2022年新高考数学小题压轴 5 立体几何压轴小题（学生版+解析版）

专题5立体几何压轴小题

一、单选题

1.（2021•全国•高三专题练习）正三棱柱4BC-4SC1中，所有棱长均为2,点E,尸分别为棱A8i,AiC\

的中点，若过点4E,歹作一截面，则截面的周长为（）

C.2V5+V13D.275+—

2

2.（2021•浙江•瑞安中学模拟预测）已知点尸是正方体N8C。-HB'C'D'上底面48'C'D'上的一个动点，记

面/DP与面8C尸所成的锐二面角为C，面/AP与面COP所成的锐二面角为「，若£＞/，则下列叙述正

确的是（）

A.ZAPC>ZBPDB.ZAPC<ZBPD

C.max{ZAPD,ZBPC]>max{NAPB,ZCPD}D.min{ZAPD,ZBPC}>min{ZAPB,ZCPD}

3.（2021•浙江嘉兴・高三月考）如图，将矩形纸片/BCD折起一角落（△以尸）得到△"'尸，记二面角

/'-防-。的大小为。0＜。＜£,直线HE,4尸与平面8cD所成角分别为“，P，则（）.

A.a+J3>0B.a+)3<0

兀

C.a+,>5D.a+/3>20

4.（2021•浙江•二模）如图，在正方体4SCD-斯G8中，尸在棱3c上，BP=x,平行于5。的直线/在正

方形EFGH内，点£到直线I的距离记为d,记二面角为N-/-尸为，，已知初始状态下x=0,4=0,则

B.当x增大时，。先减小后增大

C.当d增大时，。先增大后减小D.当“增大时，。先减小后增大

5.（2021•山东•高三专题练习）如图,在直三棱柱/3C-4月G中，己知A/8C是边长为1的等边三角形,

M=2,E,尸分别在侧面耳8和侧面44CC内运动（含边界），且满足直线与平面NE厂所成的角

为30。，点4在平面/跖上的射影〃在斯内（含边界）.令直线8〃与平面4BC所成的角为。，贝！hand

的最大值为（）

（司百（-百）

A.32+D.--------C.D.32

3

6.（2021•浙江温州•二模）如图，点M、N分别是正四面体NBCD棱/2、CD上的点，^BM=x,直线MN

与直线BC所成的角为。，则（）

A.当ND=2CN时,。随着x的增大而增大

B.当ND=2CN时,6随着x的增大而减小

C.当CN=2A©时,6随着x的增大而减小

D.当CN=2ND时,。随着x的增大而增大

7.（2021•浙江•高三月考）如图，已知在中，/A4c=90。,/3=l,JBC=2,。为线段BC上一点，沿4D

将△48。翻转至V/27）,若点"在平面/OC内的射影7/恰好落在线段/C上，则二面角2-DC-/的正

切的最大值为（）

C.V2D.V3

8.（2021•全国•高三专题练习）如图，在三棱锥D-48C中，AB=BC=CD=DA,N4BC=90°,E,F,O分

别为棱BC,D4，C的中点，记直线E尸与平面80。所成角为氏则，的取值范围是（）

71717171nn

A.吟B.c.于5D.石'5

9.（2021・广东中山•模拟预测）四个半径为2的球刚好装进一个正四面体容器内，此时正四面体各面与球相

切，则这个正四面体外接球的表面积为（

A.(168+48&)%B.(168+42〃)万

C.(188+48旗沈D.(168+32V6>

10.（2021•陕西•西北工业大学附属中学高三月考（理））如图是四棱锥尸-48CD的平面展开图，四边形ABCZ）

是矩形，ED1DC,FD^DA,DA=3,DC=2,NE1D=30。.在四棱锥尸-4BCD中，cos/PBC=()

2

D.

3

11.（2021•北京市十一学校高三月考）如图所示,在正方体ABCD-48c2中，过对角线8,的一个平面

交/同于£,交CG于凡给出下面几个命题:

①四边形8尸2后一定是平行四边形;

②四边形2尸2后有可能是正方形；

③平面3尸2后有可能垂直于平面8月。；

④设2厂与。c的延长线交于与以的延长线交于N,则M、N、3三点共线;

⑤四棱锥耳-即叫也的体积为定值.

