新高考数学二轮复习培优专题07 立体几何（单选+填空）（解析版）

专题07立体几何（单选+填空）（新高考通用）一、单选题1．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是空间中两个不同的平面，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用空间中线面、面面的位置关系可判断ABC选项；利用空间向量法可判断D选项.【详解】对于A选项，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，A错；对于B选项，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交，B错；对于C选项，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交（不一定垂直），C错；对于D选项，设直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方向向量分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的一个法向量分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，D对.故选：D.2．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为1，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，则三棱锥SKIPIF1<0的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先由线面平行的判定定理证得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0，再结合锥体的体积公式即可得解.【详解】因为在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，所以SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距离与SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距离相等，所以SKIPIF1<0故选：B..3．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）在正棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0中点.当四棱台的体积最大时，平面SKIPIF1<0截该四棱台的截面面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据正四棱台的体积公式、结合基本不等式、线面平行的判定定理、梯形的面积公式进行求解即可.【详解】设SKIPIF1<0，上底面和下底面的中心分别为SKIPIF1<0，该四棱台的高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.在上下底面由勾股定理可知，SKIPIF1<0.在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以该四棱台的体积为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，显然有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此平面SKIPIF1<0就是截面.显然SKIPIF1<0，在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因此在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，同理在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在等腰梯形SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以梯形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，故选：C.【点睛】关键点睛：根据基本不等式求出体积最大值，结合线面平行判定定理判断截面的形状是解题的关键.4．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为3，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．若在正方形SKIPIF1<0内有一动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹长为（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】在棱SKIPIF1<0上分别取点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，证明平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0即可得点SKIPIF1<0的轨迹为线段SKIPIF1<0，再计算长度即可.【详解】解：如图，在棱SKIPIF1<0上分别取点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以，四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以，在正方形SKIPIF1<0内有一动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0的轨迹为线段SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以，动点SKIPIF1<0的轨迹长为SKIPIF1<0故选：C5．（2023·山东临沂·统考一模）古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，SKIPIF1<0表示平面图形的面积，SKIPIF1<0表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）．如图，直角梯形SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，则其重心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】C【分析】根据题意，用式子分别表示出直角梯形绕SKIPIF1<0旋转一周所得的几何体的体积、梯形面积以及重心绕旋转轴旋转一周的周长，进而求解答案.【详解】设SKIPIF1<0，直角梯形绕SKIPIF1<0旋转一周所得的几何体的体积为SKIPIF1<0；梯形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，故记重心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则重心绕旋转轴旋转一周的周长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：C.6．（2023·湖南·模拟预测）已知正方体SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E为平面SKIPIF1<0内的动点，设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0则点SKIPIF1<0的轨迹所围成的图形面积的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】确定SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，计算SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E在平面SKIPIF1<0内的轨迹是以O为圆心，半径为OE的圆，计算得到答案.【详解】如图所示，连接SKIPIF1<0交平面SKIPIF1<0于O，连接EO，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以∠AEO是AE与平面SKIPIF1<0所成的角，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四面体SKIPIF1<0为正三棱锥，O为SKIPIF1<0的重心，如下图所示，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又E在平面SKIPIF1<0内的轨迹是以O为圆心，半径为OE的圆，所以E在平面SKIPIF1<0内的轨迹围成的图形面积SKIPIF1<0．故选：D7．（2023秋·江苏·高三统考期末）四边形ABCD是矩形，SKIPIF1<0，点E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕SKIPIF1<0旋转至与四边形SKIPIF1<0重合，则直线SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0在旋转过程中（

