江苏省宿迁市2023-2024学年高二上学期期末调研测试数学试卷

高二年级调研测试数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案.不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线过点，，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求直线的斜率，再求直线的倾斜角.【解析】由条件可知，直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，.故选：D2.已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（）A. B. C. D.6【答案】B【解析】【分析】根据离心率的公式，求解，再根据方程求椭圆的长轴长.【解析】由条件可知，，，则，由条件可知，，得，所以，椭圆的长轴长.故选：B3.设正项等比数列满足，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题可设公比为，然后根据得出，通过计算求出，最后通过即可得出结果.【解析】设等比数列的公比为，因为，，所以，即，，解得或（舍去），，则，故选：C.4.“”是“方程表示双曲线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【解析】方程表示双曲线，则，解得或，当时，方程表示双曲线，所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A5.我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（）A. B.3 C. D.4【答案】C【解析】【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解.【解析】，表示平面上点与点，的距离和，连接，与轴交于，此时直线方程为，令，则的最小值为，此时故选：C．6.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线以及椭圆的定义可得，，即可利用余弦定理求解.【解析】如图：在双曲线中，且焦点在轴上，椭圆和双曲线的相同焦点为，，它们在第一象限的交点为，故椭圆中，故，，，，，，由余弦定理可得．故选：C7.已知点在圆：的外部，若圆上存在点使，则正数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令过点的圆的切线与圆相切的切点为，由点在圆外及列出不等式组并求解即得.【解析】圆：的圆心，半径为2，显然，令过点的圆的切线与圆相切的切点为，由圆上存在点使，得，即，则，又，解得，所以正数的取值范围为.故选：B8.函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先构造函数，根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判断.解析】设，则，由条件可知，，所以，则函数在上单调递增，因为函数是定义在上的奇函数，则，即，故A错误；由函数的单调性可知，，得，故B正确；由，得，故C错误；由，得，故D错误.故选：B【小结】关键点小结：本题的关键是构造函数，从而可以根据函数的单调性，判断选项.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列前项和，则下列说法正确的是（）A.数列为递减数列B.数列为等差数列C.若数列为递减数列，则D.当时，则取最大值时【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，由数列前项和求出数列的通项公式，即可得数列，即可根据等差数列的定义求解AB,根据作差法结合数列单调性即可判断C，根据数列的正负项即可求解D．【解析】根据题意，数列的前项和，当时，，当时，，也符合，，故为常数，故数列是公差为的等差数列，故A正确，由于，则，故，故为等差数列，B正确，由于，则，，若为递减数列，则，故对任意的恒成立，故，即，C正确，当时，，则，当故取最大值时，D错误，故选：ABC．10.已知抛物线：（）的焦点为，过拋物线上一点作两条斜率之和为0的直线，与的另外两个交点分别为，，则下列说法正确的是（）A.的准线方程是B.直线的斜率为定值C.若圆与以为半径的圆相外切，则圆与直线相切D.若的面积为，则直线的方程为【答案】AC【解析】【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，结合斜率坐标公式及抛物线定义，逐项计算判断得解.【解析】依题意，，解得，即抛物线：，焦点，准线方程，A正确；设，显然，直线的斜率，同理直线的斜率，由，得，解得，因此直线的斜率，B错误；圆，令圆的半径为，由圆与圆相外切，得，而，于是，即圆的圆心到y轴的距离为圆的半径，则圆与直线相切，C正确；由消去得：，，，，，而点到直线距离，则的面积，D错误.故选：AC11.已知圆：，过圆外一点作圆的切线，切点为，，直线与直线相交于点，则下列说法正确的是（）A.若点在直线上，则直线过定点B.当取得最小值时，点在圆上C.直线，关于直线对称D.与的乘积为定值4【答案】ACD【解析】【分析】根据垂直关系可得四点共圆，进而可得以为直径的圆的方程，两圆相减可得直线的方程，即可得定点坐标，根据数量积的运算律，结合基本不等式即可求解最值，进入可得点的轨迹，根据直线，关于直线对称，而与直线垂直,即可判断C，根据锐角三角函数即可求解D.