以上命题中真命题的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

12.（2021•全国•高三专题练习）已知四边形ABCD为正方形GD_L平面ABCD,四边形DGEA与四边形DGFC

也都为正方形，连接£凡FB,BE,〃为3尸的中点，有下述四个结论：

JTTT

®DE±BF；②所与C"所成角为§；©ECmDBF-,④8尸与平面/CFE所成角为.

其中所有正确结论的编号是（）

A.①②B.①②③

C.①③④D.①②③④

13.（2021・全国•高三专题练习）已知的边长都为2,在边48上任取一点D,沿C£＞将△3CD折起，

使平面BCD,平面ZCD.在平面BCD内过点8作平面/CD,垂足为尸，那么随着点。的变化，点尸

的轨迹长度为（）

A.£B.-C.—D.71

633

14.（2021•黑龙江・哈尔滨市第六中学校模拟预测（理））蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的

含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢

足球活动.如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点，A,B,C,D满足4B=BC=CD=DA=DB=2cm,

AC=3cm,则该“鞠”的表面积为（

r35y后兀2

C.35^cm2D・----------cm

15.（2021•浙江省普陀中学高三开学考试）如图，棱长为1的正方体4片G2中，点尸为线段4c上

的动点，点分别为线段4G，CG的中点，则下列说法错误的是（）

A.A.P1AB,B.三棱锥瓦NP的体积为定值

C.^APD,e[60°,120°]D.么尸+口尸的最小值为:

16.（2021•江苏嗨安高级中学高三期中）如图所示，在直三棱柱48C-421G中，叫=1，AB=BC=sf3,

cosZABC=-,尸是4B上的一动点，则4P+PG的最小值为（）

A.V5B.V7C.1+V3D.3

17.（2021•山东师范大学附中高三开学考试）已知三棱锥尸-/BC的所有顶点都在球。的球面上，A/BC满

足4B=2,ZACB=90°,P4为球。的直径且尸/=4,则点P到底面/3C的距离为（）

A.V2B.242C.V3D.2百

18.（2021・全国•高三开学考试（理））如图，在正方体/BCD-48©。中，点P为线段4a上的动点（点尸

与4，G不重合），则下列说法不正确的是（）

A.BDVCP

B.三棱锥C-APD的体积为定值

C.过尸，C,2三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形

D.。尸与平面481GA所成角的正弦值最大为!

19.（2021・四川・树德中学高三月考（理））已知四面体NBCD的所有棱长均为逝，M,N分别为棱/£）,BC

的中点，尸为棱43上异于4,2的动点.有下列结论：

①线段的长度为1；

②若点G为线段上的动点，则无论点尸与G如何运动，直线尸G与直线CD都是异面直线；

③NMKV的余弦值的取值范围为[0,g）；

④AAIW周长的最小值为夜+1.

其中正确结论的为（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

20.（2021•江苏省前黄高级中学高三月考）已知四棱锥尸-/BCD的底面/BCD是边长为2的正方形，且

乙乙3=90。.若四棱锥尸-488的五个顶点在以4为半径的同一球面上，当我最长时，则四棱锥P/2CD

的体积为（）

47454A/4187148后

A.B.C.D.

3333

二、多选题

21.（2021・重庆•西南大学附中高三月考）已知点/为圆台。。2下底面圆。2上的一点，S为上底面圆。上

一点，且SQ=1,。。2=道，O2A=2,则下列说法正确的有（）

A.直线”与直线所成角最小值为？

O

B.直线S/与直线JR所成角最大值为事

C.圆台存在内切球，且半径为必

2

D.直线与平面SO。?所成角正切值的最大值为世

2

22.（2021・山东师范大学附中高三开学考试）如图，在正方体43]G2中，点尸在线段用。上运动,

则下列结论正确的是（）

C.异面直线AP与AXD所成角的取值范围是[30。,90。]

D.直线与平面4G。所成角的正弦值的最大值为"

3

23.（2021•江苏・海安高级中学高三期中）在棱长为1的正方体45CQ-中，点尸满足

UULUUULLLLIUU1

DP=ADD[+〃DA,2e[0,l],4£[0,1],则以下说法正确的是（）

A.当％="时，BPII平面CBQT

1JT

B.当必=：时，存在唯一点P使得DP与直线C4的夹角为:

