211椭圆及其标准方程课件高二上学期数学北师大版选择性

第二章

圆锥曲线1

椭圆1.1

椭圆及其标准方程自

主

预

习互动学习达标小练[课标解读]1.能说出椭圆的定义及椭圆的有关概念.2.能根据定义写出椭圆的标准方程.3.会求简单的椭圆方程.[素养目标]水平一：椭圆的定义及椭圆的标准方程推导(数学运算)

.

水平二：根据定义写出椭圆的标准方程(逻辑推理).自主预习我们把平面内到两个定点F₁,F₂的距离之和等于常数(大于|F₁F₂I)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆.这两个定点F₁,F₂叫作椭圆的焦点，两个焦点F₁,F₂

间的距离叫作椭圆的焦距

课前篇

自主预习

··知识梳理·

知识点一

椭圆的定义1.椭圆上任意一点的坐标都是方的解；以方科的解为坐标的点都在椭圆上.我们将方0)叫作椭圆的标准方程，焦点坐标是

F₁(一c,0),F₂

(c,0),其中c²

a²-b² 2.如果椭圆的焦点在y

轴上，其焦点坐标为F₁(0,—c),F₂(0,c),

则它的标准方程

,其中b²=a²—c².知识点二

椭圆的标准方程点P(xo,yo)和椭圆的位置关系有3种(1)点P(xo,yo)

在椭圆内(2)点P(xo,yo)在椭圆上(3)点P(xo,yo)在椭圆外知识点三点和椭圆的位置关系中

·

问题初探·

1.定义中的常数为什么要大于焦距|F₁F₂|?如果小于或等于|F₁F₂

l会出现什么情

况?提示：当常数等于|F₁F₂I时，轨迹是线段F₁F₂,当常数小于|F₁F₂I时，轨迹不存在.2.如何用几何图形解释

b²=a²—c²?a,b,c在椭圆中分别表示哪些线段的长?提示：椭圆方程中，a

表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借恰构成一个直角三角形的三条边，a且a²=b²+c²,

其中c是焦距的一半.助右图帮助记忆.a,b,c是斜边，所以a>b,a>c,中a,b的大小，如果a>b>0,

则焦点在x轴上，如果0<a<b,

则焦点在y轴上。3.如何判断焦点的位置?提示：互动学习限，且∠PF₁F₂=120°,

求△PF₁F₂

的面积.[解]

由已知a=2,b=,所以c=√a²—b2

√4—3=1,|F₁F₂I=2c=2.[例

1]如图所示，已知椭圆的方程

若点P

在第

象

椭圆定义的应用

课堂篇

互

动

学习

类

型在△PF₁F₂

中，由余弦定理，得|PF₂I²=|PF₁IP+|F₁F₂I²—2|PF₁IF₁F₂|cos

120°,即|PF₂IP²=|PF₁IP+4+

2|PF₁I.①由椭圆定义，得|PF₁

I+|PF₂I=4,即

|PF₂

I=4—|PF₁

I.②②代入①解得的面积通法提炼凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF₁|+|MF₂

I=

2a(M为椭圆上的点，F₁、F₂是椭圆的焦点),一般进行整体变换；其次，考虑该点的坐标(xo,yo)适合椭圆的方

然后再进行代数转换.(2)椭圆

的焦距是16,两焦点的坐标分别是(-8,0),(8,0);

若AB为过椭圆的焦点F₁

的

一

条弦，F₂

为另一焦点，则△ABF₂的周长是40.变式训练1

(1)已知点P

是

椭轴右侧的一点，且以

点P

及焦点F,F,为顶点的三角形的面积等于1,则点P

的坐标

或解析：(1)设P(x,y),

由题意知c²=a²—b²=5—4=

1,所以

则F₁

(一1,0),F₂(1,0

).由题意可得点P到x轴的距离为1,所以把y=±

1

代

9

9

又x>0,

所以

9所以P点坐标为

或

(2)由椭圆方程知a²=100,b²=36,∴c²=a²—b²=64,∴c=8.∴

焦距2c=16.两焦点坐标为F₁

(一8,0),F₂(8,0).由椭圆的定义可知，△ABF₂的周长为AB|+|AF₂

I+|BF₂

I=(AF₁

I+

|BF₁I)+|AF₂I+|BF₂I=(|AF₁I+|AF₂I)+(|BF₁I+|BF₂I)=2a+2a=4a=40.●意一点，求AC

的垂直平分线1与线段CB

的交点P[解]

如图所示，连接AP.∵l垂直平分AC,∴|AP|=|CP|.∴|PB|+|PA|=|BP|+|CP|=4,∴P点的轨迹是以A,B为焦点的椭圆。∵2a=4,2c=|AB|=2,∴a=2,c=1,b²=a²—c²=3.∴点P

的轨迹方程为[例2]

已知圆B:

(

x+1)²+y²=16及点A(1,0),C为圆B

上

任

与椭圆有关的轨迹问题的轨迹方程.通法提炼求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：(1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹

方程.(2)首先分析几何图形所揭示的几何关系，对比椭圆的定义，然后设出对应椭

圆的标准方程，求出其中a,b

的值，得到标准方程.变式训练2一动圆与圆O₁:(x+3)²+y²=1

外切，与圆O₂:(x—3)²+y²=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.解：由题意，得两定圆的圆心与半径分别为O₁(-3,0),r₁=1,O₂(3,0),r₂=9.