）A．逐步变大 B．逐步变小C．先变小后变大 D．先变大后变小【答案】D【分析】根据初始时刻ED与BF所成角可判断BC，由题可知SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内的投影SKIPIF1<0一直落在直线SKIPIF1<0上，进而某一时刻SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，可判断AD.【详解】由题可知初始时刻SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为0，故SKIPIF1<0错误，在四边形AEFD绕SKIPIF1<0旋转过程中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内的投影SKIPIF1<0一直落在直线SKIPIF1<0上，所以一定存在某一时刻SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，然后SKIPIF1<0开始变小，故直线SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0在旋转过程中先变大后变小，故选项A错误，选项D正确.故选：D.8．（2023·福建泉州·统考三模）图1中，正方体SKIPIF1<0的每条棱与正八面体SKIPIF1<0（八个面均为正三角形）的条棱垂直且互相平分．将该正方体的顶点与正八面体的顶点连结，得到图2的十二面体，该十二面体能独立密铺三维空间．若SKIPIF1<0，则点M到直线SKIPIF1<0的距离等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】连接PR，MN，相交于点O，设MP与AB相交于点K，MQ与BC相交于点L，连接KL，利用正八面体SKIPIF1<0的性质，由线面垂直的判定定理，证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得到MR为点M到直线SKIPIF1<0的距离，然后在SKIPIF1<0中，利用SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线求得正八面体的边长即可.【详解】解：如图所示：连接PR，MN，相交于点O，设MP与AB相交于点K，MQ与BC相交于点L，连接KL，在正八面体SKIPIF1<0中，易知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又HG与RN相交，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则MR为点M到直线SKIPIF1<0的距离，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：A9．（2023·湖南张家界·统考二模）鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧.图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图.它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2.若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】将鲁班锁补成正方体,建立空间直角坐标系，求出鲁班锁某个顶点到另一个顶点的最大值，即可求解.【详解】将鲁班锁补成正方体SKIPIF1<0，然后以点A为坐标原点，AB、AD、SKIPIF1<0所在直线分別为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，在鲁班锁所在几何体上任取一个顶点SKIPIF1<0，观察图形可知，P到鲁班锁所在几何体上其他顶点的距离的最大值在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中取得，结合图形可知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以P到鲁班锁所在几何体上其他顶点的距离的最大值为SKIPIF1<0，所以，若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），设该正方体的棱长的最小值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，该正方体的表面积为SKIPIF1<0.故选：D.10．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除SKIPIF1<0如图所示，底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】连接AC、BD交于点M，取EF的中点O，连接OM，求出OM的长，进而求出OA的长，可知SKIPIF1<0，从而可求出羡除外接球体积，由等体积法可求出羡除体积，进而可求得结果.【详解】连接AC、BD交于点M，取EF的中点O，连接OM，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.取BC的中点G，连接FG，作SKIPIF1<0，垂足为H，如图所示，由题意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：这个羡除的外接球的球心为O，半径为2，∴这个羡除的外接球体积为SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，即：点A到面SKIPIF1<0的距离等于点B到面SKIPIF1<0的距离，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴这个羡除的体积为SKIPIF1<0，∴羡除的外接球体积与羡除体积之比为SKIPIF1<0.故选：A.11．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为SKIPIF1<0，高为2，体积为SKIPIF1<0，则该“方斗”的侧面积为（

）A．24 B．12 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据题意得正四棱台的侧面为四个等腰梯形，先计算侧面的高，然后利用梯形的面积公式代入计算即可.【详解】由题意可知，记正四棱台为SKIPIF1<0，其底面为正方形，侧面为四个等腰梯形，把该四棱台补成正四棱锥如图，设SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0上SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0上SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点则SKIPIF1<0是正四棱锥SKIPIF1<0的高，SKIPIF1<0为正四棱台SKIPIF1<0的高，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则上、下底面的面积分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为PA的中点，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以侧棱长SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，由勾股定理可得侧面的高为SKIPIF1<0，所以侧面积为SKIPIF1<0.故选：D12．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）以等边三角形ABC为底的两个正三棱锥SKIPIF1<0和SKIPIF1<0内接于同一个球，并且正三棱锥SKIPIF1<0的侧面与底面ABC所成的角为SKIPIF1<0，记正三棱锥SKIPIF1<0和正三棱锥SKIPIF1<0的体积分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据外接球的几何性质结合正棱锥的几何性质即可求解.【详解】两个正三棱锥SKIPIF1<0和SKIPIF1<0内接于同一个球，如图，设SKIPIF1<0到底面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到底面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0交点为SKIPIF1<0，由于两个正三棱锥SKIPIF1<0和SKIPIF1<0内接于同一个球，所以SKIPIF1<0为球SKIPIF1<0的直径，记SKIPIF1<0为球心，且由题意可知SKIPIF1<0为三角形SKIPIF1<0的中心，因此SKIPIF1<0为正三棱锥SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，可得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0为正三棱锥SKIPIF1<0的侧面与底面ABC所成的角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，记球的半径为SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，勾股定理可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选:D.13．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知正四面体SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正切值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】作出图形，找出直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的平面角，在三角形内即可求解.【详解】如图，过点SKIPIF1<0向底面作垂线，垂足为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于G，连接SKIPIF1<0，由题意可知：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即为直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的平面角，设正四面体的棱长为2，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正切值是SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0.14．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）如图，在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0分别是底面SKIPIF1<0与侧面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0为该正方体表面上的一个动点，且满足SKIPIF1<0，记点SKIPIF1<0的轨迹所在的平面为SKIPIF1<0，则过SKIPIF1<0四点的球面被平面SKIPIF1<0截得的圆的周长是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，找到球心O和点SKIPIF1<0的轨迹，求出SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离，利用几何法求截面圆的半径和周长.【详解】取面对角线SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0的方向分别为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为直角三角形，所以SKIPIF1<0，因此点SKIPIF1<0即为三棱锥SKIPIF1<0的外接球球心，球半径长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的轨迹为矩形SKIPIF1<0的四边，如图所示，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，则球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，球面被平面SKIPIF1<0截得的圆的半径SKIPIF1<0，圆的周长为SKIPIF1<0.