C.当4+4=1时，C尸长度的最小值为立

2

TT

D.当2+〃=1时，CP与平面BCQ片所成的角不可能为q

24.（2021・重庆・西南大学附中高三月考）如图，在菱形48CD中，AB=2,乙4BC=60。,“为8C的中点,

将A/BM沿直线翻折成4M,连接片C和4D,N为与D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确

的是（）

A.AMLB^C

B.CN的长不为定值

TT

C.48]与CN的夹角为§

D.当三棱锥用的体积最大时，三棱锥用的外接球的表面积是12万

25.（2021・全国•高三专题练习）已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心,

上底面半径为"0＜厂＜2）,设圆台的体积为“，则下列选项中说法正确的是（）

A.当厂=1时，忆=上咨B.当厂在区间（0,2）内变化时，/先增大后减小

C.”不存在最大值D.当,在区间（0,2）内变化时，「逐渐减小

26.（2021・全国•高三专题练习（理））已知梯形NBCD,4B=4D,BC=1,ADHBC,ADLAB,P是

2

线段5c上的动点；将△/8D沿着8D所在的直线翻折成四面体438,翻折的过程中下列选项中正确的

是（）

A.不论何时，AD与HC都不可能垂直

B.存在某个位置，使得/D_L平面©3C

C.直线4尸与平面BCD所成角存在最大值

D.四面体H8CD的外接球的表面积的最小值为4万

27.（2021•全国•高三专题练习（理））在正三棱柱NBC-481G中，/2=刊=1,点P满足加=彳前+〃函,

其中4e[0,1],则（）

A.当4=1时，△/不？的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥尸-48c的体积为定值

c.当时，有且仅有一个点尸，使得4尸，

D.当〃=；时，有且仅有一个点尸，使得&8,平面

28.（2021・湖北•麻城市实验高级中学高三月考）如图，点M是棱长为1的正方体/BCD-44G。中的侧面

工。24上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（)

B.当点M在棱。，上运动时，|九伍|+|儿碍|的最小值为石+1

C.在线段力2上存在点"，使异面直线片/与S所成的角是30。

D.满足|儿回=2|九的点M的轨迹是一段圆弧

29.（2021•广东顺德一模）如图，已知圆锥OP的底面半径厂=百，侧面积为2省万，内切球的球心为。-

外接球的球心为。2,则下列说法正确的是（）

A.外接球仪的表面积为16万

B.设内切球。的半径为4,外接球。2的半径为2,则％=3/

C.过点尸作平面a截圆锥。尸的截面面积的最大值为内

D.设圆锥。尸有一内接长方体，该长方体的下底面在圆锥底面上，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则

该长方体体积的最大值为|

30.（2021•福建・泉州科技中学高三月考）为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》

的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为子，托盘由边长

为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②.则下列结论正确（)

B

TT

A.经过三个顶点48,C的球的截面圆的面积为£

B.异面直线/。与C尸所成的角的余弦值为，

O

9

C.多面体45CD跖的体积为:

4

D.球离球托底面DE厂的最小距离为G+如-1

3

31.（2021・广东广州•高三月考）如图，矩形/BCD中，AB=2AD=2,E为边的中点，将“DE沿DE

翻折成若可为线段4c的中点，则在翻折过程中，下列结论中正确的是（）

A.翻折到某个位置，使得。4,EC

B.翻折到某个位置，使得/C,平面

C.四棱锥4-OC3E体积的最大值为也

4

D.点M在某个球面上运动

32.（2021•山东•广饶一中高三月考）如图所示，正方体-4月G。中，=1,点尸在侧面BCGA（包

括边界）上运动，并且总是保持8，，则以下四个结论正确的是（）

A.V^-PADB.点尸必在线段与。上

C.AP1BCXD./P〃平面4G。

jr

33.（2021・重庆•高三月考）已知边长为。的菱形45CQ中，ZADC=-9将沿4。翻折，下列说法正

确的是（）

A.在翻折的过程中，直线4。，可能相互垂直

3

B.在翻折的过程中，三棱锥。-N8C体积最大值为幺

8

C.在翻折的过程中，三棱锥。-/BC表面积最大时，其内切球表面积为（14-86）万/

D.在翻折的过程中，点。在面/3C上的投影为E为棱C。上的一个动点，即'的最小值为在a

4

34.（2021・广东・深圳第三高中高三月考）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多

边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三

棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为3+石，则关于该半正多面体的下列说法中正确的

是（)