设动圆圆心为M(x,y),半径为R,

则由题意可得|MO₁

I=1+R,|MO₂I=9—R,∴MO₁I+|MO₂I=10.由椭圆的定义知，点M

在以O₁,O₂

为焦点的椭圆上，且a=5,c=3,∴b²=a²—c²=25—9=16.故动圆圆心的轨迹方程为类型

三椭圆标准方程的求法

[例3]求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点坐标为(—1,0),(1,0),并且经过点(2)焦点在x

轴上，且经过点(2,0)和(0,1);(3)经过两点9[解](1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(a>b>0).解法一：由椭圆的定义及两点间的距离公式知2a=所以a=2,b²=a²—c²=3.故所求椭圆的标准方程为解法二：因为椭圆过点所以代入椭圆方程可又a²—b²=c²=1,②联立①②可解得a²=4,b²=3.故所求椭圆的标准方程为(2)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为

又椭圆经过点(2,0)和(0,1),所以

解得故所求椭圆的标准方程为依题意得

解得因为所以不符合题意，舍去.(3)解法一

：①当椭圆的焦点在x

轴上时，设椭圆的标准方程为1(a>b>0).②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为依题意得

解得因为

故所求椭圆的标准方程为解法二：设所求椭圆的方程为Ax²+By²=1

(其中A>0,B>0,A≠B).依题意得解得即5x²+4y²=1,

故所求椭圆的标准方程为通法提炼求椭圆方程的常用方法——待定系数法采用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤：(1)根据已知条件判断焦点所在的坐标轴，设出相应的标准方程.(2)将已知条件代入，求出a,b(a²=b²+c²,a>b>0).(3)写出椭圆的标准方程.[注意]

若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x

轴上和焦点在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax²+By²=1(其中A>0,B>0,A≠B).变式训练3(1)若直线x—2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(C)D.

以上答案都不对(2)过点(

√

3,—

√

5),且与椭有相同焦点的椭圆的标准方程

为

(C)解析：(1

)直线与坐标轴的交点为(0,1),(

一

2,0),由题意知当焦点在x轴上时，c=2

,b=1,

∴a²=5,所求椭圆的标准方程为.

当焦

点在y轴上时，b=2,c=1,∴a²=5,所求椭圆的标准方程为故

选C.(√3-0)²+(一√5-4)²,解得a=2√5,由c²=a²—b²,得b²=4.所以所求椭圆的标准方程为

故选C.(2)解法一：椭圆

的焦点为(0,—4),(0,4),故c=4

.

由

椭圆的定义知，坐标代入可得

解得k=5或k=21(舍),所以所求椭圆的标准方程为故选C.解法二：设所求椭圆方程为

,将点(

√

3,—

√5)的达标小练1.下列说法中正确的是(

C)A.

已知F₁(—4,0),F₂(4,0),到

F₁,F₂两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B.

已知F₁(—4,0),F₂

(4,0),到

F₁,F₂两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆C.到两点F₁

(

一

4

,

0

)

,F₂(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到

F₁,F₂的距离之和的点的轨迹是椭圆D.

到

F₁(—4,0),F₂(4,0)两点的距离相等的点的轨迹是椭圆

检测篇

达标小练

解析：椭圆是到两个定点F₁,F₂的距离之和等于常数(大于|F₁F₂

I)的点的轨迹，应特别注意椭圆的定义的应用.A选项中|F₁F₂I=8,到F₁,F₂两点的距离之和为常数8的点的轨迹是线段

F₁F₂;B选项中到F₁,F₂两点的距离之和6小于F₁,F₂的距离，这样的轨

迹不存在；C

选项中点(5,3)到F₁,F₂的距离之和为

√

(5+4)²+3²+√(5-4)²+3²=4√

10>|F₁F₂I

=8,

故C

选项中的轨迹是椭圆；D

选项中所求点的轨迹是线段F₁F₂的垂直平分线。2.已知椭

上一点P

到其中一个焦点的距离为3,则点P到另一个

焦点的距离为

(D)A.2

B.3C.5

D.7解析：

,

∴a=5,b=4,设椭圆的两焦点分别为F₁,F₂,|PF₁

I

=3,由椭圆的定义知|PF₂