2020年上海市浦东新区高考数学一模试卷

第1页（共1页）2020年上海市浦东新区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）若集合A＝{x|0＜x＜3}，集合B＝{x|x＜2}，则A∩B＝．2．（4分）＝．3．（4分）复数z满足z•i＝1+i（i为虚数单位），则|z|＝．4．（4分）若关于x、y的方程组为，则该方程组的增广矩阵为．5．（4分）设{an}是等差数列，且a1＝3，a3+a5＝18，则an＝．6．（4分）在（x+）6的二项展开式中，常数项为．7．（5分）如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为．8．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，﹣，，，1，2，3}，任取k∈A，则幂函数f（x）＝xk为偶函数的概率为（结果用数值表示）．9．（5分）在△ABC中，边a、b、c满足a+b＝6，∠C＝120°，则边c的最小值为．10．（5分）若函数y＝ax+2a﹣存在零点，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知数列{an}，a1＝1，nan+1＝（n+1）an+1，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式恒成立，则实数t的取值范围为．12．（5分）如果方程组有实数解，则正整数n的最小值是．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若命题甲：x﹣1＝0，命题乙：lg2x﹣lgx＝0，则命题甲是命题乙的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分也非必要条件14．（5分）已知函数f﹣1（x）为函数f（x）的反函数，且函数f（x﹣1）的图象经过点（1，1），则函数f﹣1（x）的图象一定经过点（）A．（0，1） B．（1，0） C．（1，2） D．（2，1）15．（5分）以抛物线y2＝4x的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（）A． B． C． D．16．（5分）动点A（x，y）在圆x2+y2＝1上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒，已知时间t＝0时，点A的坐标是，则动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（）A．[0，3] B．[3，6] C．[6，9] D．[9，12]三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是线段SD上任意一点．（1）求证：AC⊥BE；（2）试确定点E的位置，使BE与平面ABCD所成角的大小为30°．18．（14分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，，若函数f（x）的图象经过点（B，2），求△ABC的面积．19．（14分）某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出5x户（x∈N*，x≤9）从事水果销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4x%，而从事水果销售的农户平均每户年收入为万元．（1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为f（x）（万元），问f（x）的最大值是否可以达到2.1万元？20．（16分）已知曲线C：x2﹣y2＝1，过点T（t，0）作直线l和曲线C交于A、B两点．（1）求曲线C的焦点到它的渐近线之间的距离；（2）若t＝0，点A在第一象限，AH⊥x轴，垂足为H，连结BH，求直线BH倾斜角的取值范围；（3）过点T作另一条直线m，m和曲线C交于E、F两点，问是否存在实数t，使得＝0和||＝||同时成立？如果存在，求出满足条件的实数t的取值集合，如果不存在，请说明理由．21．（18分）定义f（a1，a2，…，an）＝|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+…+|an﹣1﹣an|（n∈N，n≥3）为有限实数列{an}的波动强度．（1）求数列1，4，2，3的波动强度；（2）若数列a，b，c，d满足（a﹣b）（b﹣c）＞0，判断f（a，b，c，d）≤f（a，c，b，d）是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列a1，a2，…，an是数列1+21，2+22，3+23，…，n+2n的一个排列，求f（a1，a2，…，an）的最大值，并说明理由．