A.与48所成的角是60。的棱共有8条

B.N3与平面BCD所成的角为30。

C.二面角N-3C-。的余弦值为一如

3

D.经过/,B,C,。四个顶点的球面面积为2万

35.（2021・湖北•高三开学考试）如图，NE_L平面/BCD,CFHAE,ADIIBC,ADLAB,AE=BC=2,AB=AD=l,

o

CF”,贝！|（）

B.BF〃平面

C.二面角E-AD-F的余弦值为:

D.直线C£与平面所成角的正弦值为g

36.（2021・重庆巴蜀中学高三开学考试）如图，正方体/BCD-N4G。的棱长为2,尸为3c的中点，G为

线段CD上的动点，。为线段CG上的动点，过点A,P,。的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列

命题正确的是（）

A.对任意的点G,存在点。，使得4G，尸。

B.对任意的点G,存在点。，使得4GL平面尸GQ

32

c.当co=5时，s与GA的交点R满足GR=§

D.当C0=?时，A/P。的外接圆的面积最小

37.（2021•江苏・扬州市邢江区蒋王中学高三月考）如图，是由具有公共直角边的两块直角三角板组

77IT

成的三角形，ZCAD=-,ZBCD=-.现将及A3c沿斜边翻折成AD/C（，不在平面48C内）.若

M,N分别为和8R的中点，则在△/CD翻折过程中，下列结论正确的是（）

A.MN//平面/CQ

B.NR与3c不可能垂直

C.二面角C正切值的最大值为血

兀71

D.直线与DM所成角的取值范围为

38.（2021・广东•汕头市澄海中学高三月考）如图，正方体/BCD-4与G2的棱长为1,E,F,G分别为

Bc,cq,54的中点.则（）

A.直线DQ与直线/尸垂直

B.直线4G与平面/跖平行

9

C.平面/跖截正方体所得的截面面积为?

O

D.点C与点G到平面AEF的距离相等

39.（2021・全国•高三开学考试）已知正方体44G2的棱长为4,点M是棱44的中点，点尸在面

48co内（包含边界），且"P=2石，则（)

A.点尸的轨迹的长度为2万

B.存在尸，使得〃PL4c

C.直线MP与平面瓦所成角的正弦值最大为日

D.沿线段M尸的轨迹将正方体/BCD-4用GA切割成两部分，挖去体积较小部分，剩余部分几何体的表

40.（2021•全国•高三专题练习（文））如图，在棱长为2的正四面体尸-48C中，O、E分别为上的动

点（不包含端点），尸为尸C的中点，则下列结论正确的有（）

B

A.OE+M的最小值为百;

B.若£为NC中点，则。尸的最小值为8；

C.若四棱锥尸与DEC的体积为亨，则。E的取值范围是卜

D.若BE-FE=-,贝IJCE=1

2

41.（2021•全国•高三专题练习（文））若四面体各棱长是1或2且该四面体不是正四面体，则其体积的可能

值是（）

三、双空题

42.（2021•福建•福清西山学校高三期中）如图，已如平面四边形/BCD,4B=BC=3,CD=1,AD=45,

//n3=90。.沿直线4。将4。/。翻折成4。%。，则亚.丽=；当平面力/C，平面48C时，则

异面直线/C与2。所成角余弦值是

43.（2021・新疆•克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点

A,2距离之比为常数2（力＞0且Xrl）的点的轨迹是一个圆心在直线N3上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据

以上信息，解决下面的问题：

如图，在长方体N5CD-44G2中，/3=2/。=2441=6,点£在棱N8上，BE=2AE,动点尸满足

8P=6尸匠若点P在平面/BCD内运动，则点尸所形成的阿氏圆的半径为;若点尸在长方体

/3CD-4与G2内部运动，尸为棱G2的中点，M为CP的中点，则点M到平面弟#的距离的最小值为

44.（2021・江苏•高三月考）现有一块正四面体形状的实心木块，其棱长为9cm.车工师傅欲从木块的某一个

面向内部挖掉一个体积最大的圆柱，则当圆柱底面半径厂=cm时，圆柱的体积最大，且最大值

为cm3.

45.（2021•山东济南•高三月考）如图，在四棱锥P-NBCO中，底面48CD是矩形，侧面尸/B，底面/BCD,

48=2,ZBPA=60°,当AP48面积最大时，若四棱锥P-/8CD存在内切球，则内切球的体积为,

此时四棱锥P-ABCD的体积为

46.（2021・福建・上杭一中模拟预测）我国南北朝时期的数学家祖晒提出了计算体积的祖眶原理：“幕势既同，

则积不容异。”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积

相等。如图，阴影部分是由双曲线，-/=/包〉。）与它的渐近线以及直线〉=±。所围成的图形，将此图

形绕V轴旋转一周，得到一个旋转体，（1）如用与X轴相距为〃他＜。），且垂直于y轴的平面，截这个旋转

体，则截面图形的面积为;（2）则这个旋转体的体积为.

