2025届高考数学一轮知能训练第六章不等式第3讲算术平均数与几何平均数含解析

PAGE5-第3讲算术平均数与几何平均数1．(2024年甘肃嘉峪关一中模拟)已知a≠0，直线ax＋(b＋2)y＋4＝0与直线ax＋(b－2)y－3＝0相互垂直，则ab的最大值等于()A．0B．2C．4D.eq\r(2)2．若函数f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x>2)在x＝a处取得最小值，则a＝()A．1＋eq\r(2)B．1＋eq\r(3)C．3D．43．已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)4．(2024年湖南)若实数a，b满意eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，则ab的最小值为()A.eq\r(2)B．2C．2eq\r(2)D．45．(2024年北京)设{an}是等差数列．下列结论中正确的是()A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0C．若0<a1<a2，则a2>eq\r(a1a3)D．若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)>06．(2024年湖北荆州月考)已知a>1，b>2，a＋b＝5，则eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－2)的最小值为()A．4B．8C．9D．67．已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)的最小值是________．8．(2024年天津)设x>0，y>0，x＋2y＝4，则eq\f(x＋12y＋1,xy)的最小值为__________．9．已知两个正数x，y满意x＋4y＋5＝xy，则xy取最小值时x，y的值分别为()A．5,5B．10,5C．10，eq\f(5,2)D．10,1010．(2024年四川绵阳诊断)若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则y＝eq\f(1,sin2θ)＋eq\f(9,cos2θ)的取值范围为()A．[6，＋∞)B．[10，＋∞)C．[12，＋∞)D．[16，＋∞)11．函数f(x)＝eq\f(1,1－x)＋eq\f(1,4x)(0<x<1)的最小值为()A.eq\f(5,2)B.eq\f(7,3)C.eq\f(9,4)D.eq\f(11,5)12．(2024年浙江台州中学等部分学校期中联考)已知实数a>0，b>0，eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋1)＝1，则a＋2b的最小值是()A．3eq\r(2)B．2eq\r(2)C．3D．213．(多选)下列函数中，最小值是2eq\r(2)的有()A．y＝x＋eq\f(2,x)B．y＝eq\r(x)＋eq\f(2,\r(x))C．y＝x2＋eq\f(2,x2＋4)＋4D．y＝ex＋2e－x14．(多选)设正实数a，b满意a＋b＝1，则()A.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4B.eq\r(ab)有最小值eq\f(1,2)C.eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2)D．a2＋b2有最小值eq\f(1,2)

第3讲算术平均数与几何平均数1．B解析：由题意知a2＋(b－2)(b＋2)＝0，即a2＋b2＝4.∴ab≤eq\f(a2＋b2,2)＝2(当且仅当a＝b＝eq\r(2)或－eq\r(2)时取等号)．故选B.2．C解析：∵x＞2，∴f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)＝(x－2)＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(x－2·\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq\f(1,x－2)，即x＝3时取等号．3．D解析：a2＝1，a1a3＝aeq\o\al(2,2)＝1，明显a1，a3同号，当a1，a3同为正时，S3＝a1＋a2＋a3≥2eq\r(a1a3)＋1＝3；当a1，a3同为负时，S3＝a1＋a2＋a3＝－[(－a1)＋(－a3)]＋a2≤－2eq\r(－a1·－a3)＋1＝－1.4．C解析：∵eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，∴a＞0，b＞0.∵eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(1,a)×\f(2,b))＝2eq\r(\f(2,ab))，∴ab≥2eq\r(2)(当且仅当b＝2a时取等号)．∴ab的最小值为2eq\r(2).故选C.5．C解析：先分析四个答案，A举一反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a2>0，而a2＋a3<0，A错误；B举同样反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a3<0，而a1＋a2>0，B错误；下面针对C进行探讨，{an}是等差数列，若0<a1<a2，则a1>0，设公差为d，则d>0.