【解析】设，由四点，，，共圆，且以为直径，可得圆的方程为，化简得，联立圆，可得直线的方程为，即，令，且，解得，即直线恒过定点，故A正确，,由于，当且仅当时，即时等号成立，故此时点在圆上，故B错误，由于直线，关于直线对称，而方程为，由于直线与垂直，故直线，关于直线对称，C正确，设,则，，所以，故D正确，故选：ACD【小结】方法小结：求圆的切点弦所在直线的方法如下：（1）求出两切线与圆的切点坐标，利用两点式方程可得出切点弦所在直线的方程；（2）写出两圆在切点（在圆上）处的切线方程，将两切点的公共点代入两切线方程，通过说明两切点的坐标满足某直线方程，可得出切点弦方程；（3）写出圆外一点为圆心，以圆外一点到切点的距离为半径的圆的方程，将两圆方程作差可得出切点弦所在直线的方程.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的单调增区间为______.【答案】【解析】【分析】首先求函数的导数，再结合导函数的单调性和零点，即可求解函数的增区间.【解析】函数，，单调递增，单调递减，所以单调递增，当时，，所以当时，，所以函数的单调递增区间是.故答案为：13.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点到两个定点，的距离之比为2，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】首先求点的轨迹方程，再根据的几何意义，转化为直线与圆有交点，即可求解.【解析】由题意可知，，，整理为，所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，表示圆上的点与定点连线的斜率，设，即，如图可知，直线与圆有交点，则，解得：.故答案为：14.已知数列的前项和为，，（），则为______.【答案】【解析】分析】根据给定条件，利用变形，再利用构造法求出.【解析】数列的前项和，当时，，整理得，即，显然当时，数列是常数列，因此，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数的图象在点处的切线方程是.（1）求，的值；（2）求函数在区间上的最大值与最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求导，根据切线方程可得，即可求解，（2）求导，得函数的单调性，即可比较端点值以及极值点处的函数值得最值.【小问1解析】，，所以，解得，【小问2解析】由（1）得，当，令，解得或，故在和单调递增，在单调递减，又，，，由于，，所以16.设数列满足：，且对任意的，都有.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由已知条件，结合等比数列的定义，即可求得；（2）根据题意，由条件可得，然后结合错位相减法，代入计算，即可得到结果.【小问1解析】由题意可得，又，则，其中所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，即，.【小问2解析】令，由（1）可知，则，则，，两式相减可得所以.17.某学校为创建高品质示范高中，准备对校园内某一墙角进行规划设计.如图所示，墙角线和互相垂直，墙角内有一景观，到墙角线、的距离分别为20米、10米，学校欲过景观修建一条直线型走廊，其中的两个端点分别在这两墙角线上.（1）为了使三角形花园的面积最小，应如何设计直线型走廊？（2）考虑到修建直线型走廊的成本，怎样设计，才能使走廊的长度最短？【答案】（1），，此时（2），，此时最短.【解析】【分析】（1）首先表示直线方程，并求点的坐标，并表示三角形的面积，结合基本不等式，即可求解；（2）根据（1）的结果表示，同时构造函数，并利用导数判断函数的单调性，并求函数的最值.【小问1解析】如图，以，所在直线为轴和轴建立平面直线坐标系，并由条件可知，点，设直线的方程，当时，，当时，，即，，,当时，即时，等号成立，所以面积的最大值为平方米；此时直线的方程为，即，，此时【小问2解析】由（1）可知，，，设，，，，令，则，当时，，函数在区间单调递减，当时，，函数在区间单调递增，所以当时，函数取得最小值，所以当，，此时最短.18.已知函数，.（1）当时，求的值域；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求导得到函数的单调性，即可求解端点以及极值点处的函数值求解，（2）构造，求导，结合分类讨论，根据函数的单调性求解最值即可求解.【小问1解析】当时，，则，令，由于，解得；令，解得；所以在上单调递增，在上单调递减，又，故的值域为.【小问2解析】若对任意，不等式恒成立，则，故，当时，，显然不满足题意，舍去，当时，记，则，由于，令，则；令，则或；故在上单调递增，在上单调递减，由于，当时，即，此时在上单调递增，故满足题意，当时，即，此时在上单调递增，在上单调递减，要使恒成立，则且，解得，综上可得【小结】方法小结：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.19.已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，右焦点到渐近线的距离为1，且离心率为.（1）求双曲线的标准方程；（2）过点的直线（直线的斜率不为0）与双曲线交于，两点，若，分别为直线，与轴的交点，记，的面积分别记为，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析