A

X

47.（2021•安徽•合肥一中模拟预测（理））半正多面体（se/w7egw/arso〃t/）亦称“阿基米德多面体”，是由边数

不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面

体，如图，它由八个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长都为1,则该半正多面体外接球的表面积

为;若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为.

48.（2021•全国•高三专题练习（文））已知正四面体4-BCD内接于半径为亚的球。中，在平面BCD内

有一动点P,且满足N尸=40，则上尸|的最小值是；直线/尸与直线8C所成角的取值范围为

四、填空题

49.（2021•吉林•长春外国语学校高三开学考试（文））已知菱形的边长为2g,NBAD=三,若沿对

角线8。将△3CD折起，使得4c=3行，则C,。四点所在球的表面积为.

50.（2021•湖北武汉•高三开学考试）空间四面体48co中，AB=CD=2,AD=BC=2互4C=4,直线AD

与/C所成的角为45。，则该四面体的体积为.

51.（2021•安徽•合肥市第六中学高三开学考试（文））三棱锥力-BCD中，为边长为3的等边三角形,

BCVCD,。=旧，且面面3C。，则三棱锥/-8CD的外接球的体积为.

52.（2021・全国•高三专题练习）如图，在矩形/BCD中，2AB=BC=2,2AB=BC=2.将A,C分别沿BE,

DF向上翻折至H,C,则4C取最小值时，二面角H-跖-C'的正切值是.

53.（2021・全国•高三专题练习）在长方体-/EG。中，秒=3,AD=AAX=A,E,F,G分别是

棱AB,BC,CG的中点，P是底面4BCD内一动点，若直线3尸与平面EFG平行，当三角形2瓦尸的面积

最小时，三棱锥力-台瓦尸的外接球的体积是.

54.（2021・浙江丽水•高三月考）如图，在“8C中，BM=-MC,AB=AC=\,BM=—,点。在线段浏/

23

上运动，沿ND将折到A4D*,使二面角4。_c的度数为60°，若点夕在平面内的射影为

O,则OC的最小值为.

55.（2021・浙江•学军中学高三期中）如图，在四面体4BCD中，AB=CD=2,AC=BD=43,AD=BC=#,

E,F分别是的中点若用一个与直线所垂直，且与四面体的每个面都相交的平面a去截该四面体，

由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为

56.（2021•安徽省怀宁中学高三月考（理））如图所示，三棱锥/-BCD中，NBAC=NBCA,NDCA=/DAC,

33泊=54=1。亚则三棱锥体积的最大值为---------

57.（2021•新疆•莎车县第一中学高三期中）如图，已知三个两两互相垂直的半平面a,|3,丫交于点。，矩形

JT

488的边3c在半平面丫内，顶点/,。分别在半平面a,B内，40=2,48=3,与平面a所成角为力，

二面角/-3C-。的余弦值为;，则同时与半平面a,B，丫和平面/BCD都相切的球的半径为.

58.（2021・广东龙岗•高三期中）已知正方体N3CD-42c2的棱长为2,点E为4。中点，点尸、”在四

边形48。内（包括边界），点尸到平面/8与4的距离等于它到点。的距离，直线〃耳//平面ECQ,则加

的最小值为.

59.（2021•浙江金华•高三月考）已知一正三棱锥的体积为心，设其侧面与底面所成锐二面角为，，则当tan。

2

等于时，侧面积最小.

60.（2021•广东实验中学高三月考）将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四

面体的高的最小值为

61.（2021•全国•模拟预测）在梯形N3CD中，AABC=ABAD=90°,AB=BC^AD=\,M为NC的中

点，将ANBC沿直线/C翻折成V/3C,当三棱锥片-/CO的体积最大时，过点M的平面截三棱锥片-/CD

的外接球所得截面面积的最小值为.

