2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.1第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其简单应用学案含解析新人教A版选修2-3

PAGE第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其简洁应用[目标]1.理解两个计数原理的内容及它们的区分.2.两个计数原理的应用．[重点]1.理解两个计数原理的内容及它们的区分.2.两个计数原理的应用．[难点]1.两个计数原理的应用.2.分类与分步问题的选择．学问点一分类加法计数原理[填一填]完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．[答一答]1．(1)假如完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法．那么完成这件事共有多少种不同的方法？(2)假如完成一件事情有n类不同方案，在每一类中分别有mi(i＝1,2，…n)种不同方法，那么应当如何计数呢？提示：(1)N＝m1＋m2＋m3；(2)N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn.2．有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有多少种不同的取法？提示：按分类计数原理共有6＋5＋4＝15种取法．学问点二分步乘法计数原理[填一填]完成一件事须要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．[答一答]3．(1)假如完成一件事须要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？(2)假如完成一件事情须要n个步骤，做每一步中分别有mi(i＝1,2，…n)种不同方法，那么应当如何计数呢？提示：(1)N＝m1×m2×m3；(2)N＝m1×m2×m3×…×mn.4．如何理解“完成一件事”的过程中各步之间的关系？提示：各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复．5．区分“完成一件事”是分类还是分步的关键是什么？提示：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区分与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理关键词分类分步本质每类方法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次性的且每次得到的是最终结果，只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事各类(步)的关系各类方法之间是互斥的、并列的、独立的，即“分类互斥”各步之间是关联的、独立的，“关联”确保连续性，“独立”确保不重复，即“分步互依”类型一分类加法计数原理的应用【例1】某校高三共有三个班，各班人数如下表.男生人数女生人数总人数高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法；(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？【分析】(1)从每个班选1名学生任学生会主席都能独立完成这件事，因此应采纳分类加法计数原理；(2)完成这件事有三类方案，因此也应采纳分类加法计数原理．【解】(1)从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．依据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法．(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．依据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法．利用分类加法计数原理计数，首先搞清要完成的“一件事”是什么，其次确定一个合适的分类标准，将完成“这件事”的方法进行分类；然后，对每一类中的方法进行计数，最终由分类加法计数原理计算总方法数.(1)某班有28名男生，20名女生，从中选一名同学作为数学课代表，则不同的选法有(C)种．A．28 B．20C．48 D．560解析：选一名数学课代表有2类不同的方案．第1类：从该班的男生中选1名同学，有28种不同的选法．第2类：从该班的女生中选1名同学，有20种不同的选法．依据分类加法计数原理知，选1名同学有28＋20＝48种不同的选法．(2)家住天津的小明同学憧憬北京的故宫、长城，打算暑假去参观旅游，从天津到北京一天中有飞机早、中、晚3个航班，动车组有4个班次，汽车有8个不同班次．则小明乘坐这些交通工具去北京有15种不同的方法．解析：依据分类加法计数原理，有3＋4＋8＝15种不同的方法．类型二分步乘法计数原理【例2】一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．(1)从两个口袋里各取1信封，有多少种不同的取法？(2)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？