2020年上海市浦东新区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）若集合A＝{x|0＜x＜3}，集合B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（0，2）．【解答】解：∵A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，∴A∩B＝（0，2）．故答案为：（0，2）．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（4分）＝．【解答】解：＝＝．故答案为：．【点评】本题考查数列极限的运算法则的应用，是基本知识的考查，基础题．3．（4分）复数z满足z•i＝1+i（i为虚数单位），则|z|＝．【解答】解：由iz＝1+i得，＝1﹣i，故|z|＝，故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的运算、复数求模，属基础题．4．（4分）若关于x、y的方程组为，则该方程组的增广矩阵为．【解答】解：关于x、y的方程组为，所以该方程组的增广矩阵为．故答案为【点评】本题考查的知识要点：二元方程的应用，矩阵的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5．（4分）设{an}是等差数列，且a1＝3，a3+a5＝18，则an＝2n+1．【解答】解：∵{an}是等差数列，且a1＝3，a3+a5＝18，∴2a1+6d＝18，∴d＝2，则an＝3+2（n﹣1）＝2n+1．故答案为：2n+1【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．6．（4分）在（x+）6的二项展开式中，常数项为15．【解答】解：（x+）6的二项展开式中，通项公式为Tr+1＝•，令6﹣＝0，可得r＝4，故展开式中的常数项为＝15，故答案为：15．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．7．（5分）如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为2π．【解答】解：由圆锥的侧面积公式S＝LR＝×（2πr）×R＝×2π×1×2＝2π．故答案为：2π【点评】考查圆锥的侧面积公式，属于基础题．8．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，﹣，，，1，2，3}，任取k∈A，则幂函数f（x）＝xk为偶函数的概率为（结果用数值表示）．【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，﹣，，，1，2，3}，任取k∈A，基本事件总数n＝8，幂函数f（x）＝xk为偶函数包含的基本事件个数m＝2，∴幂函数f（x）＝xk为偶函数的概率为P＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）在△ABC中，边a、b、c满足a+b＝6，∠C＝120°，则边c的最小值为．【解答】解：a+b＝6，∠C＝120°，∴＝9，当且仅当a＝b时取等号，由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2ab×cos120°，＝（a+b）2﹣ab，＝36﹣ab≥36﹣9＝27，∴则边c的最小值3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，还考查了余弦定理在求解最值中的应用，属于中档试题．10．（5分）若函数y＝ax+2a﹣存在零点，则实数a的取值范围是．【解答】解：根据题意，若函数y＝ax+2a﹣存在零点，即方程ax+2a﹣＝0有解，则函数y＝a（x+2）与y＝有交点，函数y＝a（x+2），其几何意义为直线y＝a（x+2），过点（0，﹣2），斜率为a的直线，函数y＝，变形可得x2+y2＝1，（y≥0），为圆x2+y2＝1的上半部分，如图：必有，解可得：0≤a≤，即a的取值范围为[0，]；故答案为：[0，]．【点评】本题考查函数与方程的关系以及函数的零点，涉及直线与圆的位置关系，属于综合题．11．（5分）已知数列{an}，a1＝1，nan+1＝（n+1）an+1，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（﹣∞，﹣1]．【解答】解：数列{an}，a1＝1，nan+1＝（n+1）an+1，，，∴，，，…，，累加可得，∴3﹣a•2t≥2，即a•2t≤1，∵a∈[﹣2，2]，∴2•2t≤1⇒t≤﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查数列递推关系式的应用，数列与函数相结合的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12．（5分）如果方程组有实数解，则正整数n的最小值是90．