62.（2021•广东•普宁市第二中学高三月考）四棱锥/-2CDE的各顶点都在同一球面上，.底面3CDE,

底面2CDE为梯形，/BCD=60°,且4B=CB=BE=ED=2,则此球的表面积等于

专题5立体几何压轴小题

一、单选题

1.（2021•全国•高三专题练习）正三棱柱中，所有棱长均为2,点E,尸分别为棱AiC\

的中点，若过点4E,尸作一截面，则截面的周长为（）

A.2+275B.2V5+|V13C.275+713D.2遂+拳

【答案】B

【分析】

根据题意先作出截面，进而算出截面各边的长度，最后得到答案.

【详解】

如图，在正三棱柱NBC-N禺G中，延长//与CG的延长线交于连接交81。于P,连接EP,则

四边形/EP尸为所求截面.

过E作EN平行于BC交CG于N,则N为线段CQ的中点，由^MFCX相似于△MZC可得MCi=2,由

相似于AMEN可得：与=gnPG=g，4P=g，

在比尸中，/4=2,4尸=1,则4F=JF1F=逐，

在用△/BE中，AB=2,BE=1,则AE=打+干=店,

由余弦定理：PF2=12J^]-2xlx-xcos60°=—,贝I」尸尸=妪，

⑺393

所以截面周长为：V5+V5+—+—=2^+^.

333

故选：B.

【点睛】

本题主要考查几何体的截面问题，其中根据空间几何体的结构特征，利用平面的性质作出几何体的截面是

问题的关键，平常注意方法的总结和归纳.

2.（2021•浙江•瑞安中学模拟预测）已知点P是正方体/BCD-HB'C'。'上底面H3'C'。'上的一个动点，记

面4D尸与面所成的锐二面角为a,面NAP与面CDP所成的锐二面角为广，若a>£,则下列叙述正

确的是（）

A.ZAPC>ZBPDB.ZAPC<ZBPD

C.max{ZAPD,ZBPC]>max{ZAPB,NCPD}D.min{ZAPD,ZBPC]>min{AAPB,ZCPD}

【答案】C

【分析】

结合正方体的几何特征，以及面/DP与面8cp所成的锐二面角为a，面/AP与面CDP所成的锐二面角为

/?,若a>尸，判断?在如图所示的阴影范围内.利用正方体的特点，判断P接近于。时//PO/8尸D,故A、

B错误；'：PH<PE,：.ZAPD>ZAPB,•.•PG<PR；.故C正确，D错误，

【详解】

如图取正方体的下底面的各边中点瓦凡G,//,上底面的中心为。，下底面的中心为O',

/8P,8。尸所成的角为a,所成的角为6a>p,

等价于P到HF的距离比到EG的距离大，

所以P在如图所示的阴影范围内.

在△，尸C和中，4030,尸。公用，。为共同的中点，

/APC/BPD的大小由PQ于AC,BD所成的角大小所决定，

所成角越小，则对应角越大，

显然P。与NC和3。所成的角的大小关系不确定，当尸在靠近4时尸。与直线NC所成的角较小，与直线

AD所成的角则接近于90。，此时同样当尸接近于。时N4PO/AP。,故A、B错误；

NAPD与NBPD的大小关系看P实在EG的左侧还是右侧。

若是在左侧，则//PANBPC,若是在右侧，则若是在EG上，

贝IJN4PZA/APC;

同样，尸在的前面，则/4P8>/CPD,尸在上，则尸在的后面，则

所以当尸在/'OH内时，max{ZAPD,ZBPC}=ZAPD,min{ZAPD,ZBPC}=ZBPC,

max{ZAPB,ZCPD}=ZAPB,min{ZAPB,ZCPD}=ZCPD,

'：PH<PE,；.ZAPD>AAPB,'：PG<PF,：.ZBPC<ZCPD,

故C正确，D错误，

根据对称性，在其余范围内，具有相同的结论.

故选：C

【点睛】

从正方体的几何特征出发，利用题中信息判断尸的大致区域，对尸处于不同位置都要判断.

3.（2021•浙江嘉兴・高三月考）如图，将矩形纸片/BCD折起一角落（△£//）得到△£1//,记二面角

/，一郎一。的大小为《0<夕<：］,直线HE,NN与平面BCD所成角分别为尸，则（）.

A.a+p>0B.a+/3<0

JT

C.a+p>-D.a+/3>20

【答案】A

【分析】

如图，过H作HH_L平面BCD,垂足为H,过，作HG_LE尸，垂足为G,可证sit?a+sii?尸=sin?6,利

用三角变换公式可证a+6>。，从而可得正确的选项.

