舍去），，所以，菱形的边长．如图3，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher当为菱形的对角线时：因为，所以点为抛物线与直线的交点．由得，，此时，点与点重合，不符合题意，所以，菱形的边长为．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，菱形的性质，平行四边形的性质，判定，锐角三角函数，解本题的关键是用等角的同名三角函数值相等建立方程求解．21．如图，四边形是矩形，，，以为一边向矩形外部作等腰直角，．点在线段上，且，点沿折线运动，点沿折线运动（，与点不重合），在运动过程中终保持．设与之间的距离为，四边形的面积为．（1）若，回答下列问题：①当点在线段上时，若四边形的面积为48，则______．②求整个运动过程中，关于的函数解析式，并求出的最大值；（2）如图2，若点在线段上时，要使四边形的面积始终不小于50，求的取值范围．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】（1）①3；②，最大值为169；（2）5≤a≤20．【分析】（1）①P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，由梯形面积公式得出方程，解方程即可；②当点P在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，四边形AMQP为直角梯形，得出0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12＋20）×10＝160，当P在DG上运动，10＜x＜20，四边形AMQP为不规则梯形，作PK⊥AB于K，交CD于N，作GE⊥CD于E，交AB于F，则PKa＝x，PN＝x−10，EF＝BC＝10，由等腰直角三角形的性质得出GE＝CD＝10，得出GF＝GE＋EF＝20，GH＝20−x，证明△GPQ∽△GDC，得出比例式，得出PQ＝40−2x，求出梯形AMQP的面积＝（12＋40−2x）×x＝−（x−13）2＋169，由二次函数的性质即可得出结果；（2）P在DG上，则10≤x＜20，AM＝a，PQ＝40−2x，梯形AMQP的面积S＝（a＋40−2x）×x＝−x2＋x，对称轴x＝10＋，得出10≤10＋≤15，对称轴在10和15之间，得出10≤x＜20，二次函数图象开口向下，当x无限接近于20时，S最小，得出−202＋×20≥50，a≥5；即可得出答案．【详解】（1）解：①P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，四边形AMQP的面积＝（12＋20）x＝48，解得：x＝3；故答案为：3；②当点P在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，四边形AMQP为直角梯形，∴0＜x≤10时，四边形AMQP面积为（20+12）×x=16x，∴P到D点时四边形AMQP面积最大，四边形AMQP面积的最大值＝（12＋20）×10＝160，当P在DG上运动，10＜x＜20，四边形AMQP为不规则梯形，作PK⊥AB于K，交CD于N，作GE⊥CD于E，交AB于F，如图2所示：更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher则PK＝x，PN＝x−10，EF＝BC＝10，∵△GDC是等腰直角三角形，∴DE＝CE，GE＝CD＝10，∴GF＝GE＋EF＝20，∴GH＝20−x，由题意得：PQ∥CD，∴△GPQ∽△GDC，∴，即，解得：PQ＝40−2x，∴梯形AMQP的面积y＝（12＋40−2x）×x＝−x2＋26x＝−（x−13）2＋169，∴当x＝13时，四边形AMQP的面积最大为169；∴关于的函数解析式为，最大值为169；（2）解：P在DG上，则10≤x＜20，AM＝a，PQ＝40−2x，梯形AMQP的面积S＝（a＋40−2x）×x＝−x2＋x，对称轴为：x＝10＋，∵0≤a≤20，∴10≤10＋≤15，对称轴在10和15之间，∵10≤x＜20，二次函数图象开口向下，∴当x无限接近于20时，S最小，∴−202＋×20≥50，∴a≥5；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher综上所述，a的取值范围为5≤a≤20．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式、二次函数的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解题的关键．22．如图，抛物线与轴交于，两点，抛物线上另有一点在轴下方，且使△OCA△OBC．（1）求线段的长度；（2）设直线与轴交于点，当平分的面积时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线下方抛物线上是否存在一点，使得四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在．【分析】（1）令y=0，求出x的值，确定出A与B坐标，根据已知相似三角形得比例，求出OC的长即可；（2）根据OC平分△BOM的面积可得C为BM的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=BC，确定出C的坐标，利用待定系数法确定出直线BC解析式，把C坐标代入抛物线求出a的值，确定出二次函数解析式即可；（3）过P作x轴的垂线，交BM于点Q，设出P与Q的横坐标为x，分别代入抛物线与直线解析式，表示出坐标轴，相减表示出PQ，四边形ACPB面积最大即为三角形BCP面积最大，三角形BCP面积等于PQ与B和C横坐标之差乘积的一半，构造二次函数，利用二次函数性质求出此时P的坐标即可．【详解】解：（1）由题可知当y=0时，，解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：