画法几何及机械制图（第2版）课件：投影变换

投影变换本节主要内容一、换面法的概念二、点的投影变换三、直线的投影变换四、平面的投影变换问题的提出：能否变换投影面？★

求解一般位置直线的实长★

求解一般位置平面的真实大小★

求解一般位置平面间的夹角等问题？答案是：可以当空间几何元素相对投影面处于特殊位置时，可在投影图中直接反映出实长、实形、夹角、交点等关系。一、换面法的概念一、换面法的概念VHAB

b

bV1实形新投影面的选择原则（1）新投影面必须垂直于原投影面体系中的一个原有的投影面，与其一起构成一个新的两投影面体系。（2）新投影面必须使空间几何元素处于最有利于解题的位置。cɑCɑc1

ɑ1

b1

c

换面法空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面（辅助投影面）代替原来的某一投影面，使几何元素对新投影面处于有利于解题的某种特殊位置，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。

平行于新的投影面

垂直于新的投影面

有关名词术语新、旧、不变投影间关系？新投影到新轴的距离，等于旧投影到旧轴的距离！一、换面法的概念VHAB

b

bV1cɑCɑc1

ɑ1

b1

c

旧投影旧投影轴新投影新投影面新投影轴不变投影面旧投影面不变投影二、点的投影变换1．点的一次变换

旧投影体系

X—VH

新投影体系X1—V1H→

A点的两个投影：a，a

→

A点的两个投影：a，a1

⑴新投影体系的建立⑵新旧投影之间的关系

aa1

X1

a1

ax1=a

ax

点的新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距离。一般规律：

点的新投影与不变投影的连线，垂直于新投影轴。a

⑶求新投影的作图方法aa

XVHax

VHXV1HX1①确定新的投影轴。②由点的不变投影向新投影轴作垂线。③在垂线上量取一段距离，使这段距离等于旧投影到旧投影轴的距离。aX1H1Va1

axax1ax1●a1

作图步骤：

..更换V面更换H面2．点的二次变换H先把V面换成平面V1，V1H，得到中间新投影体系:V1X1—再把H面换成平面H2，H2

V1，得到新投影体系:X2—V1H2⑴新投影体系的建立按次序更换AaVHa

axXX1V1a1

ax1

H2X2

ax2a2

V、H面交替更换，实现多次换面以满足解题需要。即：V1

/HV1

/H2V3

/H2V/H

2．点的二次变换

V、H面交替更换，实现多次换面以满足解题需要。即：V1

/HV1

/H2V3

/H2V/HAaVHa

axXX1V1a1

ax1

H2X2

ax2a2

ax2

aXVH

a2X1HV1X2V1H2a1

axax1

..

作图规律：依次序更换思考题：新投影面的选择原则是什么？思考题答案：新投影面的选择原则是什么？1.新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。2.新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。答：谢谢再见！三、直线的投影变换主要内容0102将一般位置直线变换成投影面平行线将投影面平行线变换成投影面垂直线0304将一般位置平面变换成投影面垂直面将投影面垂直面变换成投影面平行面1．把一般位置直线变为成投影面平行线[例1]：求一般位置直线AB的实长及对H面、V面的夹角。用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，AB//V1。三、直线的投影变换空间分析：求，换H面行吗？不行！空间分析：用H1面代替H面，在V/H1投影体系中，AB//H1。2．把一般位置直线变为投影面垂直线[例2]：一般位置直线AB变为投影面垂直线

空间分析:用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，AB//V1用H2面代替H面，在V1/H2投影体系中，AB⊥H2一次换面行吗？不行！新投影轴的位置？作图方法：1．将一般位置平面变换成投影面垂直面

如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面空间分析：

在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。两平面垂直需满足什么条件？

一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？两次！四、平面的投影变换1．将一般位置平面变换成投影面垂直面四、平面的投影变换在平面内取一条投影面平行线求△ABC的实形

换V面，使新投影面V1∥△ABCX1轴∥abc空间分析：作图方法：新投影轴的位置？思考：怎样将投影面垂直面变换成投影面平行面？2．将一般位置平面变换成投影面平行面求△ABC的实形一般位置平面与各投影面都倾斜，如果直接取一个新投影面与它平行是不行的。第一次将一般位置平面变换为投影面垂直面第二次将投影面垂直面变换为投影面平行面四、平面的投影变换需要经过两次换面：思考题:1.把一般位置平面变换成投影面平行面，需要变换几次投影面？2.求一般位置直线对V面的夹角，变换哪个投影面？思考题答案：1.把一般位置平面变换成投影面平行面，需要变换几次投影面？答：两次。2.求一般位置直线对V面的夹角，变换哪个投影面？答：H面。谢谢再见！§2-7综合应用举例

本讲主要内容0102求两直线间的最短距离求点到平面的距离03求两平面间的夹角

解题时，首先要根据已给几何元素和待求几何元素之间的关系，按题意进行空间分析。如果用换面法解题，还要考虑他们与投影面之间处于怎样的位置时，才能使问题最易于解答，然后确定新投影面的位置和变换步骤，最后进行作图。[例2-21]已知交叉二直线AB、CD，求其最短连线的位置及其最短连线的长度。解题思路：2.如果有一条直线为投影面垂直线（AB为铅垂线），则公垂线MN必是该投影面的平行线。1.公垂线就是其最短连线空间分析：ABDCNMdcɑbnmP距离[例2-22]已知交叉二直线AB、CD，求其最短连线的位置及其最短连线的长度。

解题思路：2.在新投影面H2上直接求作距离的投影即反映实长。1.将两直线之一变换为投影面垂直线。

空间分析：MNmn[例2-22]已知交叉二直线AB、CD，求其最短连线的位置及其最短连线的长度。作图步骤：4.将KL返回原体系。2.在投影面H2

中作公垂线MN的投影m2n2。1.将两已知直线之一AB变换为投影面垂直线,直线CD随之变换。3.在投影面V1

中作公垂线MN的投影m1

n1

。(m1

n1

Ｘ2)MNmnnˊmˊmnm1́́́́́́́́n1́́́́́́́́m2n2距离[例2-23]已知点D和正垂面ABC，试过点D向ABC作垂线DE，并作出垂足E以及点D到ABC的真实距离。

解题思路：正平线d´e´反映点D到△ABC的真实距离，正平线的水平投影de是“平直线”。空间分析：过一点向一个平面只能作一条垂线，因为△ABC是正垂面，所以DE必为正平线。e1ˊɑ1ˊc1ˊf1ˊb1ˊ解题思路：换面法把一般位置平面△ABC变成某一投影面的垂直面。空间分析：用换面法把一般位置平面△ABC变成某一投影面的垂直面，则问题就与上面解法相同了。[例2-24]已知点D和一般位置平面△ABC，试过点D向△ABC作垂线DE，并作出垂足E以及点D到△ABC的真实距离。fˊeˊefd1ˊ真实距离X1解题思路：因为两面的交线CD是一般位置直线，所以需要经过两次换面，才能变成新投影面的垂直线。

空间分析：当两个平面同时垂直于某一个投影面时，他们在该投影面上的投影积聚成两条直线，这两条直线之间的夹角就是所求两侧面之间的夹角θ，为此就必须将两平面的交线变成投影面垂直线。[例2-25]下图所示为一薄钢板制成的加料斗，四个侧面完全一样，试求出相