【解答】解：∵442＝1936，452＝2025，∴从n＝89开始分析，当n＝89，（sinx1+2sinx2+…+nsinxn）max＝﹣1﹣2﹣3﹣…﹣44+45×0+46+47+…+89＝1980当n＝90，（sinx1+2sinx2+…+nsinxn）max＝﹣1﹣2﹣3﹣…﹣45+46+47+…+90＝2025当sinx1+2sinx2+…+nsinxn＝﹣1﹣2﹣3﹣…﹣42﹣43×0﹣44×0﹣45+46×0+47×0+48+49+…+90＝2019时，nmin＝90，故答案为：90【点评】考查方程组的求解，最值，属于基础题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若命题甲：x﹣1＝0，命题乙：lg2x﹣lgx＝0，则命题甲是命题乙的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分也非必要条件【解答】解：若命题甲：x﹣1＝0，命题乙：lg2x﹣lgx＝0，①若命题甲：x﹣1＝0，则x＝1，lg2x﹣lgx＝lg21﹣lg1＝0，则命题甲：x﹣1＝0，能推出命题乙：lg2x﹣lgx＝0，成立；②若命题乙：lg2x﹣lgx＝0，则lgx（lgx﹣1）＝0，所以lgx＝0或lgx＝1，即x＝1或x＝10；命题乙：lg2x﹣lgx＝0，不能推出命题甲：x﹣1＝0成立，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断．命题甲是命题乙的充分非必要条件；故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．14．（5分）已知函数f﹣1（x）为函数f（x）的反函数，且函数f（x﹣1）的图象经过点（1，1），则函数f﹣1（x）的图象一定经过点（）A．（0，1） B．（1，0） C．（1，2） D．（2，1）【解答】解：因为函数f（x﹣1）的图象经过点（1，1），所以f（x）的图象经过点（0，1），所以函数f﹣1（x）的图象一定经过点（1，0）点，故选：B．【点评】本题考查反函数的图象的对称性，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．15．（5分）以抛物线y2＝4x的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（）A． B． C． D．【解答】解：由抛物线y2＝4x，得2p＝4，p＝2，∴焦点坐标为F（1，0），∴所求椭圆的右焦点为（1，0），即c＝1，又2a＝4，∴a＝2，则b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3．∴椭圆的标准方程为．故选：C．【点评】本题考查抛物线与椭圆的简单性质，考查椭圆方程的求法，是基础题．16．（5分）动点A（x，y）在圆x2+y2＝1上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒，已知时间t＝0时，点A的坐标是，则动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（）A．[0，3] B．[3，6] C．[6，9] D．[9，12]【解答】解：∵动点A（x，y）在圆x2+y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，故A＝1，12秒旋转一周，故T＝12，ω＝，时间t＝0时，点A的坐标是（，），故φ＝；故动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数为：y＝sin（x+），由﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z得：x∈[﹣2+12k，2+12k]，k∈Z，即函数y＝sin（x+）的单调增区间为[﹣4+12k，2+12k]，k∈Z，∴k＝0，[﹣4.2]，k＝1，[8，14]．故选：D．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的解析式，复合函数的单调性，难度中档．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是线段SD上任意一点．（1）求证：AC⊥BE；（2）试确定点E的位置，使BE与平面ABCD所成角的大小为30°．【解答】解：（1）证明：连结BD，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，又∵SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥SD．∵BD∩SD＝D，∴AC⊥平面SBD．又∵BE⊂平面SED，∴AC⊥BE．（2）解：设DE＝t，∵SD⊥平面ABCD，∴BE与平面ABCD所成角为∠EBD．在Rt△EDB中，由tan∠EBD＝tan30°＝，解得t＝a．∴当ED＝a时，BE与平面ABCD所成角的大小为30°．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查满足角线面角的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（14分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，，若函数f（x）的图象经过点（B，2），求△ABC的面积．