故选：B【点睛】本题找球心O考查学生的空间想象能力，其余的计算和证明问题，则利用空间向量法.15．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图所示，沿SKIPIF1<0将四边形SKIPIF1<0翻折成SKIPIF1<0，设二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，在翻折过程中，当二面角SKIPIF1<0取得最大角，此时SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线交SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，然后利用定义法可得SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角，设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，然后求函数最大值时的SKIPIF1<0值即可.【详解】过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线交SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内的投影为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角，设SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最大值SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0最大，即二面角SKIPIF1<0取得最大角.故选：B16．（2023秋·湖南湘潭·高三校联考期末）点SKIPIF1<0分别是棱长为2的正方体SKIPIF1<0中棱SKIPIF1<0的中点，动点SKIPIF1<0在正方形SKIPIF1<0(包括边界)内运动.若SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长度范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点F，连结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取EF中点O，连结SKIPIF1<0，证明平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而得到P的轨迹是线段，从而得出SKIPIF1<0长度范围.【详解】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点F，连结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取EF中点O，连结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∵点M，N分别是棱长为2的正方体SKIPIF1<0中棱BC，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0，而在平面SKIPIF1<0中，易证SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∵动点P在正方形SKIPIF1<0（包括边界）内运动，且SKIPIF1<0平面AMN，∴点P的轨迹是线段EF，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴当P与O重合时，SKIPIF1<0的长度取最小值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等腰三角形，∴SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0或者点SKIPIF1<0处时，此时SKIPIF1<0最大，最大值为SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0的长度范围为SKIPIF1<0故选：B．17．（2023·浙江·校联考三模）在正方体SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0经过点B、D，平面SKIPIF1<0经过点A、SKIPIF1<0，当平面SKIPIF1<0分别截正方体所得截面面积最大时，平面SKIPIF1<0所成的锐二面角大小为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】设平面SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0所成的二面角为SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情况讨论，证明平面SKIPIF1<0经过点B、D且截正方体所得截面面积最大时，平面SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0重合，从而可得出答案.【详解】平面SKIPIF1<0经过点B、D且截正方体所得截面面积最大时，平面SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0重合，证明：设平面SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0所成的二面角为SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，记平面SKIPIF1<0截正方体所得截面为面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，显然平面SKIPIF1<0截正方体所得截面面积最大时，截面为面SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，平面SKIPIF1<0截正方体所得截面为SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0截正方体所得截面面积最大时截面为面SKIPIF1<0，同理平面SKIPIF1<0过SKIPIF1<0时，截正方体所得截面面积最大时截面为面SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0所成锐二面角为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的所成角大小为二面角SKIPIF1<0大小，因为SKIPIF1<0，所以面SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0所成锐二面角大小为SKIPIF1<0.故选：C．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于说明平面SKIPIF1<0经过点B、D且截正方体所得截面面积最大时，平面SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0重合，考查了分类讨论思想和极限思想.二、填空题18．（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，PA＝CA＝CB＝2，若D，E分别为棱PA，AB的中点，过C，D，E三点的平面截三棱锥P－ABC的外接球，则截面的面积为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】将三棱锥放入到一个正方体中，则三棱锥的外接球即为该正方体的外接球，利用正方体的棱长求出外接球半径，用向量法求球心到截面距离，几何法求截面面积.【详解】由PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，PA＝CA＝CB＝2，将三棱锥P－ABC放入到一个正方体中（如图），则三棱锥P－ABC的外接球即为该正方体的外接球，该外接球的球心为正方体的中心O（体对角线的中点），因为SKIPIF1<0，所以外接球的半径SKIPIF1<0，以C为原点，SKIPIF1<0的方向为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面CDE的一个法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，点O到平面CDE的距离为SKIPIF1<0，所以平面CDE截球所得截面的半径SKIPIF1<0，故所求截面的面积为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0【点睛】方法点睛：三垂直的四面体的外接球问题，把该四面体补充成正方体或者长方体.19．（2023·山东菏泽·统考一模）正三棱锥SKIPIF1<0的高为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，过SKIPIF1<0作与棱SKIPIF1<0平行的平面，将三棱锥分为上下两部分，设上､下两部分的体积分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题意，做出截面，然后利用向量的线性表示及共线定理推论可得SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0的值.【详解】连接SKIPIF1<0并延长交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0即为过SKIPIF1<0作与棱SKIPIF1<0平行的平面，由题可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.20．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）若正方形SKIPIF1<0的顶点均在半径为1的球SKIPIF1<0上，则四棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为______.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】设正方形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，可得到四棱锥SKIPIF1<0体积为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，利用导数的知识求得最大值即可求解【详解】设正方