【详解】

如图，过H作48_L平面BCD,垂足为H,过⑷作/'GJ.EF,垂足为G,

设A'G=d,A'H=h,ZA'EG=y,

因为4〃_L平面BCD,E尸u平面BCD,故A'HLEF,

而4Gc4〃=H,故跖_1平面HG〃，而G〃u平面/'G〃，

所以EF工GH,故乙4'GH=8,

又乙4'EH=a,ZA'FH=/3.

在直角三角形HGE中，H£=—&一,同理4尸=上一，

smycosy

.hh

,,sina=—―=—sin/=sin0siny一.八.八

故dd,同理5111/7=5111。（：057，

sin/

故sin2a+sin2/7=sin20,故1一侬』。-侬』'=sin20,

22

整理得到您也+您辿=田。，

22

故cos（a+尸+°_£）।cos[a+尸_（0一尸）]=0,

22'

/、/、°cos（a+⑶cos<9

整理得到cos（a+夕）cos（a一夕）=cos3即---------=---------,

cos6*cos[a-p）

若a由0<。<工可得cos（a+，）2cos。即cos（a+1）之1,

4cos<9

cos0,

\B\a-p\<a+p<6,故cos|a-刈〉cos。，即嬴再历<1，矛盾，

故a+/?>6.

故A正确，B错误.

由sin2a+sin2p=sin2。可得sina<sin0,sin/?<sin6,

rr

而a,6均为锐角，故a<e,£<e,a+/3<2e<—,故CD错误.

故选：A.

【点睛】

思路点睛：空间中不同类型的角的关系，应利用点线面的位置关系构建关于角的等式关系，注意平面几何、

三角变换、解三角形等计算中的应用.

4.（2021•浙江•二模）如图，在正方体N3CD-E尸G〃中，P在棱8c上，BP=x,平行于的直线/在正

方形内，点E到直线/的距离记为d,记二面角为/-/-P为6,已知初始状态下x=0,d=0,则

B.当x增大时，，先减小后增大

C.当d增大时,，先增大后减小D.当d增大时，。先减小后增大

【答案】C

【分析】

由题设，以尸为原点，烟，厂G,FE为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求出面的法向量前与面PAW的法

Z1d-+2也

/trr

向量为3的夹角c°s(加，〃

对于AB,令d=0,则cos6=,分

~x+A/2(7—2

，屋+4■r'1+2

析函数单调性，结合余弦函数性质判断；对于CD,令x=0时，化简整理得到

8

cosO-1-

,利用导数判断函数y的单调性，进而判断余弦

函数的单调性，进而得解.

【详解】

由题设，以厂为原点，用,厂G,/花为x,%z轴建立空间直角坐标系,

设正方体的棱长为2,则尸(2,x,0),/(2,0,2),

设直线l与EH,EF交于M,N,则M(0,0,2—血⑹，N(0,8d,2)

L1L1L1LULlllLlUULULiUL

贝1]/"=(—2,0,—J2d),4N=(—2,j2d,0),7W=(0,J2d,J2d),尸M=(—2,—x,2—J2d)

设平面AMN的法向量为加=(〃,ac),

_2a-yp2.dc=0

m•AM=0令a=d,则t=收)

m•AN=0—2a+—0

设平面24W的法向量为〃=(e,/,g),又

n-PM=0-2e-xf+(2-42d)g-0

令/=1,则;=(f+2,f

n-MN=O,"[y/2df+y/2dg=Q,一

1rr-x+42d-2d+2^

利用空间向量夹角公式得c°s(也”_2

显然函数夕=在x>0时为减函数,即cos。减小,则6增大，故AB错误;

对于CD,当x=0时，则

(d—yf2^d+4—V2jd?+8d(d-V5)+16

J/+4.+4(^d—V2j/+4(d-CRd。+16

4(d-可+-8d{fl-

(d一亚)力+4；0-0+旌1+16

求导J=2d[(d一码+4_|+2(/+©(d-/^=4/，2dHi2do

Q屋一四+4>0，令V=。，^d=—

2

故当0<〃<Yl时，y'<0,函数单减，即cos。单减，。增大；当时，/>0,函数单增，即cos〃单

22

增，。减小；故当d增大时，6先增大后减小

故选：C

Il

【点睛】

方法点睛：本题考查面面角的求法，利用导数判断函数的单调性，即余弦函数的性质，利用空间向量求立

体几何常考查的夹角:

设直线/,皿的方