【解答】解：（1）＝，∴f（x）的最小正周期为，解得，，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为，k∈Z；（2）∵f（x）的图象经过点（B，2），∴，，且0＜B＜π，∴，∴，解得，∴，∴，∴△ABC的面积为．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式，两角和的正弦公式，函数y＝Asin（ωx+φ）的最小正周期的计算公式，正弦函数的单调递增区间，向量数量积的计算公式，三角形的面积公式，考查了计算能力，属于基础题．19．（14分）某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出5x户（x∈N*，x≤9）从事水果销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4x%，而从事水果销售的农户平均每户年收入为万元．（1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为f（x）（万元），问f（x）的最大值是否可以达到2.1万元？【解答】解：（1）根据题意，经过三年，种植户的平均收入为1.8（1+4x%）3，即，解得，又因为x∈Z，所以x≥3，即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作；（2），对称轴，因而当x＝5时，f（x）max＝2.12＞2.1，可以达到2.1万元．【点评】本题考查函数的实际应用，涉及到二次函数性质，属于中档题．20．（16分）已知曲线C：x2﹣y2＝1，过点T（t，0）作直线l和曲线C交于A、B两点．（1）求曲线C的焦点到它的渐近线之间的距离；（2）若t＝0，点A在第一象限，AH⊥x轴，垂足为H，连结BH，求直线BH倾斜角的取值范围；（3）过点T作另一条直线m，m和曲线C交于E、F两点，问是否存在实数t，使得＝0和||＝||同时成立？如果存在，求出满足条件的实数t的取值集合，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）曲线C的焦点为，渐近线方程y＝±x，由对称性，不妨计算到直线y＝x的距离，．（2）设l：y＝kx（0＜k＜1），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），H（x1，0），从而．又因为点A在第一象限，所以0＜k＜1，从而，所以直线BH倾斜角的取值范围是，（3）当直线l：y＝0，直线m：x＝t，．当直线l：x＝t，直线m：y＝0时，（根据对称性，这种不讨论不扣分）不妨设l：y＝k（x﹣t）（k≠0），与双曲线联立可得（1﹣k2）x2+2k2tx﹣（1+k2t2）＝0，由弦长公式，，将k替换成，可得，由|AB|＝|EF|，可得（t2﹣1）k2+1＝t2﹣1+k2，解得t2＝2，此时△＝4（k2t2﹣k2+1）＞0成立．因此满足条件的集合为．【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题．21．（18分）定义f（a1，a2，…，an）＝|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+…+|an﹣1﹣an|（n∈N，n≥3）为有限实数列{an}的波动强度．（1）求数列1，4，2，3的波动强度；（2）若数列a，b，c，d满足（a﹣b）（b﹣c）＞0，判断f（a，b，c，d）≤f（a，c，b，d）是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列a1，a2，…，an是数列1+21，2+22，3+23，…，n+2n的一个排列，求f（a1，a2，…，an）的最大值，并说明理由．【解答】解：（1）f（1，4，2，3）＝|1﹣4|+|4﹣2|+|2﹣3|＝6（2）f（a，b，c，d）≤f（a，c，b，d）是正确的；解法1：f（a，b，c，d）﹣f（a，c，b，d）＝|a﹣b|+|c﹣d|﹣|a﹣c|﹣|b﹣d|，∵a＞b＞c或a＜b＜c，∴|a﹣b|﹣|a﹣c|＝﹣|b﹣c|，|c﹣d|﹣|b﹣d|≤|b﹣c|所以f（a，b，c，d）﹣f（a，c，b，d）≤0，即f（a，b，c，d）≤f（a，c，b，d）并且当b＞c时，d≥b可以取等号，当c＞b时，若d≤b可以取等号，所以等号可以取到；解法2：不妨设a＞b＞c，分4种情况讨论[1]若d≥a，则f（a，b，c，d）﹣f（a，c，b，d）＝（a﹣b）+（d﹣c）﹣（a﹣c）﹣（d﹣b）＝0，∴f（a，b，c，d）＝f（a，c，b，d）；[2]若a＞d≥b，则f（a，b，c，d）﹣f（a，c，b，d）＝（a﹣b）+（d﹣c）﹣（a﹣c）﹣（d﹣b）＝0，∴f（a，b，c，d）＝f（a，c，b，d）；[3]若b＞d≥c，则f（a，b，c，d）﹣f（a，c，b，d）＝（a﹣b）+（d﹣c）﹣（a﹣c）﹣（b﹣d）＝2（d﹣b）＜0，∴f（a，b，c，d）＜f（a，c，b，d）；[4]若c＞d，则f（a，b，c，d）﹣f（a，c，b，d）＝（a﹣b）+（c﹣d）﹣（a﹣c）﹣（b﹣d）＝2（c﹣b）＜0，∴f（a，b，c，d）＜f（a，c，b，d）；（3）设，1