【分析】在(1)中要明确只取2封信，一个口袋一封；在(2)中9封信应分别投入4个邮筒，这才叫完成这件事，考虑分步乘法计数原理．【解】(1)各取一封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数原理．共有5×4＝20(种)．(2)若以每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4种可能．其次封信仍有4种可能…第九封信还有4种可能．所以共有49种不同的投法．利用分步乘法计数原理计数的一般思路：(1)如图，从丽水到上海的途径有60种．解析：完成从丽水到上海这件事须要两个步骤：第1步，从丽水到温州，有6种不同方法；第2步，从温州到上海，有10种不同方法，所以从丽水到上海共有6×10＝60种方法．(2)某校会议室有五个出入门，若从一个门进，另一个门出，不同的走法有20种．解析：完成这件事可分两步，第一步进门有5种走法；其次步出门有4种走法．依据分步乘法计数原理有N＝5×4＝20种走法．类型三两个原理的综合应用【例3】某学校高二年级有12位语文老师、13位数学老师、15位英语老师，市教化局拟召开一个新课程研讨会．(1)若选派1位老师参会，有多少种选法？(2)若三个学科各派1位老师参会，有多少种选法？(3)若选派2位不同学科的老师参会，有多少种选法？【分析】(1)选派1位老师参会有三种选法，用分类加法计数原理．(2)三个学科各派1位老师参会，完成这件事情分三步，用分步乘法计数原理．(3)选派2位不同学科老师参会，因为有三个学科，所以先选两个不同学科，即先分类，再分步．【解】(1)分三类：第一类选语文老师，有12种不同选法；其次类选数学老师，有13种不同选法；第三类选英语老师，有15种不同选法，共有12＋13＋15＝40种不同的选法．(2)分三步：第一步选语文老师，有12种不同选法；其次步选数学老师，有13种不同选法；第三步选英语老师，有15种不同选法，共有12×13×15＝2340种不同的选法．(3)分三类：第一类选一位语文老师和一位数学老师共有12×13种不同的选法；其次类选一位语文老师和一位英语老师共有12×15种不同的选法；第三类选一位英语老师和一位数学老师共有15×13种不同的选法，共有12×13＋12×15＋13×15＝531种不同的选法．留意运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决既有“分类”又有“分步”的综合问题时应“先分类，后分步”.高艳有4件不同颜色的衬衣、3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”劳动节需选择一套服装参与歌舞演出，则高艳不同的穿衣服的方式有(B)A．24种 B．14种C．10种 D．9种解析：其穿衣方式分两类，第一类，不选连衣裙有4×3＝12种方法，其次类，选连衣裙有2种方法，由分类加法计数原理知，共有12＋2＝14种方法．类比物理学中的并联电路与串联电路理解两个计数原理【例4】如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有多少条不同的线路？【思路分析】分为三类，每类再分步解决．【解】第一类：有一条线路．其次类：有3×2条线路．第三类：有2×2条线路．依据分类加法计数原理，从A到B接通时共有1＋3×2＋2×2＝11种不同线路．【解后反思】分类加法计数原理可类比并联电路，分步加法计数原理可类比串联电路．这样可以形象地理解两个计数原理．(1)如图，在由电键组A与B组成的并联电路(规定只能合上其中一个电键)中，接通电源使灯泡发光的方法有5种．解析：要完成的“一件事”是“使灯泡发光”，在由电键组A与B组成的并联电路中，只要合上图中的任一电键，灯泡即发光．因此对完成这件事进行分类，而每一类都可以独立完成这件事(使灯泡发光)，所以接通电源使灯泡发光的方法有2＋3＝5种．(2)如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，假如某个焊接点脱落，整个电路就会不通．现发觉电路不通了，那么焊接点脱落的可能状况共有63种．解析：电路不通可能是一个或多个焊接点脱落，问题比较困难．但电路通的状况却只有一种，即各焊接点全未脱落．因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种状况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63种可能状况．1．一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是(A)A．8B．15C．16D．5解析：运用分类加法计数原理可得，不同选法的种数是5＋3＝8.2．已知集合A＝{1,2}，B＝{3,4,5}，从这两个集合中先后取一个元素构成平面直角坐标系中的点的横、纵坐标，则可确定的不同点的个数为(B)A．5 B．6C．10 D．12解析：完成这件事可分两步：第一步，从集合A中任选一个元素，有2种不同的方法；其次步，从集合B中任选一个元素，有3种不同的方法．由分步乘法计数原理得，一共有2×3＝6种不同的方法．3．若x∈{1,2,3}，y∈{5,6,7}，则x·y的不同值有(C)A．2个 B．6个C．9个 D．3个解析：3×3＝9.4．一高速马路上的高架桥有6个通道能到十字路口，假如不允许回头，共有18种行车