数列各项均为正，由于aeq\o\al(2,2)－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝aeq\o\al(2,1)＋2a1d＋d2－aeq\o\al(2,1)－2a1d＝d2>0，则aeq\o\al(2,2)>a1a3⇒a2>eq\r(a1a3).故选C.亦可a2＝eq\f(a1＋a3,2)>eq\r(a1a3)(∵a1≠a3)．D项中，a2－a1＝d，a2－a3＝－d，∴(a2－a1)(a2－a3)＝－d2≤0.D错误．6．B解析：由题意知a－1>0，b－2>0，又a＋b＝5，∴(a－1)＋(b－2)＝2，∴eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－2)＝eq\f(1,2)[(a－1)＋(b－2)]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－1)＋\f(9,b－2)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(b－2,a－1)＋\f(9a－1,b－2)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋2\r(\f(b－2,a－1)·\f(9a－1,b－2))))＝8，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－2＝3a－1，,a＋b＝5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2)，,b＝\f(7,2)))时取等号，故选B.7．9解析：依题意得，圆心坐标是(0,1)，于是有b＋c＝1，eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,b)＋\f(1,c)))(b＋c)＝5＋eq\f(4c,b)＋eq\f(b,c)≥5＋2eq\r(\f(4c,b)×\f(b,c))＝9，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝1b，c>0，,\f(4c,b)＝\f(b,c)，))即b＝2c＝eq\f(2,3)时取等号，因此eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)的最小值是9.8.eq\f(9,2)解析：∵x＋2y＝4，x>0，y>0，∴x＋2y＝4≥2eq\r(x·2y)，即eq\r(2xy)≤，0<xy≤2，当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时取等号．又∵eq\f(x＋12y＋1,xy)＝eq\f(2xy＋x＋2y＋1,xy)＝2＋eq\f(5,xy)≥2＋5×eq\f(1,2)＝eq\f(9,2)，∴eq\f(x＋12y＋1,xy)的最小值为eq\f(9,2).9．C解析：xy＝x＋4y＋5≥4eq\r(xy)＋5，当且仅当x＝4y时，取等号．令eq\r(xy)＝t，则上式为t2－4t－5≥0(t>0)，整理得(t－2)2≥9，解得t≥5(t≤－1舍去)，当t＝5时，取等号，即t＝5为最小值，xy最小值为t2＝25.当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4y，,x＋4y＋5＝25))时，xy取最小值，即x＝10，y＝eq\f(5,2).故选C.10．D解析：∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sin2θ，cos2θ∈(0,1)，∴y＝eq\f(1,sin2θ)＋eq\f(9,cos2θ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sin2θ)＋\f(9,cos2θ)))(sin2θ＋cos2θ)＝10＋eq\f(cos2θ,sin2θ)＋eq\f(9sin2θ,cos2θ)≥10＋2eq\r(\f(cos2θ,sin2θ)·\f(9sin2θ,cos2θ))＝16，当且仅当eq\f(cos2θ,sin2θ)＝eq\f(9sin2θ,cos2θ)，即θ＝eq\f(π,6)时等号成立．故选D.11．C解析：∵0<x<1，∴1－x>0.∴f(x)＝[(1－x)＋x]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1－x)＋\f(1,4x)))＝eq\f(5,4)＋eq\f(x,1－x)＋eq\f(1－x,4x)≥eq\f(5,4)＋2eq\r(\f(x,1－x)·\f(1－x,4x))＝eq\f(9,4)，当且仅当2x＝1－x，即x＝eq\f(1,3)时取等号．∴f(x)的最小值为eq\f(9,4)，故选C.12．B解析：方法一，∵a>0，b>0，eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋1)＝1，∴a＋2b＝(a＋1)＋2(b＋1)－3＝[(a＋1)＋2(b＋1)]·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋1)＋\f(1,b＋1)))－3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋2＋\f(2b＋1,a＋1)＋\f(a＋1,b＋1)))－3＝eq\f(2b＋1,a＋1)＋eq\f(a＋1,b＋1)≥2eq\r(\f(2b＋1,a＋1)·\f(a＋1,b＋1))＝2eq\r(2).当且仅当eq\f(2b＋1